信息隐藏技术利用图像的相关性，可以将秘密信息隐形地嵌入到载体数据中，获得高视觉质量的载密图像，指定接收方可以从载密图像中提取出秘密信息。大多数的信息隐藏技术在数据嵌入过程中会对载体图像造成不可逆的破坏，可逆信息隐藏(reversible data hiding，RDH)是一种特殊的信息隐藏技术，可以保证载体数据和秘密信息的完整恢复。因此RDH被认为是遥感、医学诊断和司法图像处理(Hou等，2019；欧博等，2022)等敏感场景下用于版权认证和完整性保护的有效方法。目前已有许多对无压缩图像提出的RDH方法，根据使用技术分为无损压缩(Fridrich等，2002；Celik等，2005)、差分扩展(Tian，2003；Dragoi和Coltuc，2014)和直方图平移(Ni等，2006；Yin等，2021；Zhang等，2013)。

JPEG(joint photographic experts group)是目前最流行的图像格式，广泛应用于多种摄影设备和互联网传播，也是信息隐藏的常用载体(尹晓琳等，2022；Lu等，2021)，以JPEG图像为载体的RDH方法也得到了研究人员的关注。但是由于JPEG压缩需要减少高频分量以实现更好的压缩效果，上文提到的以无压缩图像为载体的RDH方法并不能直接应用于JPEG图像。目前JPEG图像的RDH方法根据使用的技术分为基于量化DCT(discrete cosine transform)系数修改的方法(Huang等，2016；Hou等，2018)、基于量化表修改的方法(Fridrich等，2002；Wang等，2013)和基于变长编码(variable-length code, VLC)映射的方法(Qian和Zhang，2012；Hu等，2013)。

基于量化DCT系数修改的方法直接在JPEG文件解码出的量化DCT系数上修改，实现秘密信息的嵌入。Xuan等人(2007)方法利用量化DCT系数的频数统计结果符合以0为中心的拉普拉斯分布的特点，将量化DCT系数分为3部分，即适合用于信息嵌入的部分、绝对值小于阈值而无需修改的部分和绝对值大于阈值需要平移为信息嵌入创造空间的部分，应用直方图平移技术实现JPEG图像的RDH。之后，在Xuan等人(2007)方法的基础上提出了一系列方法，进一步优化了系数选择策略，如Sakai等人(2008)的方法。这些方法降低了信息嵌入导致的失真，但是以JPEG图像为载体的RDH方法的评价指标除了方法可提供的嵌入容量和载密图像的视觉质量之外，还包括载密图像相较于载体图像的文件膨胀大小。Huang等人(2016)提出了新的量化DCT系数选择策略，即保持0系数不变，只扩展绝对值为1的系数用于嵌入信息，绝对值大于1的系数平移1位提供用于信息嵌入的空间，嵌入后所有量化DCT系数改变的幅值最大为1，不仅保证了视觉质量，并且避免了由于修改0系数导致的文件膨胀。Hou等人(2018)又在该方法基础上进一步优化了块和频率的选择策略，实现了更好的性能。基于量化DCT系数修改的RDH方法，在提供较大的嵌入容量的同时，造成的文件膨胀可接受并能获得视觉质量较高的载密图像，在3个评价指标下做到了较好的平衡，也因此得到了许多的关注研究。

基于量化表修改的RDH方法首先由Fridrich等人(2002)提出。在信息嵌入过程中，首先将量化表中为偶数的量化因子除以2，再将载体图像中对应位置的量化DCT系数乘以2，从而无损且可逆地提供可用于信息嵌入的冗余，然后将秘密信息嵌入到修改后的量化DCT系数的最小显著位(least significant bits，LSB)。Chen等人(2010)使用修改前后的量化表将量化DCT系数映射到更大的表上，从而实现信息嵌入，可提供更大的嵌入容量和更好的视觉质量，但导致的文件膨胀较大。JPEG标准默认的量化表提供了压缩图像在文件大小和视觉质量之间的平衡，而基于量化表修改的方法不可避免地破坏了压缩图像的平衡，因此这类方法很难同时在嵌入容量、视觉质量和文件膨胀上达到高性能，在数据嵌入后，JPEG图像的存储大小会显著增加。

基于VLC映射的方法通过修改定义哈夫曼表和JPEG比特流实现信息嵌入。Mobasseri等人(2010)发现在JPEG压缩过程中，只有小部分VLC用于编码量化DCT系数，即已使用的VLC；而定义哈夫曼表中存在大量VLC未在JPEG比特流中出现，即未使用的VLC。该方法构建了从已使用的VLC到未使用的VLC的映射，并在JPEG比特流中以未使用的VLC替换已使用的VLC实现秘密信息的嵌入，最后根据VLC映射关系修改JPEG文件头中的定义哈夫曼表实现原载体图像的可逆恢复。Qian和Zhang(2012)的方法和Hu等人(2013)的方法提出了新的构建VLC映射的方法，可以将已使用的VLC映射到多个未使用的VLC，从而提供更大的嵌入容量。基于VLC映射的方法直接在JPEG比特流上修改实现信息嵌入，不需要编码和解码过程。这类方法直接修改了VLC与量化DCT系数的对应关系，因此修改前后的JPEG比特流解码出的量化DCT系数完全一致，即基于VLC映射的方法不会导致图像视觉质量的降低。另一方面，通过限定VLC映射关系中已使用VLC和未使用VLC的编码长度，基于VLC映射的方法可以很好地控制文件膨胀，部分方法能达到文件膨胀为0甚至是负数的性能。但目前提出的大部分基于VLC映射的方法相比于基于量化DCT系数和量化表修改的方法，所能提供的嵌入容量十分有限，为了解决这一问题，还需要构建更优的VLC映射规则。

