在参数曲线的表示中，Bézier曲线(Farin，2002)是应用广泛的一种工具。目前，大多数CAD(computer aided design)系统都将Bézier曲线作为一个基础模块。在使用Bézier曲线进行几何造型时，为满足复杂曲线的设计需要，往往要对多条Bézier曲线进行链接。若使链接Bézier曲线之间满足一定的连续性，需要事先选定满足相应连续性条件的控制顶点。然而，即使对于满足低阶连续的链接Bézier曲线，也存在如何通过调整控制顶点提高曲线间连续性平滑链接曲线的问题。在理论上，只需使曲线连续性条件成立即可通过调整控制顶点提高链接Bézier曲线之间的连续性，但这种没有具体目标的调整往往无法适应实际应用的需求。

通过调整控制顶点可以提高链接Bézier曲线之间的连续性，那么可根据具体目标对相应的控制顶点进行优化，使平滑后的链接曲线满足相应的需求。在实际应用中，通过调整控制顶点对链接Bézier曲线进行平滑时，若曲线的控制顶点均取自实物，则希望平滑后曲线的新控制顶点与原控制顶点的距离尽可能小，故将新控制顶点与原控制顶点的距离极小作为目标来平滑链接Bézier曲线。另外，利用能量极小化方法构造曲线曲面已成为CAD及其相关领域的常用手段。例如，能量极小的Bézier曲线(Xu等，2011；Ahn等，2014；Erișkin和Yücesan，2016；韩志红和朱春钢，2020)、B样条曲线(Vassilev，1996；Xu等，2019)、Hermite插值(Yong和Cheng，2004；Jaklič和Žagar, 2011a, b ；Lu, 2015a, b ；Lu等，2018；Li和Zhang，2020)以及利用能量极小化方法构造插值曲线曲面(Goodman等，1998；Zhang等，2001；Li等，2020)和曲面网格(Bock和Stiller, 2014, 2018)等。因此，也可将能量极小作为目标来平滑链接Bézier曲线。

本文分别给出了基于控制顶点距离极小、曲线内能极小和控制顶点距离与曲线内能同时极小的链接Bézier曲线平滑方法，为链接曲线的平滑提供了3种有效手段。

给定两条Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$，表达式分别为

$ \begin{aligned} \boldsymbol{C}_{1}(t) &=\sum\limits_{i=0}^{m} B_{i, m}(t) \boldsymbol{p}_{i} \\ \boldsymbol{C}_{2}(t) &=\sum\limits_{j=0}^{n} B_{j, n}(t) \boldsymbol{q}_{j} \end{aligned} $

(1)

式中，$0 \leqslant t \leqslant 1, B_{i, m}(t)=\frac{m!}{i!(m-i)!}(1-t)^{m-i} t^{i}$，$B_{j, n}(t)=\frac{n!}{j!(n-j)!}(1-t)^{n-j} t^{j}, \boldsymbol{p}_{i}(i=0, 1, \cdots, m)$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}$ $(j=0, 1, …, n)$分别为两曲线的控制顶点。

讨论的问题是：若${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$在链接时满足低阶连续性，在链接点固定时，如何通过调整两曲线的控制顶点提高它们之间的连续性，从而达到平滑两链接曲线的目的。

由于$C^{1}$或$C^{2}$连续可满足大多数实际工程问题的需要，故仅考虑$C^{0}$链接平滑为$C^{1}$链接和$C^{1}$链接平滑为$C^{2}$链接两种情形。

1)$C^{0}$链接平滑为$C^{1}$链接。由式(1)可得

$ \begin{cases}\boldsymbol{C}_{1}(1)=\boldsymbol{p}_{m}, & \boldsymbol{C}_{1}^{\prime}(1)=m\left(\boldsymbol{p}_{m}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right) \\ \boldsymbol{C}_{2}(0)=\boldsymbol{q}_{0}, & \boldsymbol{C}_{2}^{\prime}(0)=n\left(\boldsymbol{q}_{1}-\boldsymbol{q}_{0}\right)\end{cases} $

(2)

要使${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$满足${\mathit{\boldsymbol{C}}}^{1}$链接，则必有${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(1)={\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(0)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}′ _{1}(1)={\mathit{\boldsymbol{C}}}′ _{2}(0)$，即由式(2)可得

