由于数字网络技术的迅速发展，数字媒体可以被轻易地复制和篡改，导致了大量非法盗版的出现^[1-2]。数字水印技术作为一种有效解决图像版权、内容认证和完整性保护等问题的新型技术，近年来成为研究的热点^[3]。

针对数字水印鲁棒性和透明性之间的矛盾，2003年温泉等人^[4]提出了零水印算法，其基本思想是将数字图像版权保护分为注册与认证两个过程，在注册过程中，算法主要利用数字图像的重要特征来构造水印，将其存放在集中认证中心，认证过程是利用待认证的数字图像与保存在集中认证中心的数据来恢复水印信息。

由于图像奇异值分解后的奇异值对各种攻击具有一定的抵抗能力，一部分学者提出了基于奇异值分解的水印方法。刘瑞桢等人^[5]于2001年将奇异值分解理论首次应用于数字水印系统中，该方法将水印图像嵌入到载体图像的奇异值中。刘丽等人^[6]提出了基于离散余弦变换(DCT) 和奇异值分解(SVD) 的QR码数字水印算法，能够很好地抵抗常见信号处理和图像处理的攻击，但在水印图像重建时存在着对角线失真问题。张飞艳等人^[7]提出了Contourlet-SVD的稳健性数字水印算法，将水印信息以不同的强度值分别嵌入到能量最大方向子带和能量最小方向子带的奇异值中，也取得了较好的效果，但是利用水印的提取算法，在与版权图像毫无关系的其他图像中也能提取出相似度很高的水印图像，表明水印算法存在严重的虚警错误。叶天语^[8]提出基于方差的奇异值分解鲁棒零水印算法，对中值滤波有所改善，但抗剪切攻击的能力很弱。曲长波等人^[9]提出了基于位平面理论和奇异值分解的鲁棒零水印算法，在抵抗噪声、滤波、剪切、JPEG压缩方面都表现出一定的鲁棒性，但是提高效果不显著。为解决文献[6]存在的对角线失真和文献[7]存在的严重虚警错误问题，本文借鉴文献[10]，结合离散小波变换(DWT) 和离散余弦变换(DCT)，从DWT扩展到DWT-DCT混合变换，提出了一种基于细胞神经网络应用DWT-DCT混合变换和BN-SVD^[11]的零水印算法。当对图像施加小的扰动时图像的奇异值无显著变化，说明图像的奇异值具有较好的稳定性^[12]。对奇异值矩阵进行改进，增大奇异值并将其界定在一定范围内，使其稳定性更强。解决了水印提取时的对角线失真和虚警错误问题，提高了数字水印的鲁棒性。

奇异值分解(SVD) 是一种实现矩阵对角化的有效数值分析工具，广泛应用于图像处理领域。假设数字图像I大小为$ n \times n $，对其进行奇异值分解，则正交矩阵$ {{\boldsymbol{U}}_{n \times n}} $、$ {{\boldsymbol{V}}_{n \times n}} $和对角矩阵${{\boldsymbol{S}}_{n \times n}} $存在关系

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{US}}{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}} $

(1)

式中，U和V是正交矩阵，$ \boldsymbol{S} = {\rm{diag}}({\sigma _i}) $是一个非对角元素均为0的矩阵，其对角线上的元素值$ {\sigma _i}(i = 1, 2, \cdots, r) $满足σ₁≥…≥$ {\sigma _r} $>0。

奇异值分解存在以下缺陷：

1) 存在对角线失真问题。由于奇异值分解算法自身特性，使提取出来的水印往往会产生严重的对角失真。如果在带有水印标记的主图像被直接修改时，从被攻击的图像中提取的水印图像会产生对角线失真。