总体来说，对于JPEG图像的RDH方案，基本的评价指标为嵌入容量、视觉质量和文件膨胀大小。嵌入容量与视觉质量之间、嵌入容量与文件膨胀大小之间都存在权衡。基于量化DCT系数和基于量化表修改的方法，需要同时对3个评价指标优化，但是基于VLC映射的方法并不会造成视觉质量的降低，因此只需要优化嵌入容量和文件膨胀大小。另一方面，基于VLC映射的方法也是相对高效的信息嵌入方法，因为秘密信息直接嵌入到JPEG比特流中，不需要解压缩JPEG文件。但是以往的基于VLC映射的方法总是倾向于在不导致文件膨胀的前提下提高嵌入容量，虽然可以使载密图像的视觉质量和文件大小都与载体图像相同，但所能提供的嵌入容量过低，极大限制了这类方法的应用。而若基于VLC映射的方法能提供足够的嵌入容量，并且造成的文件膨胀是可接受的，可以更好地在大多数场景下应用。

本文提出了一种新的基于全体VLC映射的JPEG图像的RDH方法，在可接受的文件膨胀大小下，可提供较大的嵌入容量。首先，针对JPEG压缩过程中存在的编码冗余，优化了原始图像的定义哈夫曼表，根据新的编码表修改JPEG比特流后获得去除了编码冗余的载体；其次，分析了VLC映射导致的文件膨胀，进一步提出了中间VLC的概念，并论证了使用中间VLC映射相比于直接VLC映射，造成的文件膨胀更小；然后，基于JPEG比特流中VLC频数的统计特征，构建了最优中间VLC映射模型；最后，计算模拟嵌入下文件膨胀大小，确定最优的中间VLC映射。实验结果表明，本文方法相较于之前的JPEG图像的RDH方法，可以更好地平衡嵌入容量和文件膨胀。

在JPEG压缩过程中，空域图像经过DCT变换和量化，像素值转化为量化直流(direct current, DC)系数和量化交流(alternating current, AC)系数。接下来，在熵编码阶段，首先获得量化AC和量化DC系数的中间形式。量化AC系数采用行程长度编码预压缩，被转换为行程长度/幅值大小(run size value, RSV)的中间形式，其中，行程长度为两个非零量化AC系数之间0系数的个数，幅值大小为编码下一个非零量化AC系数所需的编码长度。量化DC系数的中间形式记录了相邻量化DC系数的差值。量化AC系数的中间形式RSV经过哈夫曼编码实验VLC编码，量化DC系数的中间形式使用VLI编码。最后使用2进制编码VLC和VLI替换量化AC和DC系数的中间形式得到JPEG比特流的压缩数据段。编码和中间形式的对应关系分别存储在AC和DC系数的定义哈夫曼表(defined Huffman table, DHT)中，定义哈夫曼表以及量化表存储在JPEG文件头中，JPEG文件头和压缩数据段组成了JPEG比特流。

JPEG文件头中的DHT字段中定义了构造哈夫曼表所需要的信息，量化AC系数的DHT结构如图 1所示。根据编码长度将VLC分为16类，每个类中的VLC个数和每个VLC对应的RSV都记录在DHT中。图 1中，$N_{i}$表示长度为$i$的VLC的个数，$R_{i, j}$表示对应VLC的编码长度为$i$的第$j$个RSV。由于JPEG标准中使用的VLC是固定的，只需将$R_{1, 1}$到$R_{16, N_{16}}$按顺序对应到每个VLC便可实现JPEG文件的编码和解码。

JPEG标准的DHT中定义了162个VLC，但JPEG比特流中只使用了小部分编码。通过修改量化AC系数的DHT，改变RSV对应的VLC，构建从已使用的VLC到未使用的VLC的映射关系，并根据该映射关系将压缩数据段中已使用的VLC替换为未使用的VLC，从而实现信息嵌入。

图 2给出了一个秘密信息嵌入到JPEG比特流上的例子。给定JPEG比特流，解码出部分的RSV和AC系数为{(1, 6), 20, (1, 6), -16}。其中，(1, 6)为行程长度为0、幅值为6的RSV，20和-16为非零量化AC系数的幅值。比特流中并未出现(4, 5)对应的VLC，因此可以构建(1, 6)→(4, 5)的映射关系用于嵌入秘密信息。为了保证信息嵌入不破坏图像质量，需要修改DHT中(4, 5)为(1, 6)，使原(4, 5)对应的VLC和原(1, 6)对应的VLC解码出的RSV一致。为了嵌入1比特的秘密信息“$1$”，以原始DHT中(4, 5)对应的VLC替换(1, 6)对应的VLC，若嵌入1比特的秘密信息“$0$”，则不需要修改。嵌入信息后，JPEG比特流解码出的RSV和AC系数仍然为{(1, 6), 20, (1, 6), -16}。总的来说，基于VLC映射实现信息嵌入改变了JPEG比特流，同时也修改了DHT中RSV和VLC的对应关系，因此不会影响解码出的DCT系数，从而实现无损可逆的信息隐藏。