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m}=\boldsymbol{q}_{0} \\ m\left(\boldsymbol{p}_{m}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right)=n\left(\boldsymbol{q}_{1}-\boldsymbol{q}_{0}\right) \end{array}\right. $

(3)

记${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$的链接点${\mathit{\boldsymbol{d}}}={\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m}={\mathit{\boldsymbol{q}}}_{0}$。由式(3)不难发现，当${\mathit{\boldsymbol{d}}}$固定时，要使两链接曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$，只需调整曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－1}$和曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{\rm 2}(t)$的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{1}$即可。如图 1所示，三次Bézier曲线与四次Bézier曲线满足$C^{0}$链接，调整控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{\rm 2}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 1}$后将曲线平滑为$C^{1}$链接。

2)$C^{1}$链接平滑为$C^{2}$链接。由式(1)可得

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{C}_{1}^{\prime \prime}(1)=m(m-1)\left(\boldsymbol{p}_{m-2}-2 \boldsymbol{p}_{m-1}+\boldsymbol{p}_{m}\right) \\ \boldsymbol{C}_{2}^{\prime \prime}(0)=n(n-1)\left(\boldsymbol{q}_{0}-2 \boldsymbol{q}_{1}+\boldsymbol{q}_{2}\right) \end{array}\right. $

(4)

要使${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$满足${\mathit{\boldsymbol{C}}}^{2}$链接，除满足式(3)，还需满足${\mathit{\boldsymbol{C}}}″ _{1}(1) = {\mathit{\boldsymbol{C}}}″ _{2}(0)$，即由式(4)可得

$ \begin{array}{c} m(m-1)\left(\boldsymbol{p}_{m-2}-2 \boldsymbol{p}_{m-1}+\boldsymbol{p}_{m}\right)= \\ n(n-1)\left(\boldsymbol{q}_{0}-2 \boldsymbol{q}_{1}+\boldsymbol{q}_{2}\right) \end{array} $

(5)

从式(5)可以看出，当${\mathit{\boldsymbol{d}}}$固定且式(3)成立时，要使两链接曲线从$C^{1}$平滑为$C^{2}$，只需调整曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－2}$和曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{\rm 2}(t)$的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{2}$即可。如图 2所示，三次Bézier曲线与四次Bézier曲线满足$C^{1}$链接，调整控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{\rm 1}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 2}$后将曲线平滑为$C^{2}$链接。

对于上述两种情形，当${\mathit{\boldsymbol{d}}}$固定时，理论上可任意调整相应控制顶点的位置，只需使连续性条件成立即可对链接Bézier曲线进行平滑。当然，也可根据特定目标对控制顶点的位置进行优化调整，以使链接Bézier曲线平滑后满足相应的需求。

若Bézier曲线的控制顶点取自于实物，通过调整控制顶点对链接Bézier曲线进行平滑时，往往希望平滑后曲线的新控制顶点与原控制顶点的距离尽可能小，此时可将新控制顶点与原控制顶点的总距离极小作为目标来优化相应控制顶点的位置。

为使两链接曲线从$C ^{0}$平滑为$C ^{1}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－1}$、${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{\rm 1}$，则新控制顶点与原控制顶点的总距离可表示为

$ D_{1}=\sqrt{\left\|\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right\|^{2}}+\sqrt{\left\|\boldsymbol{q}_{1}^{[1]}-\boldsymbol{q}_{1}\right\|^{2}} $

(6)

为方便计算，式(6)可近似表示(Juhász和Róth，2019)为

$ \hat{D}_{1}=\left\|\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right\|^{2}+\left\|\boldsymbol{q}_{1}^{[1]}-\boldsymbol{q}_{1}\right\|^{2} $

(7)

由于平滑后两链接曲线之间满足$C ^{1}$连续，故依据式(3)有

$ \boldsymbol{q}_{1}^{[1]}=-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{1} $

(8)

式中, $\boldsymbol{e}_{1}=\left(1+\frac{m}{n}\right) \boldsymbol{d}$。

将式(8)代入式(7)有

$ \hat{D}_{1}=\left\|\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right\|^{2}+\left\|-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{q}_{1}\right\|^{2} $

(9)

显然，式(9)中仅有${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－1}$为自由量。因此，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，可得无约束优化问题

$ \min \hat{D}_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}\right) $

(10)