2) 存在虚警错误问题。对数字图像I进行SVD，则存在正交矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{U}}_{n \times n}} $、$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_{n \times n}} $，矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{U}}_1}\mathit{\boldsymbol{V}}_1^{^{\rm{T}}}, {\mathit{\boldsymbol{U}}_2}\mathit{\boldsymbol{V}}_2^{\rm{T}}, \cdots, {\mathit{\boldsymbol{U}}_n}\mathit{\boldsymbol{V}}_{_n}^{\rm{T}} $为矩阵空间的一组正交基，称为特征图像。因此，图像的奇异值向量所在的基空间是由图像本身内容所决定的，奇异值向量反映图像在不同特征图像下的亮度信息，相应的正交矩阵反映图像的几何结构。所以，图像与奇异值向量之间不存在一一对应的关系，即不同的图像可以有相同的奇异值向量，而图像的奇异值向量体现不出图像的结构特征。这就造成了当采用图像的奇异值向量嵌入水印信息时，在未嵌入水印信息或者其他随机图像中也可以提取出所需要的水印信息，增加了水印提取的虚警率，这使得算法的可靠性大大降低。

为了克服上述两个问题，提出了一种改进的奇异值分解，将其命名为增强奇异值分解(BN-SVD)。此方法定义了一个参数β，使在奇异值分解后获得的奇异值均匀化，解决了对角线问题并且增强了算法的鲁棒性。对大小为$ n \times n $的数字图像I进行增强奇异值分解，则存在正交矩阵U_n×n、V_n×n和对角矩阵S_n×n使得

$ \mathit{\boldsymbol{B = U}} * {\left( \mathit{\boldsymbol{S}} \right)^\beta } * {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}},\;\;\;0 < \beta < 1 $

(2)

式中，矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} $是矩阵U的左奇异矩阵，列矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_i} $是矩阵V的右奇异矩阵。

增强奇异值分解实现途径如下：增强奇异值分解是在奇异值分解的基础上，对数字图像I进行奇异值分解后，对对角矩阵S_n×n做β次幂运算。处理不同的数字图像时，根据图像固有信息合理调整参数β，使其达到最佳的抗攻击效果。

引入参数β的作用：

1) 寻找最佳抗攻击的缩放比例，放大图像奇异值，以减少受攻击时图像矩阵的敏感性，从而提高算法的鲁棒性;

2) 将奇异值限定在一定范围内，使对角线方向上的灰度均衡化，进而解决对角线失真问题；

3) 将奇异值向量特殊化，使其与图像存在一一对应关系，可代表图像特征，进而解决虚警错误问题。

细胞神经网络(CNN) 是在1988年Chua和Yang等人提出的一种面向硬件实现的非线性神经网络模型，是由具有相同动力学性质的细胞组成的一个2维、3维或$ n $维有规则排列的处理器阵列。一个标准的CNN模型的结构，其基本单元称为细胞，第$ i $行，第j列的细胞用$ {C_{ij}}$表示，细胞之间的连线表示所连接的细胞之间的相互作用。与Hopfield神经网络的全连接结构不同，CNN的细胞是局部互连的，每一个细胞$ {C_{ij}}$仅与它的邻域$ {N_{ij}}(r) $中的细胞相连，这些相连的细胞通过权重直接相互作用，而不直接相连的细胞则通过网络的连续动态动力学传输效应间接地相互作用^[13]。

对一个M×N的CNN模型，其每一个细胞$ {C_{ij}}(1 \le i \le M, 1 \le j \le N) $都有一个恒定的外界输入${u_{ij}} $、一个阈值$ {t_{ij}} $、一个状态变量$ {x_{ij}} $和一个输出${y_{ij}} $，各神经元运算的数学模型可以描述为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{x_{ij}} = - {x_{ij}} + \sum\limits_{kl \in {N_{ij}}\left( r \right)} {{A_{kl}}{y_{kl}}} + \sum\limits_{kl \in {N_{ij}}\left( r \right)} {{B_{kl}}{u_{kl}}} + {t_{ij}}}\\ {i = 1, \cdots ,M;j = 1, \cdots ,N} \end{array} $

(3)