基于VLC映射的RDH方法不会降低图像质量，因此VLC映射的构造需要考虑如何提供更大的嵌入容量并使文件膨胀更小。

JPEG图像Baboon中不同长度类的VLC的平均使用次数和其中已使用和未使用的VLC的个数的统计结果如图 3所示。根据统计结果，VLC的平均使用次数与其编码长度为负相关；编码长度较短的VLC基本已被使用，而未使用的VLC编码长度较长。本文定义限长VLC映射，其构建映射的规则为：编码长度等于$a$的VLC只能被映射到编码长度小于或等于$a$的VLC。使用限长VLC映射做信息嵌入，文件膨胀必小于等于0。根据VLC的统计结果，在编码长度较短的类中很难构建符合要求的映射关系；在编码长度较长的类中，可以构建映射关系，但是VLC的使用次数较少，即比特流中可被替换的VLC个数较少，因此嵌入容量受到很大限制。

构建全体VLC映射的规则为：不需限制VLC映射关系中已使用VLC和未使用VLC的编码长度，编码长度等于$a$的VLC可以被映射到编码长度等于$b$的VLC。构建全体VLC映射时，可以选择出现频数高而编码长度较短的VLC，映射到编码长度较长的未使用的VLC，在一定程度上解决了嵌入容量不足的问题。但是使用全体VLC映射做信息嵌入，在嵌入载荷较大时，易造成严重的文件膨胀。如图 3所示，若被选取用做载体VLC的已使用的VLC需要满足大容量的嵌入需求，则其编码长度会较短；但未使用的VLC只存在于编码长度为16的类中。因此在嵌入秘密信息时会导致大量编码长度短的VLC被编码长度长的VLC替换，这显然会导致较大的文件膨胀。

依据是否在JPEG比特流的压缩数据段使用，将VLC分为已使用的VLC集合$\boldsymbol{S}=\{v^{So}_{1}$, $v^{So}_{2}, …, v^{So}_{n}\}$和未使用的VLC集合$\boldsymbol{U}=\{v^{Uo}_{1}$, $v^{Uo}_{2}, …, v^{Uo}_{m}\}$。其中，$n$为已使用的VLC个数，$m$为未使用的VLC个数。$\boldsymbol{S}$中元素在压缩数据段中出现频数的集合为$\boldsymbol{H}=\{h^{o}_{1}$, $h^{o}_{2}, …, h^{o}_{n}\}$，$\boldsymbol{S}$和$\boldsymbol{U}$中元素编码长度的集合为$\boldsymbol{L}=\{l^{o}_{1}$, $l^{o}_{2}, …, l^{o}_{n}$, $l^{o}_{n+1}, …, l^{o}_{n+m}\}$，集合中元素的下标索引$1 \sim (n+m)$对应$R_{1}$到$R_{16}$的顺序。原始压缩数据段的大小为

$F=\sum\limits_{i=1}^n h_i^o \times l_i^o $

(1)

为了更清晰地分析造成文件膨胀的因素，先考虑单对单VLC映射的简化情况。设定秘密信息是长度为$P$的比特串，其中，“1”的个数为$h_{s}$。构建从已使用的$v^{So}_{e}$到未使用的$v^{Uo}_{u}$的映射，$v^{So}_{e}→v^{Uo}_{u}$，其中，$v^{So}_{e}$为用于嵌入信息的VLC，称为载体VLC。显然为了实现秘密信息的完整嵌入，载体VLC的频数$h^{o}_{e}$需要大于等于$P$。

定义$v^{So}_{e} → v^{Uo}_{u}$为直接VLC映射。频数直方图改变如图 4(a)所示，嵌入信息后压缩数据段中的$h_{s}$个$v^{So}_{e}$被$v^{Uo}_{u}$替换，$v^{So}_{e}$的频数由$h^{o}_{e}$变为$h^{o}_{e}-h_{s}$，$v^{Uo}_{u}$的频数由0变为$h_{s}$。因此，嵌入信息引起的文件膨胀大小为

$ I_1=\left(l_{u+n}^o-l_e^o\right) \times h_s $

(2)

若$l^{o}_{e}≥l^{o}_{u+n}$，则该映射为1.2节介绍的限长VLC映射，虽然$I_{1}≤0$不会造成文件膨胀，但并不能提供较大的嵌入容量；若$l^{o}_{e}≤l^{o}_{u+n}$，则该映射为全体VLC映射，虽然可以满足较大嵌入容量的需求，但为了保证$h_{e}＞P，$可能出现$l^{o}_{e}=2$而$l^{o}_{n+u}=16$的极端情况，文件膨胀会较大。

由于直接VLC映射无法同时满足对嵌入容量和文件膨胀的需求，考虑通过引入中间$v^{So}_{c}$完成从$\boldsymbol{S}$中元素到$\boldsymbol{U}$中元素的映射，映射变为$v^{So}_{e} → v^{So}_{c} → v^{Uo}_{u}$，称为中间VLC映射。频数直方图改变如图 4(b)所示，比特流中$h_{s}$个$v^{So}_{e}$被$v^{So}_{c}$替换，而$v^{So}_{c}$全部被$v^{Uo}_{u}$替换，$v^{So}_{e}$的频数改变和直接VLC映射相同，中间VLC的频数由$h^{o}_{c}$变为$h_{s}$，$v^{Uo}_{u}$的频数由0变为$h^{o}_{c}$，嵌入信息造成的文件膨胀大小为

$I_2=\left(l_c^o-l_e^o\right) h_s+\left(l_{n+u}^o-l_c^o\right) h_c^o $

(3)