定理1   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{0}$平滑为$C^{1}$时，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－1}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{\rm 1}$取为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}=\frac{n\left(n \boldsymbol{p}_{m-1}+m\left(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{q}_{1}\right)\right)}{m^{2}+n^{2}} \\ \boldsymbol{q}_{1}^{[1]}=-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{1} \end{array}\right. $

(11)

式中, ${\mathit{\boldsymbol{e}}_1} = \left({1 + \frac{m}{n}} \right)\mathit{\boldsymbol{d}}$。

证明：由式(9)可得

$ \frac{\partial \hat{D}_{1}}{\partial \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}}=2\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right)-\frac{2 m}{n}\left(-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{q}_{1}\right) $

(12)

由于无约束优化问题(10)的最优解可由$\partial \hat{D}_{1} / \partial \boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}=\bf{0}$获得，故由式(12)求解方程及式(8)即可得式(11)。

例1    给定控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{0}=(－4, 0)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{1}=(－3, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{2}=(－1, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{3}=(0, 0)$；${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{0}=(0, 0)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{1}=(1, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{2}=(3, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{3}=(4, 1)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{4}=(3, 0)$。由控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{i}(i=0, 1, 2, 3)$确定的三次Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与由控制顶点${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}(i=0, 1, 2, 3, 4)$确定的四次Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$仅满足$C^{0}$链接，现将链接的${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{0}$平滑为$C^{1}$。若使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，由式(11)可得调整后的控制顶点为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{2}=(－1.120 0, 0.320 0)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{1}=(0.840 0, －0.240 0)$。原$C^{0}$链接曲线与平滑后的$C^{1}$链接曲线如图 3所示。

为使两链接曲线从$C^{1}$平滑为$C^{2}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－2}$、${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{\rm 2}$，则新控制顶点与原控制顶点的总距离可近似表示为

$ \hat{D}_{2}=\left\|\boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-2}\right\|^{2}+\left\|\boldsymbol{q}_{2}^{[1]}-\boldsymbol{q}_{2}\right\|^{2} $

(13)

由于平滑后两链接曲线之间满足$C^{2}$连续，故依据式(3)与式(5)，有

$ \boldsymbol{q}_{2}^{[1]}=\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{2} $

(14)

式中, $\boldsymbol{e}_{2}=-\left(\frac{2 m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}\right) \boldsymbol{p}_{m-1}+$ $\left(\frac{m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}+1\right) \boldsymbol{d}$。

将式(14)代入式(13)有

$ \begin{gathered} \hat{D}_{2}=\left\|\boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}-\boldsymbol{p}_{m-2}\right\|^{2}+ \\ \left\|\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{q}_{2}\right\|^{2} \end{gathered} $

(15)

显然，在式(15)中仅有${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－2}$为自由量。因此，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，可得无约束优化问题

$ \min \hat{D}_{2}\left(\boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}\right) $

(16)

定理2   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{1}$平滑为$C^{2}$时，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－2}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{\rm 2}$取为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}= \\ \frac{n(n-1)\left(n(n-1) \boldsymbol{p}_{m-2}-m(m-1)\left(\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{q}_{2}\right)\right)}{m^{2}(m-1)^{2}+n^{2}(n-1)^{2}} \\ \boldsymbol{q}_{2}^{[1]}=\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[1]}+\boldsymbol{e}_{2} \end{array}\right. $

(17)

式中, $\boldsymbol{e}_{2} \quad=-\left(\frac{2 m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}\right) \boldsymbol{p}_{m-1}+$$\left(\frac{m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}+1\right) \boldsymbol{d}$。

定理2的证明与定理1的证明过程类似。

例2   给定控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{0}=(－4, 0)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{1}=(－3, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{2}=(－2, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{3}=(0, 0)$；${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{0}=(0, 0)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{1}=(1.5, －1.5)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{2}=(3, 2)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{3}=(4, 1)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{4}=(3, 0)$。由控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{i}(i=0, 1, 2, 3)$确定的三次Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与由控制顶点${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}(i=0, 1, 2, 3, 4)$确定的四次Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$满足$C^{1}$链接，现将链接的${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{1}$平滑为$C^{2}$。若使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离极小，由式(17)可得调整后的控制顶点为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{1}=(－3.200 0, 4.400 0)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[1]}_{2}=(3.400 0, －2.800 0)$。原$C^{1}$链接曲线与平滑后的$C^{2}$链接曲线如图 4所示。