式中, $ {x_{ij}} $为细胞$ {C_{ij}}$的当前状态，$ {u_{kl}} $和$ {y_{kl}} $，分别为各细胞的初始输入值和当前输出值；$ {N_{ij}}(r) $表示细胞$ {C_{ij}}$半径为$r $的邻域；$ {C_{kl}} $表示细胞$ {C_{ij}}$的$r $邻域内的细胞；$ {A_{kl}} $表示邻域细胞$ {C_{kl}} $的输入$ {u_{kl}} $与细胞$ {C_{ij}}$之间的连接权，称为控制模板；$ {A_{kl}} $表示邻域细胞$ {C_{kl}} $的输出$ {y_{kl}} $与细胞$ {C_{ij}}$之间的连接权，称为反馈模板；$ {t_{ij}} $为$ {C_{ij}}$内部的阈值电流。

神经元的输出方程可以描述为

$ y\left( {{x_{ij}}} \right) = 0.5\left( {\left| {{x_{ij}} + 1} \right| - \left| {{x_{ij}} - 1} \right|} \right) $

(4)

图像中的每一个像素与CNN中相同位置上的一个细胞相对应，每一个像素的灰度值对应于相同位置上细胞的输入${u_{ij}} $；对于标准CNN，其输入$ {u_{kl}} $，状态${x_{ij}} $，与输出$ {y_{kl}} $来的关系由反馈模板A与控制模板B以及阈值$ t $来确定。CNN不同的功能主要决定于模板参数的设计。设定不同的模板及阈值，CNN并行处理器可以实现不同的图像处理功能。CNN模板库中存在着大量的模板，例如A，B均取3×3大小，假设图像P₁为起始值，假设图像P₂为控制输入值，当

$ \mathit{\boldsymbol{A = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right],t = - 1 $

时，获得的输出即为P₁和P₂相“与”。常见的简单模板可以完成图像“与”、“或”、“非”等操作，还可以组合模板来实现更复杂的图像处理过程^[14]。使用细胞神经网络进一步提升了水印的安全性。

引入细胞神经网络的作用：一般的零水印算法大多采用将水印图像和特征向量做异或等可逆逻辑运算来进行水印检测密钥的生成。然而当算法受到攻击后，可直接通过逻辑逆运算得到水印图像，水印的安全性不高。本文采用细胞神经网络，通过反馈模板A与控制模板B以及阈值$ t $来确定不同的逻辑运算，当攻击者无法确定A、B、$ t $的具体设定参数时，就无法通过可逆逻辑运算提取出水印图像，提高了水印的安全性。

水印图像的预处理采用Arnold变换进行一次加密。该变换的核心思想是通过改变像素点之间的位置关系来消除像素空间的相关性^[15]，进而达到图像加密的效果，提高水印的安全性。

Arnold变换是数学家Arnold在遍历理论的研究中提出的一类剪裁变换，俗称“猫脸变换” (cat mapping)^[16]。2维Arnold变换可写为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\left( {\bmod \;N} \right)}\\ {x,y \in \left\{ {0,1, \cdots ,N - 1} \right\}} \end{array} $

(5)

式中, ($ x, y $) 是像素在原始图像的坐标，($x', y' $) 是变换后该像素在新图像的坐标，N是数字图像矩阵的阶数，即图像的大小。

水印图像进行Arnold变换后，采用Logistic映射进行二次加密。混沌系统具有遍历性、初值敏感性和伪随机性等良好的特性，非常适合应用到图像加密领域。目前被广泛研究的Logistic映射是一种形式简单的1维混沌系统^[17]，其定义为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{x_{k + 1}} = \mu {x_k}\left( {1 - {x_k}} \right)}\\ {0 \le \mu \le 4,{x_k} \in \left( {0,1} \right),k = 0,1,2,3, \cdots } \end{array} $

(6)

该系统对初值敏感，所生成的混沌序列具有非周期性和不收敛性，当参数范围在3.569 945 6≤μ≤4时，Logistic映射处于混沌状态，进一步增强了水印安全性。

零水印构造过程如图 1所示。

选取N×N大小的灰度图像I为载体图像和(N/16)×(N/16) 大小的二值图像W为水印图像。

零水印构造步骤如下：

1) 将原始载体图像I进行一级DWT，得其低频逼近子图P。

2) 对所得到的低频逼近子图P进行分块，分割为(N/16)×(N/16) 个8×8大小互不重叠图像子块$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_i}(i = 1, 2, \cdots, \left( {N/16} \right) \times (N/16)) $。