只需满足$h^{o}_{c} < h_{s}$和$l^{o}_{e} < l^{o}_{c} < l^{o}_{n+u}$，便有$I_{2} < I_{1}$，则中间VLC映射相对于直接VLC映射，可以在提供相同嵌入容量的前提下，减小文件膨胀。本文从影响JPEG比特流大小的因素出发，通过优化DHT去除编码冗余，确定最优的中间VLC映射，以在提供较大嵌入容量的同时尽可能缩小文件膨胀。

根据标准的哈夫曼编码，频数越高的字符会被分配长度越短的编码，以使得平均编码长度最短。JPEG压缩过程中的熵编码也利用该思想进一步压缩数据，但为了节省运算开销和能够快速地重建出哈夫曼编码树，JPEG标准使用的是范式哈夫曼编码。RSV和VLC的对应信息存储在DHT中，因此可以直接编码RSV得到比特流。所以在实际情况中，频数高的RSV对应的VLC的编码长度并不一定小于频数低的RSV对应的VLC的编码长度。RSV重排序前的VLC频数如图 5(a)所示，其中，横坐标为从$R_{1}$到$R_{16}$的编码长度增长，但对应的VLC频数并不是单调下降。根据式(1)，更大的$h_{i}$对应更小的$l_{i}$能取得更小的$F$，因此JPEG标准提供的DHT对于图像压缩来说并不是最优的，会造成编码的冗余。

在进行正式的信息嵌入之前，先对载体图像做RSV重排序，为频数更高的RSV分配编码长度更短的VLC。RSV重排序后，已被使用和未被使用的VLC集合分别为$\boldsymbol{S}′=\{v^{S}_{1}$, $v^{S}_{2}, …, v^{S}_{n}\}$和$\boldsymbol{U}′=\{v^{U}_{1}$, $v^{U}_{2}, …, v^{U}_{m}\}$，$\boldsymbol{S}'$中元素的频数集合为$\boldsymbol{H}'=\{h_{1}$, $h_{2}, …, h_{n}\}$，$\boldsymbol{S}'$和$\boldsymbol{U}'$中元素的长度集合为$\boldsymbol{L}'=\{l_{1}$, $l_{2}, …, l_{n}$, $l_{n+1}$, $l_{n+2}$, $l_{n+m}\}$，$\boldsymbol{H}'$和$\boldsymbol{L}'$中的元素满足的条件为

$ \begin{cases}h_i \geqslant h_j & i<j \\ l_i \geqslant l_j & i>j\end{cases} $

(4)

RSV重排序操作所缩小的文件大小为$F_{R} =\sum\limits_{i=1}^n\left(h_i^o \times l_i^o\right)-\left(h_i \times l_i\right)$。RSV重排序修改了RSV和VLC的对应关系，并相应更新了压缩数据段中的VLC，并不会修改解码后得到的载体图像。

RSV重排序后再次统计从$R_{1, 1}$到$R_{16, N_{16}}$对应的VLC的频数，如图 5(b)所示，呈单调下降。RSV重排序不仅去除了原始数据流的编码冗余，也有助于下一步寻找使文件膨胀最小的中间VLC映射，即最优中间VLC映射。

在RSV重排序后得到单调下降的VLC频数分布的基础上，构建最优中间VLC映射。根据式(3)，形如$v^{S}_{e} → v^{S}_{c} → v^{U}_{u}$的中间VLC映射，导致的文件膨胀可以分为嵌入映射膨胀和中间映射膨胀两部分。嵌入映射膨胀为使用$v^{S}_{c}$替换比特流中的$v^{S}_{e}$导致的膨胀，记为$I_{E}=(l_{c}-l_{e})h_{s}$；影响因素有秘密信息中“1”的个数$h_{s}$，$v^{S}_{e}$与$v^{S}_{c}$的编码长度差、频数差。其中，$h_{s}$只由秘密信息决定，无法在嵌入过程中优化这一影响因素。中间映射膨胀为使用$v^{U}_{u}$替换比特流中的$v^{S}_{c}$导致的膨胀，记为$I_{I}=(l_{n+u}-l_{c})×h_{c}$，影响因素有中间VLC的频数$h_{c}$以及$v^{S}_{c}$和$v^{U}_{u}$的编码长度差。

首先，考虑确定最优$v^{U}_{u}$。为了缩小$v^{S}_{c}$和$v^{U}_{u}$的编码长度差，选择$\boldsymbol{U}'$中编码长度最小的VLC作为$v^{U}_{u}$可以使$l_{n+u}$取到最小值，而在RSV重排序后$v^{U}_{1}$有着$\boldsymbol{U}'$中VLC中最小的编码长度，因此可确定$u=1$。

其次，确定最优的$v^{S}_{c}$。固定$l_{c}$，使$h_{c}$最小，则令$v^{S}_{c}$为$\boldsymbol{S}'$中编码长度等于$l_{c}$的VLC中频数最小的VLC。

至此，已初步确定$v^{U}_{u}$和$v^{S}_{c}$的选择策略，若进一步缩小中间映射膨胀，可将$v^{S}_{c} → v^{U}_{u}$视为一个直接VLC映射，通过再引入一个中间VLC来减小中间映射膨胀。

再引入新的中间$v^{S}_{c1}$，使$v^{S}_{e} → v^{S}_{c} → v^{U}_{u}$转为$v^{S}_{e} → v^{S}_{c} → v^{S}_{c1} → v^{U}_{u}$，称$v^{S}_{c}$在新的映射中为起始中间VLC。使用新的VLC映射嵌入秘密信息后，比特流中$h_{c}$个$v^{S}_{c}$被$v^{S}_{c1}$替换，而$v^{S}_{c1}$全部被$v^{U}_{u}$替换，$v^{S}_{c}$的频数仍为从$h_{c}$变为$h_{s}$，$v^{S}_{c1}$的频数由$h_{c1}$变为$h_{c}$，$v^{U}_{u}$的频数由0变为$h_{c1}$。中间映射膨胀的计算式为