通过曲线内能极小化构造曲线是一种常见的手段。拉伸能、应变能与曲率变化能是曲线内能的3种常见形式，分别对应曲线的弧长、曲率和曲率变化率(Xu等，2011)。通过调整控制顶点对链接Bézier曲线进行平滑时，若希望平滑后两条曲线的内能尽可能小，此时则可将曲线的总内能极小作为目标来优化相应控制顶点的位置。

给定参数曲线${\mathit{\boldsymbol{r}}}(t)$，其拉伸能、应变能与曲率变化能可分别定义(Xu等，2011)为

$ \left\{\begin{array}{l} E_{1}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right\| \mathrm{d} t \\ E_{2}=\int_{0}^{1} \kappa^{2}(t)\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right\| \mathrm{d} t \\ E_{3}=\int_{0}^{1}\left[{\kappa}^{\prime}(t)\right]^{2} \mathrm{~d} t \end{array}\right. $

(18)

式中，$κ(t)$为曲线${\mathit{\boldsymbol{r}}}(t)$的曲率。

为简化计算，式(19)可近似表示(Veltkamp和Wesselink，1995)为

$ \left\{\begin{array}{l} \hat{E}_{1}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t \\ \hat{E}_{2}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t \\ \hat{E}_{3}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t \end{array}\right. $

(20)

为使两链接曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－1}$、${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{\rm 1}$。依据式(20)，可将平滑后两曲线的总内能近似表示为

$ \begin{gathered} \hat{E}_{1 r}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{C}_{1}^{(r)}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t+\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{C}_{2}^{(r)}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t= \\ \int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{f}_{1}^{(r)}(t)+B_{m-1, m}^{(r)}(t) \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}\right\|^{2} \mathrm{~d} t+ \\ \int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{f}_{2}^{(r)}(t)+B_{1, n}^{(r)}(t) \boldsymbol{q}_{1}^{[2]}\right\|^{2} \mathrm{~d} t \end{gathered} $

(21)

式中，$\boldsymbol{f}_{1}(t)=\sum\limits_{i=0}^{m-2} B_{i, m}(t) \boldsymbol{p}_{i}+B_{m, m}(t) \boldsymbol{p}_{m}, \boldsymbol{f}_{2}(t)=$$B_{0, n}(t) \boldsymbol{q}_{0}+\sum\limits_{j=2}^{n} B_{j, n}(t) \boldsymbol{q}_{i}$。

由于平滑后两链接曲线之间满足$C^{1}$连续，故依据式(8)，有

$ \boldsymbol{q}_{1}^{[2]}=-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{1} $

(22)

由式(22)可知，式(21)中仅有${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－1}$为自由量。因此，要使平滑后两条曲线的总内能极小，可得无约束优化问题

$ \min \hat{E}_{1 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}\right) $

(23)

定理3   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{0}$平滑为$C^{1}$时，要使平滑后两条曲线的总内能极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－1}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{\rm 1}$取为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}=\frac{n\left(m b_{1 r} \boldsymbol{e}_{1}-n \boldsymbol{v}_{1 r}+m \boldsymbol{w}_{1 r}\right)}{m^{2} b_{1 r}+n^{2} a_{1 r}} \\ \boldsymbol{q}_{1}^{[2]}=-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{1} \end{array}\right. $

(24)

式中，常数$a_{ 1r}$，$b_{ 1r}$分别为${a_{1r}} = \int_0^1 {{{\left({B_{m - 1, m}^{(r)}(t)} \right)}^2}} {\rm{d}}t, \; {b_{1r}} = \int_0^1 {{{\left({B_{1, n}^{(r)}(t)} \right)}^2}} {\rm{d}}t$。常向量$\boldsymbol{v}_{1 r}=\int_{0}^{1} B_{m-1, m}^{(r)}(t) \boldsymbol{f}_{1}^{(r)}(t) \mathrm{d} t, \boldsymbol{w}_{1 r}=\int_{0}^{1} B_{1, n}^{(r)}(t) \boldsymbol{f}_{2}^{(r)}(t) \mathrm{d} t$，$\boldsymbol{e}_{1}=\left(1+\frac{m}{n}\right) \boldsymbol{d}$。其中，$\boldsymbol{f}_{1}(t)=\sum\limits_{i=0}^{m-2} B_{i, m}(t) \boldsymbol{p}_{i}+$$B_{m, m}(t) \boldsymbol{p}_{m}, \boldsymbol{f}_{2}(t)=B_{0, n}(t) \boldsymbol{q}_{0}+\sum\limits_{j=2}^{n} B_{j, n}(t) \boldsymbol{q}_{i}$。