3) 对分块后的低频逼近子图$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_i} $进行DCT，进行ziazag扫描，提取每块64个系数中的前16位，然后反zigzag扫描，生成一个4×4的低频系数矩阵${{\mathit{\boldsymbol{C'}}}_i}(i = 1, 2, \cdots, \left( {N/16} \right) \times (N/16)) $。

4) 对每个图像子块$ {{\mathit{\boldsymbol{C'}}}_i} $进行BN-SVD，即$ {\mathit{\boldsymbol{L}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{U}}_i}{({\mathit{\boldsymbol{S}}_i})^\beta }{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}(0 < \beta < 1) $。式中${\mathit{\boldsymbol{U}}_i} $和${\mathit{\boldsymbol{V}}_i} $为正交矩阵，$ {S_i} $为对角阵，$ {\sigma ^k}_i(k{\rm{ }} = {\rm{ }}1, 2, \cdots, r) $为第$ i $个低频系数矩阵$ {{\mathit{\boldsymbol{C'}}}_i} $的奇异值。从对角矩阵$ {S_i} $中提取第1个奇异值，共提取出(N/16)×(N/16) 个最大奇异值，记作$ \sigma _i^1 $($ i $=1，2，…，(N/16)×(N/16))。

5) 求(N/16)×(N/16) 个最大奇异值的均值，σ=mean ($ \sigma _i^1 $) 根据与$ \sigma _i^1 $的大小关系产生特征向量B，即

$ {B_i} = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;\sigma _i^1 > \sigma \\ 0\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

(7)

6) 对水印图像W进行Arnold置乱，得到水印图像W₁和密钥K₁，然后对水印图像W₁进行Logistic映射，得到水印图像W₂和密钥K₂。

7) 将特征向量B作为细胞神经网络的起始值，置乱加密后的水印图像W₂作为细胞神经网络的控制输入值，设定反馈模板A与控制模板B以及阈值$ t $，经过一定的可逆运算处理后的输出图像即为代表原始载体图像版权信息的水印检测密钥K。

最后，将原始图像载体检测密钥K和相应的时间戳注册到认证中心以证明对图像作品的版权。

零水印检测过程如图 2所示。

选取N×N大小的灰度图像I′为载体图像和(N/16)×(N/16) 大小的二值图像W为水印图像。

零水印检测步骤如下：

对待测图像I′进行上述零水印构造步骤1)-5) 操作。然后将得到的特征向量作为细胞神经网络的起始值，代表原始载体图像版权信息的水印检测密钥K作为细胞神经网络的控制输入值，反馈模板A与控制模板B以及阈值$ t $为构造零水印时设定的模板参数。经过一定的可逆运算处理后输出置乱加密后的水印图像W₂。

最后，利用密钥K₁、K₂对置乱加密后的水印图像W₂进行逆Logistic映射和Arnold逆变换得到原始水印图像W。

为了验证本文算法的有效性和可行性，采用Matlab R2014a的实验平台。选取如图 3(a)-(c)3幅灰度图像作为原始载体图像，其大小为512×512像素，图像Lena有较小的细节，纹理信息少；图像Plane的细节信息和纹理信息相对较复杂；图像Bridge的细节信息比较均匀，纹理信息比较多；选取相对复杂的“辽宁工大”作为有意义的二值水印如图 3(d)，其大小为32×32像素。为达到较好的置乱效果，Arnold置乱次数n=20；Logistic映射参数μ=3.654和初值$ {x_0} = 0.54 $，仿真过程中采用归一化互相关(NC) 函数来评价提取的水印与原水印的相似度，即

$ NC\left( {{x_1},{x_2}} \right) = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_1}\left( {i,j} \right){x_2}\left( {i,j} \right)} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_1}{{\left( {i,j} \right)}^2}} } } \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_2}{{\left( {i,j} \right)}^2}} } } }} $

(8)