$ I_I^1=\left(l_{c 1}-l_c\right) h_c+\left(l_{n+u}-l_{c 1}\right) h_{c 1} $

(5)

因此，只需满足$h_{c1} < h_{c}$和$l_{c} < l_{c1} < l_{n+u}$，便有$I^{1}_{I} < I_{I}$，即相对于$v^{S}_{c} → v^{U}_{u}$，使用新的映射可以进一步缩小中间映射膨胀。因为$\boldsymbol{U}'$中的元素对应的频数和编码长度在$\boldsymbol{H}'$和$\boldsymbol{L}'$中的索引必大于$\boldsymbol{S}'$，经过RSV重排序，根据式(4)，必有$h_{c1} < h_{c}$和$l_{c1} < l_{n+u}$。同样，先固定$l_{c1}$，使$h_{c1}$最小，则令$v^{S}_{c1}$为$\boldsymbol{S}'$中编码长度等于$l_{c1}$的VLC中频数最小的VLC。由于直接增大或减小$l_{c1}$对$I^{1}_{I}$中$(l_{c1}-l_{c})h_{c}$和($l_{n+u}-l_{c1}$)$h_{c1}$两项造成的大小改变是相反的，因此若想进一步缩小$I^{1}_{I}$，需要再将$v^{S}_{c1} → v^{U}_{u}$视为直接映射，即再通过引入新的中间VLC来减小中间映射膨胀。

根据上述分析，可以通过不断引入新的VLC降低中间映射膨胀。使中间映射膨胀最小而引入的所有中间VLC组成集合$\boldsymbol{VI}=\{v^{S}_{c0}$, $v^{S}_{c1}, …, v^{S}_{cx}\}$。值得注意的是，必有$l_{cx}=l_{n+u}-1$和$l_{ci}-l_{c(i－1)}=1$，因为若$l_{n+u}-l_{cx}≥2$或$l_{ci}-l_{c(i－1)}≥2$，则可以通过对映射$v^{S}_{cx} → v^{U}_{u}$或$v^{S}_{c(i－1)} → v^{S}_{ci}$引入新的中间VLC来进一步缩小中间映射膨胀，这与$\boldsymbol{VI}$是使$v^{S}_{c0} → v^{U}_{u}$导致的文件膨胀最小而引入的所有中间VLC组成的集合矛盾。综上所述，集合$\boldsymbol{VI}$由编码长度等于$l_{c0}\sim l_{n+u}-1$的类中频数最小的VLC组成，其中所有元素的频数和编码长度满足

$ \begin{cases}l_{c i}<l_{c j} & 0 \leqslant i<j \leqslant x \\ h_{c i}>h_{c j} & 0 \leqslant i<j \leqslant x\end{cases} $

(6)

新的中间映射导致文件膨胀的计算式为

$ \begin{gathered} I_{V I}^2=\left(l_{n+u}-l_{c x}\right) \times h_{c x}+\sum\limits_{i=1}^x\left[\left(l_{c i}-l_{c(i-1)}\right) \times\right. \\ \left.\left(h_{c(i-1)}-h_{c i}\right)\right] \end{gathered} $

(7)

引入$x + 1$个中间VLC后，中间映射膨胀达到最小，实现了最优中间VLC映射。在最优中间VLC映射模型下，从$v^{S}_{e}$到$v^{U}_{u}$的映射过程为$v^{S}_{e} → v^{S}_{c0} → v^{S}_{c1}$→…→$v^{S}_{cx} → v^{U}_{u}$。嵌入秘密信息后VLC频数的变化统计如图 6所示。嵌入映射为$v^{S}_{e} → v^{S}_{c0}$时，$v^{S}_{e}$的频率由$h_{e}$变为$h_{e}-h_{s}$，中间映射为$v^{S}_{c0}$→…→$v^{S}_{cx} → v^{U}_{u}$，$v^{S}_{c0}$的频率由$h_{c0}$变为$h_{s}$，之后，$v^{S}_{ci}$的频率由$h_{ci}$变为$h_{c(i－1)}$，$v^{U}_{u}$的频率由0变为$h_{cx}$。

下面给出对载体图像和嵌入载荷构建最优中间VLC映射的方法。

若只使用一个载体VLC构建映射，能提供的嵌入容量至多为JPEG比特流中VLC的最大频数$h_{1}$，为了更好地应对大嵌入载荷的需求，需要再增加一个载体VLC, 进一步增大可提供的嵌入容量。将嵌入载荷分配到两个载体VLC上，可以使选择的载体VLC的长度与起始中间VLC的长度更接近，从而进一步降低嵌入映射膨胀。第1个映射为$v^{S}_{e1} → v^{U}_{u1}$，使用$v^{S}_{e1}$作为载体VLC映射到$v^{U}_{u1}$，有$u1=1；$第2个映射为$v^{S}_{e2} → v^{U}_{u2}$，使用$v^{S}_{e2}$作为载体VLC映射到$v^{U}_{u2}$，由于$v^{U}_{1}$在第1个映射中已被使用，因此选择在$\boldsymbol{U}'$中编码长度仅大于等于$v^{U}_{1}$的$v^{U}_{2}$，有$u2=2。$为了简化运算，本文方法设置约束如下：在第1个映射达到最大嵌入容量后，再通过第2个映射嵌入信息。