证明：将式(22)代入式(21)，可得

$ \begin{aligned} &\hat{E}_{1 r}=a_{1 r}\left\|\boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}\right\|^{2}+b_{1 r}\left\|-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{1}\right\|^{2}+ \\ &2 \boldsymbol{v}_{1 r} \cdot \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+2 \boldsymbol{w}_{1 r} \cdot\left(-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{1}\right)+c_{1 r} \end{aligned} $

(25)

式中，$c_{1 r}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{f}_{1}^{(r)}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t+\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{f}_{2}^{(r)}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} t$。

由式(25)可得

$ \begin{gathered} \frac{\partial \hat{E}_{1 r}}{\boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}}=2 a_{1} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}-\frac{2 m}{n} b_{1 r}\left(-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{1}\right)+ \\ 2 \boldsymbol{v}_{1 r}-\frac{2 m}{n} \boldsymbol{w}_{1 r} \end{gathered} $

(26)

由于无约束优化问题(23)的最优解可由$\partial \hat{E}_{1 r} / \partial \boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}=\bf{0}$获得，故由式(26)求解方程及式(22)即可得式(24)。

例3   对例1给定的Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$，现将链接的两曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$。若使平滑后两条曲线的总内能极小，由式(24)可得调整后的控制顶点如下：

1) 拉伸能极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{2}=(－1.108 7, －0.130 4)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{1}=(0.831 5, 0.097 8)$。

2) 应变能极小。${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{2}=(－1.818 2, －0.090 9)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{1}=(1.363 6, 0.068 2)$。

3) 曲率变化能极小。${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{2}=(－2.166 7, －0.866 7)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{1}=(1.625 0, 0.650 0)$。

原$C^{0}$链接曲线与平滑后的$C^{1}$链接曲线如图 5所示。

为使两链接曲线从$C^{1}$平滑为$C^{2}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－2}$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{\rm 2}$。依据式(20)，可将平滑后两曲线的总内能近似表示为

$ \begin{gathered} \hat{E}_{2 r}=\int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{g}_{1}^{(r)}(t)+B_{m-2, m}^{(r)}(t) \boldsymbol{p}_{m-2}^{[2]}\right\|^{2} \mathrm{~d} t+ \\ \int_{0}^{1}\left\|\boldsymbol{g}_{2}^{(r)}(t)+B_{2, n}^{(r)}(t) \boldsymbol{q}_{2}^{[2]}\right\|^{2} \mathrm{~d} t \end{gathered} $

(27)

式中，$\boldsymbol{g}_{1}(t)=\sum\limits_{i=0}^{m-3} B_{i, m}(t) \boldsymbol{p}_{i}+B_{m-1, m}(t) \boldsymbol{p}_{m-1}+$$B_{m, m}(t) \boldsymbol{p}_{m}, \quad \boldsymbol{g}_{2}(t)=B_{0, n}(t) \boldsymbol{q}_{0}+B_{1, n}(t) \boldsymbol{q}_{1}+$$\sum\limits_{j=3}^{n} B_{j, n}(t) \boldsymbol{q}_{i}$。

由于平滑后两链接曲线之间满足$C^{2}$连续，依据式(14)，有

$ \boldsymbol{q}_{2}^{[2]}=\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{2} $

(28)

式中，$\boldsymbol{e}_{2}=-\left(\frac{2 m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}\right) \boldsymbol{p}_{m-1}+$$\left(\frac{m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}+1\right) \mathit{\boldsymbol{d}}$。

由式(28)可知，式(27)中仅有${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－2}$为自由量。因此，要使平滑后两条曲线的总内能极小，可得无约束优化问题

$ \min \hat{E}_{2 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-2}^{[2]}\right) $

(29)