式中，$ {x_1} $、${x_2} $分别表示初始水印和提取出的水印。

文献[6]对原始图像施加攻击实验后，所提取的水印图像上有明显的对角线痕迹如图 4(b)所示。

对待测图 3(a)分别施加不同类别的攻击，实验后采用BN-SVD提取水印如图 5所示，从图 5(a)-(f)可以看出，水印图像无明显对角线痕迹。实验表明本算法克服了对角线失真问题。

首先通过原始图像图 6(a)和原始水印图 6(b)构造水印密钥，然后对与原始图像相似度较高的伪随机图像分别用BN-SVD算法和SVD算法提取图像特征向量与水印密钥进行可逆逻辑运算，提取出水印图像。由图 6(c)可知，当伪随机图像采用SVD算法提取水印图像时，也可以提取出正确的水印图像(明文)，虚警率高。由图 6(d)可知，当采用BN-SVD算法提取水印图像时，在无法确定参数β的值的情况下，就无法提取出正确的水印图像(密文)，降低了算法的虚警率。引入参数β后，奇异值向量与图像便存在了一一对应关系，即不同的图像存在不同的奇异值向量，因此图像的奇异值向量便可体现图像的特征，解决了虚警错误问题。

为验证上述虚警率问题，表 1给出了分别采用BN-SVD算法和SVD算法进行上述实验后所提取的水印图像和原始水印图像的NC值对比。

由表 1可知，采用BN-SVD算法提取出的水印图像和原始水印图像的归一化相关值在0.5以下，说明本文算法虚警率较低。

为验证采用BN-SVD算法具有较强的鲁棒性，对待测图 3(a)-(c)分别施加不同类别的攻击实验，包括JPEG压缩、噪声攻击、滤波攻击、旋转攻击和剪切攻击。表 2给出了3幅待测图像在经受攻击后分别用BN-SVD和SVD所提取的水印NC值。

从表 2可以看出，与使用SVD相比，使用BN-SVD所提取的水印NC值得到显著提高，足以说明BN-SVD水印算法的鲁棒性明显优于SVD水印算法的鲁棒性。

1) 鲁棒性对比实验。为了更好地检测本算法具有较好的鲁棒性，选择Lena图像为原始载体图像，对其进行不同类别的攻击实验，将受攻击后所提取出的水印NC值与文献[9, 11]实验结果进行对比，其对比结果如表 3所示。

由表 3可得，待测图像受到JPEG压缩攻击、中值滤波攻击、噪声攻击、旋转攻击以及剪切攻击后所提取出的水印图像NC值都要高于文献[9, 11]，说明本文算法的鲁棒性明显优于文献[9, 11]。

2) 运行时间对比实验

为了更加全面地检测算法的性能，选择Lena图像作为原始载体图像，对其进行不同类别的攻击实验，将本文算法实验运行时间与文献[9, 11]的实验运行时间进行对比，对比结果见表 4。

由表 4可得，在受到“JPEG压缩”、“旋转”、“剪切”攻击时，本文算法的运行时间优于文献[9, 11]算法；而在“滤波”和“噪声”的攻击下，本文算法的运行时间介于文献[9]与文献[11]算法之间。

综合以上实验结果，本文算法不仅解决了传统奇异值分解所存在的对角线失真和严重的虚警错误问题，对各种攻击的鲁棒性都有所提高，特别是在抗剪切攻击能力的提升高较为明显，突显本文算法的优势。

本文分析了传统奇异值分解水印算法中存在的提取水印图像时出现的对角线失真和虚警错误问题，提出了一种应用DWT-DCT混合变换，基于细胞神经网络和BN-SVD的零水印算法，零水印的注册图像由细胞神经网络的输出生成。实验结果证明，本文算法本质上解决了水印图像的对角线失真和虚警错误问题，并且在经过滤波、噪声、压缩以及剪切等常见攻击后，提取出的水印NC值均达到96%以上，有效提高了算法的鲁棒性。细胞神经网络并行处理图像可硬件实现，使得该算法可以应用于实时性要求较高的场合。但算法在运行时间和复合型几何攻击方面有待提高。在今后的研究中，希望能在抵抗更大强度的常见攻击以及复合型几何攻击方面进一步探索。