嵌入映射和中间映射导致的文件膨胀都与$v^{S}_{c0}$的编码长度有关，若$v^{S}_{c0}$的编码长度偏短而与$v^{S}_{e}$的编码长度接近，则会减小嵌入映射膨胀而增大中间映射膨胀；反之，则会增大嵌入映射膨胀而减小中间映射膨胀。因此起始中间VLC长度$l_{c0}$并不能被直接确定。在满足嵌入容量要求的前提下，需要尽可能地选择编码长度与$l_{c0}$接近的$v^{S}_{e}$以缩小嵌入映射膨胀。假设给定的秘密信息中“1”的个数为$h_{s}$，分配给第1个映射的嵌入载荷为$h_{s1}$，分配给第2个映射的嵌入载荷为$h_{s2}$。对载体比特流，使用不同的载体VLC和中间VLC集合$\boldsymbol{VI}$构建映射做模拟嵌入，计算文件膨胀大小。可得到在最优中间VLC映射模型下，使文件膨胀最小的映射及其使用的载体$v^{S}_{e1}$，$v^{S}_{e2}$和中间VLC集合$\boldsymbol{VI}_{1}$，$\boldsymbol{VI}_{2}$。

确定载体$v^{S}_{e1}$，$v^{S}_{e2}$和中间VLC集合$\boldsymbol{VI}_{1}$，$\boldsymbol{VI}_{2}$的过程可描述为

$ \begin{aligned} & v_{e 1}^S, v_{e 2}^S, \boldsymbol{V} \boldsymbol{I}_1, \boldsymbol{V} \boldsymbol{I}_2=\arg \min (F S I) \\ \text { s. t. } & \boldsymbol{V} \boldsymbol{I}_1 \subseteq \boldsymbol{M i n}_1, \boldsymbol{V} \boldsymbol{I}_2 \subseteq \boldsymbol{M i n}_2, h_{e 1}+h_{e 1} \geqslant P \end{aligned} $

(8)

式中，$\boldsymbol{Min}_{1}$和$\boldsymbol{Min}_{2}$分别为各编码长度类中频数最小和次小的VLC集合，总文件膨胀$FSI$的计算式为

$ F S I=\left(l_{n+u 1}-l_{e 1}\right) h_{s 1}+\left(l_{n+u 2}-l_{e 2}\right) h_{s 2}+I_{V I_1}^2+I_{V I_2}^2 $

(9)

下面给出一个实例，对RSV重排序后的载体图像计算式(8)确定的载体VLC为$v^{S}_{3}$和$v^{S}_{2}$；$\boldsymbol{VI}_{1}$由编码长度等于5~15的类中频数最小的VLC组成，$\boldsymbol{VI}_{2}$由编码长度等于5~12的类中频数最小的VLC组成，总映射过程如图 7所示。可以看出，构成映射的VLC的编码长度并不完全满足$l_{cx}=l_{n+u}-1$和$l_{ci}-l_{c(i-1)}=1$，因为根据JPEG标准的DHT，各编码长度类中VLC个数并不完全满足需求，如编码长度为13、14比特的VLC个数为0，而编码长度为15比特的VLC个数为1。即使如此，使用本文的最优中间VLC映射模型，仍能使中间映射膨胀最小。

下面通过一个示例说明由接收到的JPEG比特流中的哈夫曼表倒推出嵌入信息时所用VLC映射的过程。

如图 8所示，有两个相同的RSV字符“11”，嵌入映射为$(1, 1)^{1}_{v}→(1, 1)^{2}_{v}$。$(1, 1)^{1}_{v}$为第1个“11”对应的VLC，即载体$v^{S}_{e}$；$(1, 1)^{2}_{v}$为第2个“11”对应的VLC，即起始中间$v^{S}_{c0}$。第2个“11”为DHT中第9个RSV，结合DHT表中记录的每个编码长度类中VLC个数，其编码长度为5，则根据最优中间VLC映射模型，可确定$\boldsymbol{VI}$由编码长度等于5~15的类中频数最小的VLC构成。按每个编码长度类中频数最小的VLC索引取得所有中间VLC组成集合$\boldsymbol{VI}$，其中元素为$(1, 1)^{2}_{v}$, $(3, 1)_{v}$, $(4, 1)_{v}$, $(2, 2)_{v}$, $(9, 1)_{v}$, $(15, 0)_{v}$, $(3, 3)_{v}$, $(7, 2)_{v}$。若嵌入信息时使用了两个映射，则DHT中会有两对相同的RSV，可同样倒推出嵌入时使用的映射。因此使用本文方法接收方并不需要辅助信息就可以构建出映射。但是需要在秘密信息前加上16位的辅助信息用于存储秘密信息的长度，并与秘密信息一起嵌入到经过RSV重排序的JPEG比特流中，用于指示接收端何时停止秘密信息的提取。

对JPEG比特流$\boldsymbol{J}$嵌入总长度为$P$的包含16位辅助信息的秘密信息，详细过程如下：

1) 解析原始的JPEG比特流$\boldsymbol{J}$，获得文件头中量化AC系数的DHT。重排序操作确定新的RSV和VLC的对应关系，根据新的对应关系修改原始DHT得到$\boldsymbol{D}$，使用$\boldsymbol{D}$编码$\boldsymbol{J}$的压缩数据段并替换文件头中的DHT得到$\boldsymbol{J}'$。