定理4   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{1}$平滑为$C^{2}$时，要使平滑后两条曲线的总内能极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－2}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{\rm 2}$取为式中，常数$a_{\rm 2r}$和$b_{\rm 2r}$分别为$a_{2 r}=\int_{0}^{1}\left(B_{m-2, m}^{(r)}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t$，$\boldsymbol{b}_{2 r}=\int_{0}^{1}\left(B_{2, n}^{(r)}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t$。常向量${\mathit{\boldsymbol{v}}}_{2r}$, ${\mathit{\boldsymbol{w}}}_{\rm 2r}$, ${\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm 2}$分别为$\int_{0}^{1} B_{2, n}^{(r)}(t) \boldsymbol{g}_{2}^{(r)}(t) \mathrm{d} t, \boldsymbol{e}_{2}=-\left(\frac{2 m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}\right) \times$$\boldsymbol{p}_{m-1}+\left(\frac{m(m-1)}{n(n-1)}+\frac{2 m}{n}+1\right) \boldsymbol{d}$，其中，$\mathit{\boldsymbol{g}}_{1}(t)=$$\sum\limits_{i=0}^{m-3} B_{i, m}(t) \boldsymbol{p}_{i}+B_{m-1, m}(t) \boldsymbol{p}_{m-1}+B_{m, m}(t) \boldsymbol{p}_{m}, \boldsymbol{g}_{2}(t)=$$B_{0, n}(t) \boldsymbol{q}_{0}+B_{1, n}(t) \boldsymbol{q}_{1}+\sum\limits_{j=3}^{n} B_{j, n}(t) \boldsymbol{q}_{i}$。

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[2]}=-\frac{n(n-1)\left(m(m-1) b_{2 r} \boldsymbol{e}_{2}+n(n-1) \boldsymbol{v}_{2 r}+m(m-1) \boldsymbol{w}_{2 r}\right)}{m^{2}(m-1)^{2} b_{2 r}+n^{2}(n-1)^{2} a_{2 r}} \\ \boldsymbol{q}_{2}^{[2]}=\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[2]}+\boldsymbol{e}_{2} \end{array}\right. $

(30)

定理4的证明与定理3的证明过程类似。

例4   对例2给定的Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$，将链接的两曲线从$C^{1}$平滑为$C^{2}$。若使平滑后两条曲线的总内能极小，由式(30)可得调整后的控制顶点为

1) 拉伸能极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{1}=(－3.375 0, 0.875 0)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{2}=(3.312 5, －4.562 5)。$

2) 应变能极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{1}=(－3.111 1, 2.388 9)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{2}=(3.444 4, －3.805 6)。$

3) 曲率变化能极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{1}=(－3.523 8, 6.190 5)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[2]}_{2}=(3.238 1, －1.904 8)$。

原$C^{1}$链接曲线与平滑后的$C^{2}$链接曲线如图 6所示。

通过调整控制顶点对链接Bézier曲线平滑时，若同时希望平滑后曲线的新控制顶点与原控制顶点的距离以及两条曲线的内能尽可能小，此时可将新控制顶点与原控制顶点的总距离和曲线的总内能作为双目标来优化相应控制顶点的位置。

为了使两链接曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{m－1}$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 1}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{\rm 1}$。若同时以总距离函数$\hat D_{\rm 1}$与总内能函数$\hat E_{ 1r}$为极小目标，则依据式(9)与式(21)可得双目标优化问题

$ \min \left(\hat{D}_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right), \hat{E}_{1 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right)\right)^{\mathrm{T}} $

(31)

一般地，问题(31)可近似转化为单目标优化问题

$ \min G_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right)=\omega \hat{D}_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right)+(1-\omega) \hat{E}_{1 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right) $

(32)

式中，$ω$ $(0≤ω≤1)$为权重。

由式(32)可知，若想获得近似最优解，需事先确定权重$ω$。本文采用双目标优化中的排序法确定权重$ω$(林锉云和董加礼，1992)。

算法1利用排序法确定权重$ω$。具体步骤如下：

1) 分别计算2个单目标关于最优解${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[1]}_{m－1}$与${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[2]}_{m－1}$的偏差。

$ \delta_{1}=\left|\hat{D}_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}\right)-\hat{D}_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}\right)\right| $

$ \delta_{2}=\left|\hat{E}_{1 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[1]}\right)-\hat{E}_{1 r}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[2]}\right)\right| $

2) 计算权重的初始值。

$ \omega_{1}=\frac{\delta_{1}}{\delta_{1}+\delta_{2}}, \omega_{2}=\frac{\delta_{2}}{\delta_{1}+\delta_{2}} $

3) 若$ω_{ 1}≥ω_{2}$，权重取为$ω=$min${ω_{1}, ω_{2}}$；否则，权重取为$ω=$max$\{ω_{1}, ω_{2}\}$。

定理5   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{0}$平滑为$C^{1}$时，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离以及两条曲线的内能同时极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{m－1}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{\rm 1}$取为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}=\frac{n\left(\omega\left(n \boldsymbol{p}_{m-1}+m\left(\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{q}_{1}\right)\right)+(1-\omega)\left(m b_{1 r} \boldsymbol{e}_{1}-n \boldsymbol{v}_{1 r}+m \boldsymbol{w}_{1 \mathrm{r}}\right)\right)}{\omega\left(m^{2}+n^{2}\right)+(1-\omega)\left(m^{2} b_{1 r}+n^{2} a_{1 r}\right)} \\ \boldsymbol{q}_{1}^{[3]}=-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}+\boldsymbol{e}_{1} \end{array}\right. $

(33)

式中，常数$a_{ 1r}$，$b_{ 1r}$以及常向量${\mathit{\boldsymbol{v}}}_{ 1r}$，${\mathit{\boldsymbol{w}}}_{ 1r}$，${\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm 1}$为定理3中所示，权重$ω$由算法1确定。

证明：确定权重$ω$后，由式(12)(26)，可得

$ \begin{gathered} \frac{\partial G_{1}\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}\right)}{\partial \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}}=2 \omega\left(\boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}-\boldsymbol{p}_{m-1}\right)- \\ \frac{2 \omega m}{n}\left(-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}+\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{q}_{1}\right)+ \\ 2(1-\omega) a_{1 r} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}-\frac{2(1-\omega) m}{n} b_{1 r}\left(-\frac{m}{n} \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}+\boldsymbol{e}_{1}\right)+ \\ 2(1-\omega) \boldsymbol{v}_{1 r}-\frac{2(1-\omega) m}{n} \boldsymbol{w}_{1 r} \end{gathered} $

(34)

由于无约束优化问题(32)的最优解可由$\partial \hat{G}_{1} / \partial \boldsymbol{p}_{m-1}^{[3]}=\bf{0}$获得，故由式(34)求解方程以及依据式(22)即可得式(33)。

例5   对例1给定的Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$，现将链接的两曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$。若使平滑后曲线的新控制顶点与原控制顶点的总距离以及两曲线的总内能同时极小，由式(33)可得调整后的控制顶点为

1) 距离与拉伸能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{2}=(－1.114 3, 0.094 8)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{1}=(0.835 8, －0.071 1)$。

2) 距离与应变能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{2}= (－1.469 1, 0.114 5)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{1}=(1.101 8, －0.085 9) $。

3) 距离与曲率变化能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{2}= (－1.643 3, －0.273 3)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{1}=(1.232 5, 0.205 0) $。

原$C^{0}$链接曲线与平滑后的$C^{1}$链接曲线如图 7所示。

为了使两链接曲线从$C^{0}$平滑为$C^{1}$，假设将控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}_{m－2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{m－2}$、${\mathit{\boldsymbol{q}}}_{\rm 2}$调整为${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{\rm 2}$。与$C^{\rm 0}$平滑为$C^{\rm 1}$的过程类似，给出下列定理。

定理6   将链接Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{ 1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$从$C^{1}$平滑为$C^{2}$时，要使调整后的控制顶点与原控制顶点的总距离以及两条曲线的内能同时极小，只需将调整后的控制顶点${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{m－2}$与${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{\rm 2}$取为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[3]}=\frac{n(n-1)\left(\lambda\left(n(n-1) \boldsymbol{p}_{m-2}-m(m-1)\left(\boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{q}_{2}\right)\right)-(1-\lambda)\left(m(m-1) b_{2 {r}} \boldsymbol{e}_{2}+n(n-1) \boldsymbol{v}_{2 r}+m(m-1) \boldsymbol{w}_{2 r}\right)\right)}{\lambda\left(m^{2}(m-1)^{2}+n^{2}(n-1)^{2}\right)+(1-\lambda)\left(m^{2}(m-1)^{2} b_{2 r}+n^{2}(n-1)^{2} a_{2 r}\right)} \\ \boldsymbol{q}_{2}^{[3]}=\frac{m(m-1)}{n(n-1)} \boldsymbol{p}_{m-2}^{[3]}+\boldsymbol{e}_{2} \end{array}\right. $