2) 统计$\boldsymbol{J}'$的压缩数据段中VLC频数，根据式(8)获得构建最优中间VLC映射需要的载体$v^{S}_{e1}$和$v^{S}_{e2}$、中间VLC集合$\boldsymbol{VI}_{1}$和$\boldsymbol{VI}_{2}$。

3) 根据最优中间VLC映射关系修改$\boldsymbol{D}$, 得到$\boldsymbol{D}'$。

4) 先通过$v^{S}_{e1}$和$\boldsymbol{VI}_{1}$构建的第1个映射修改$\boldsymbol{J}'$的压缩数据段嵌入信息。若秘密信息未嵌入完成，再通过$v^{S}_{e2}$和$\boldsymbol{VI}_{2}$构建的第2个映射嵌入信息。

5) 以$\boldsymbol{D}'$替换$\boldsymbol{J}'$文件头中的$\boldsymbol{D}$，获得载密比特流$\boldsymbol{J}^{S}$。

从JPEG比特流$\boldsymbol{J}^{S}$中提取秘密信息并恢复载体图像的详细过程如下：

1) 解码接收到的JPEG比特流$\boldsymbol{J}^{S}$, 获得文件头中量化AC系数的哈夫曼表$\boldsymbol{D}'$，根据$\boldsymbol{D}'$倒推出嵌入信息时的VLC映射。

2) 先提取出前16位数据为嵌入秘密信息的长度，再提取出相应长度的秘密信息，并根据映射关系恢复原始的压缩数据段。

3) 使用DHT替换$\boldsymbol{J}^{S}$文件头中的$\boldsymbol{D}'$，以恢复的原始压缩数据段替换$\boldsymbol{J}^{S}$的压缩数据段组成原始载体图像$\boldsymbol{J}$。

为了验证本文方法的性能，对嵌入容量和文件膨胀性能进行对比实验。实验从USC-SIPI(Weber，1997)数据库中获得tiff格式的测试图像，并使用MATLAB R2017a将测试图像转化为512×512×8 bit的JPEG格式的灰度载体图像，与基于VLC映射的JPEG图像的RDH方法(Hu等，2013；Qiu等，2018；Du等人，2022)和基于量化DCT系数修改的JPEG图像的RDH方法(Huang等，2016；Hou等，2018)进行对比。

从USC-SIPI数据库中挑选Baboon，Boat、Bridge，Lena，Peppers和Splash为测试图像，以10~90的9个质量因子(quality factor, QF)对测试图像进行JPEG压缩获得载体图像。统计Hu等人(2013)方法、Qiu等人(2018)方法和本文方法对6幅载体图像所能嵌入秘密信息的最大比特数，结果如表 1所示。3种方法所能提供的嵌入容量都依赖于所选择的载体VLC的频数，因此对不同图像应用同一种方法所能提供的嵌入容量也差距较大。正如前文分析，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法提供的嵌入容量十分有限，这是由于需要保证VLC映射中已使用的VLC和未使用的VLC的编码长度相同，二者都只能选择频数较低的VLC作为载体VLC。本文方法能提供的嵌入容量相对于Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法有着绝对优势，对不同载体图像，本文方法能提供的嵌入容量是Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法的5倍以上，且差距随着质量因子QF的增长而扩大。对于QF = 90的载体图像，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法仅能提供数千比特的嵌入容量，而本文方法能提供数万比特的嵌入容量。值得注意的是，本文方法能提供的嵌入容量随着QF的增大有明显的上升趋势，但使用限长VLC映射的方法能提供的嵌入容量可能随着QF的增大而减小。表 1第1行为Baboon图像的测试结果。在QF = 10时，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法能提供$7×10^{3}$ bit左右的嵌入容量，但在QF = 90时，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法能提供的嵌入容量缩减为不到$1×10^{3}$ bit。与之相反的是，本文方法对Baboon图所能提供的嵌入容量随着QF的增加由$1×10^{4}$增加至$6×10^{4}$ bit，这也说明本文方法能够更稳定地满足嵌入载荷的需求。

全体VLC映射在能提供较大嵌入容量的同时，也会导致所得到的载密图像的存储大小的膨胀。本文通过RSV重排序和构建最优的中间VLC映射来减小文件膨胀。由于Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法使用的是限长VLC映射，而Du等人(2022)方法和本文方法使用的是全体VLC映射，两类方法所能提供的嵌入容量差距较大，实验分别使用较小和较大的嵌入载荷进行测试，并统计所导致的文件膨胀，实验结果如表 2所示。在嵌入载荷为800 bit时，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法基本可以完成秘密信息的嵌入，且不会造成文件大小的改变，即文件膨胀为0。Du等人(2022)方法和本文方法都对载体图像的编码冗余做了一定处理，在嵌入载荷较小时，信息嵌入导致的文件膨胀可被编码冗余完全抵消，因此文件膨胀为负数。如QF = 20的载体图像嵌入800 bit的秘密信息的实验结果，Du等人(2022)方法和本文方法的文件膨胀为负数，相较于限长VLC映射方法存在较大优势。