(35)

式中，常数$a_{\rm 2r}$，$b_{\rm 2r}$以及常向量${\mathit{\boldsymbol{v}}}_{\rm 2r}$，${\mathit{\boldsymbol{w}}}_{\rm 2r}$，${\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\rm 2}$与定理4中一样，权重$λ$参照算法1确定。

例6    对例2给定的Bézier曲线${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{1}(t)$与${\mathit{\boldsymbol{C}}}_{2}(t)$，现将链接的两曲线从$C^{1}$平滑为$C^{2}$。若使平滑后曲线的新控制顶点与原控制顶点的总距离以及两曲线的总内能同时极小，由式(35)可得调整后的控制顶点为

1) 距离与拉伸能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{1}= (－3.287 5, 2.637 5)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{2}=(3.356 3, －3.681 2)$。

2) 距离与应变能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{1}= (－3.155 6, 3.394 4)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{2}=(3.422 2, －3.302 8)$。

3) 距离与曲率变化能同时极小。即${\mathit{\boldsymbol{p}}}^{[3]}_{1}= (－3.361 9, 5.295 2)$，${\mathit{\boldsymbol{q}}}^{[3]}_{2}=(3.319 0, －2.352 4)$。

原$C^{1}$链接曲线与平滑后的$C^{2}$链接曲线如图 8所示。

图 9为例1、例3与例5中分别利用距离极小化、内能极小化、距离与内能同时极小化方法将$C^{\rm 0}$链接Bézier曲线平滑为$C^{\rm 1}$链接的结果对比。其中，短虚线为$C^{\rm 0}$链接曲线，长虚线为距离极小的$C^{\rm 1}$链接曲线，点划线为内能极小的$C^{\rm 1}$链接曲线，实线为距离与内能同时极小的$C^{\rm 1}$链接曲线。3种极小化方法的计算结果如表 1所示。

图 10为例2、例4与例6中分别利用距离极小化、内能极小化、距离与内能同时极小化方法将$C^{\rm 1}$链接Bézier曲线平滑为$C^{\rm 2}$链接的结果对比。其中，短虚线为$C^{\rm 1}$链接曲线，长虚线为距离极小的$C^{\rm 2}$链接曲线，点划线为内能极小的$C^{\rm 2}$链接曲线，实线为距离与内能同时极小的$C^{\rm 2}$链接曲线。3种极小化方法的计算结果如表 2所示。

从表 1和表 2可以看出，1)采用距离极小化方法平滑链接Bézier曲线后，曲线的新控制顶点与原控制顶点的总距离明显小于另外两种方法。在实际工程应用中，当Bézier曲线的控制顶点均取自于实物时，若需要调整控制顶点的位置，往往也要求新控制顶点偏离原控制顶点的距离不宜太大，此时距离极小化方法较为适用。2)采用内能极小化方法平滑链接Bézier曲线后，曲线的总内能明显小于另外两种方法。在实际工程应用中，若要求曲线的能量尽可能小，此时内能极小化方法较为适用。另外，由于拉伸能、应变能与曲率变化能分别对应曲线的弧长、曲率和曲率变化率，故在实际应用中可根据具体需求选取相应的极小化方法。3)采用距离与内能同时极小化方法平滑链接Bézier曲线后，曲线的新控制顶点与原控制顶点的总距离以及曲线的总内能都介于另外两种方法之间。在实际工程应用中，若既要求新控制顶点偏离原控制的距离不宜太大，也希望曲线的能量尽可能小，此时距离与内能同时极小化方法是较好的选择。

为了通过调整控制顶点实现链接Bézier曲线的平滑，本文给出了利用控制顶点距离极小、曲线内能极小以及控制顶点距离与曲线内能同时极小等3种平滑Bézier链接曲线的方法。结果表明，利用距离极小化方法平滑链接曲线后，新控制顶点偏离原控制顶点的距离相对较小，适合于控制顶点取自于实物时的应用场合；利用内能极小化方法平滑链接曲线后，链接曲线的内能相对较小，适合于要求曲线能量尽可能小的应用场合；控制顶点距离与曲线内能同时极小化方法则同时兼顾了新旧控制顶点的距离和链接曲线的内能，适合于对两个目标都有要求的应用场合。