在嵌入载荷较大时，Hu等人(2013)方法和Qiu等人(2018)方法并不能完成秘密信息的嵌入。从实验结果可以看出，对于QF较小的载体图像，Du等人(2022)方法和本文方法去除编码冗余的操作对控制文件膨胀有更大影响；而对于QF较大的载体图像，编码冗余并不能再抵消信息嵌入导致的文件膨胀，Du等人(2022)方法和本文方法导致的文件膨胀也随之增大。根据实验结果，在嵌入载荷较大时，本文方法相对于Du等人(2022)方法更具优势。如对于QF = 90的6幅载体图像，嵌入$1.8×10^{4}$ bit的秘密信息，本文方法导致的文件膨胀相比于Du等人(2022)方法最少降低9%，最多降低42%。两种方法在不同载体图像上的性能差距不同是因为不同载体图像的VLC频数的统计结果相差较大。为了更好地比较这两种方法控制文件膨胀的性能，使用两种方法对USC-SIPI数据库中的210幅图像进行测试并统计文件膨胀。首先，210幅原始数据格式为tiff的测试图像，经过与前文一样的处理转为512 × 512 × 8 bit的JPEG压缩图像，QF取30、50、70、90。然后，使用Du等人(2022)方法和本文方法对4种QF的载体图像嵌入秘密信息，计算文件膨胀的平均值，结果如图 9所示。实验结果表明，本文方法导致的平均文件膨胀略低于Du等人(2022)方法。图 9(d)中本文方法的优势体现得更加明显，如在嵌入载荷为$1.8×10^{4}$ bit时，本文方法导致的平均文件膨胀相较于Du等人(2022)方法缩小了接近$5×10^{3}$ bit。进一步验证了本文的最优中间VLC映射模型的有效性，可以稳定地满足较大嵌入载荷的需求，有效利用VLC频数的分布特性，使信息嵌入导致的文件膨胀被有效控制。JPEG图像的RDH方法对文件膨胀和嵌入容量的要求在最优中间VLC映射模型下同时得到了满足。

为进一步验证本文方法的性能，与基于量化DCT系数修改的方法进行对比。首先，分析两种方法对视觉质量的影响。基于量化DCT系数修改的方法在嵌入过程中，DCT系数会被修改，势必造成视觉质量的降低，如Huang等人(2016)和Hou等人(2018)两种先进的基于量化DCT系数修改的方法得到的载密图像的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)会随着嵌入载荷的升高而降低。而本文方法基于VLC映射实现，不会修改DCT系数，因此不会降低载密图像的视觉质量，与载体图像计算的PSNR所得结果为正无穷。然后，对比本文方法与基于量化DCT系数修改的方法所导致的文件膨胀。对QF = 30，50，70，90的载体JPEG图像，分别使用Huang等人(2016)方法、Hou等人(2018)方法和本文方法以3种嵌入载荷进行测试，并统计文件膨胀。结果如表 3所示。可以看出，本文方法的文件膨胀总是最小的。但也有特殊的图像，如Splash图像，在QF较小时，Hou等人(2018)方法和本文方法并不能提供足够的嵌入载荷。这种情况是因为个别图像的VLC频数统计结果并不够集中，因此本文方法不能满足过大的嵌入需求，但根据实验结果，本文方法对大部分图像能提供足够的嵌入容量。

本文方法的文件膨胀包括信息嵌入导致的文件膨胀和RSV重排序操作缩减的编码冗余，因此实际文件膨胀要小于信息嵌入导致的文件膨胀，这一点在3.1节的实验结果中也有体现。为了更好地与基于量化DCT系数修改的方法对比，将信息嵌入导致的文件膨胀记为EFI(embedding-file size increment)，将实际文件膨胀记为PFI(pure file size increment)，则有PFI必小于EFI。根据实验结果，在QF越大，嵌入载荷越大时，EFI和PFI的差距越不明显，即优化编码冗余对控制文件膨胀所能起到的作用越不明显。这一点也与理论分析吻合，在嵌入载荷较大时，EFI会明显增大，而编码冗余只与图像本身有关，并不会随着嵌入载荷的增大而变化。

表 3中以下划线标识出了PFI与Huang等人(2016)方法和Hou等人(2018)方法的文件膨胀对比结果。可以看到，即使去除了RSV重排序操作的影响，本文的信息嵌入方法导致的文件膨胀仍小于Huang等人(2016)方法和Hou等人(2018)方法。说明本文提出的最优中间VLC映射可以很好地控制由于信息嵌入导致的文件膨胀。与基于量化DCT系数修改的方法相比，不仅保有基于VLC映射方法的优势，即无损嵌入、不需编解码等，并且能很好地平衡嵌入容量和文件膨胀。

本文提出了新的基于全体VLC映射的JPEG图像的RDH方法，称为最优中间VLC映射模型，能够提供较大嵌入容量并有效控制文件膨胀。由于现有VLC映射模型不能同时满足对嵌入容量和文件膨胀的需求，本文提出了中间VLC映射模型。相对于直接VLC映射，中间VLC映射既可以避免嵌入容量不足问题，又可以有效减小文件膨胀。同时，为了进一步减小文件膨胀，利用RSV重排序后VLC的频数分布，构建了最优中间VLC映射模型。在该模型下，直接VLC映射被分解为多个中间VLC映射，从而最小化VLC替换造成的文件膨胀。而对于给定的载体图像和嵌入载荷，可以通过模拟嵌入确定构建最优VLC映射所需的嵌入VLC和中间VLC集合。

实验结果表明，与基于量化DCT修改的方法相比，本文方法在保证无损嵌入的同时，能够提供较大的嵌入容量，并且使用最优中间VLC映射可以有效减少文件膨胀。本文方法对使用非标准的哈夫曼表的压缩图像，接收端并不能构建信息嵌入时所用的VLC映射。因此在未来的研究中，需要设计新的算法构建更通用的VLC映射模型。