随着3D点云在自动驾驶(Qi等，2018)和导航定位(Zhu等，2017；文威威等，2019)等诸多领域的应用，3D点云引起了越来越多的关注。由于很难推断不规则点云形成的基本形状，此项工作非常具有挑战性，为此提出了很多方法，主要有基于体素和基于视图的方法。

鉴于卷积神经网络(convolution neural network，CNN)在图像识别领域强大的语义信息抽象能力(Chen等，2018；黄凯奇等，2014)，很多方法将其在图像分析即规则网格数据上的处理用于不规则点云处理。为使点数据适用于卷积，一种简单的方法是将其体素化为3D网格结构(Maturana和Scherer，2015；Wu等，2015)，但是由于大多数体素通常未能占用，因此体素的表示方式效率不高。为此，Riegler等人(2017)提出OctNet，探索了体素数据的稀疏性并缓解了这个问题，但是当涉及更深的神经网络时，内存占用仍然很高，而且由于体素是空间的离散表示，因此该方法需要高分辨率的网格，对存储器容量提出了较高要求。多视图(Qi等，2016；Su等，2015)是另一种常见的3D表示形式，多视图将点数据投影到3D空间中的各种特定图像平面上形成2D图像，通过这种方式可以在2D图像上使用常规卷积处理点数据，但是这种方法忽略了3D点的内在几何关系，投影导致的3D数据中的遮挡部分未得到处理，并且由于点云数据密度分布的不均匀性，这些方法无法充分识别点云细粒度的局部结构。Qi等人(2017a)提出的PointNet通过在每个点上独立学习并通过最大池收集最终特征，然而这种设计同样忽略了局部结构信息。事实证明，局部结构信息对于CNN的成功至关重要。为了解决这个问题，Qi等人(2017b)提出PointNet++将PointNet分层应用到点云的多个子集，使其具有可扩展性，然而该方法是在点周围半径内选择固定数量的随机样本，在计算中没有考虑点密度，因此导致误差。Shen等人(2018)提出使用内核相关层来开发局部几何结构，并提出了一个基于图的池化层，以利用局部特征结构来增强网络的鲁棒性。在小规模点集上表现出良好的性能，但对底层的图结构仍然特别敏感。大多数卷积方法无论是否使用层次结构都是基于$K$个最近邻的卷积(Klokov和Lempitsky，2017；Li等，2018；Wang等，2019；Xu等，2018)。其中，Li等人(2018)提出的PointCNN在整个邻域上使用多层感知器(multilayer perceptron，MLP)来学习一个变换矩阵，然后用其加权和置换相邻点的输入特征，并对变换后的特征进行标准图像卷积；Wang等人(2019)提出的动态图卷积(dynamic graph CNN，DGCNN)在相邻点图的边上使用了可学习操作的一般概念，与其他方法相比，在学习过程中改变了邻域，使得该方法的实现稍微复杂一些，在大型点云上效率较低。这些基于K近邻的方法在非均匀采样环境下并不健壮，因为在空间中的一个区域中添加更多的点会使捕捉到的特征与内核训练时不同，产生点云稠密区域感受野收缩与点云稀疏区域感受野扩大的视觉差。有些方法将点云映射到高维空间，以促进经典CNN的应用。SPLATNet(sparse lattice networks for point cloud processing)(Su等，2018)将输入点映射到稀疏网格上，然后使用双边卷积进行处理(Jampani等，2016)。PCNN(point convolutional neural networks by extension operators)(Atzmon等，2018)将点云上的函数扩展为环境空间上的连续体积函数，虽然没有考虑非均匀性，但将点云转换为对非均匀采样点云具有鲁棒性的体积函数。然而这些方法的部分计算在点数上是二次的，因而不可扩展。

以上方法很大程度上解决的只是点云积分的不规则性问题。对此，有些研究在解决点云积分不规则性的同时考虑了点云采样密度不均匀问题。Hermosilla等人(2018)利用蒙特卡罗卷积解决点云上的采样不均匀问题，但包含多个点的接收域计算速度较慢，效率低。Wu等人(2019)提出的PointConv将卷积核视为由权函数和密度函数组成的3维点的局部坐标的非线性函数。Li等人(2019)设计了一个密度感知卷积模块，利用每个点的点态密度加权卷积核的可学习权重。

关系卷积神经网络是从关系中学习，关系即点之间的几何拓扑约束。受密度函数的启发，本文提出将关系形状卷积神经网络(relation-shape convolution neural network，RSCNN)(Liu等，2019)与逆密度函数相融合，得到点之间的高级关系表达式，以此捕获点的空间布局，并逐步执行上下文局部到全局形状的特征提取。通过学习点之间几何关系的方法，对刚性变换实现了很好的鲁棒性。逆密度函数通过核密度估计(kernel density estimation，KDE)来学习，目的是对点云采样率不均匀情况进行补偿，实现对点云进行非均匀采样。同时在点云分割任务中，引入关系卷积神经网络的反卷积层(Deconv)，该层更好地将特征从子采样点云传播回原始分辨率。实验证明，本文方法对点云分割精确度的提升起到了很好的作用。

本文提出一种对3D点云进行卷积的方法，能够对点云采样率不均匀的情况进行一定程度的补偿，并且使用逆密度函数对多层感知器学习的连续函数进行加权。在分割任务中，添加一个基于关系形状卷积神经网络的反卷积层，使用反卷积层将特征信息从较粗层传播到较细的层，实现了改进语义分割任务的性能。本文算法流程如图 1所示，图中，${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$表示采样点$x_{i}$的邻居点，${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{x_j}$表示$x_{j}$的特征向量，${\mathit{\boldsymbol{h}}}_{ij}$表示$x_{j}$与$x_{i}$之间的低级关系向量，函数$A$用来合并所有特征，$σ$表示非线性激活函数，映射$M$抽象出两点之间高级关系表达式。

融合逆密度函数的关系形状卷积神经网络从3D空间中的几何先验学习高级关系表达式，并执行上下文局部到全局的形状学习。

从关系中获取与数据相关权重的方法在图像和视频分析领域已经有所应用。空间变换器(Jaderberg等，2015)通过学习过渡矩阵对齐2D图像，非局域网(Wang等，2018)学习跨视频帧的长期关系，关系网络(Hu等，2018)学习跨对象的位置关系。还有一些研究专注于对3D点云中的关系进行学习，DGCNN(Wang等，2019)通过学习高维特征空间中的点关系来捕获相似的局部形状，但这种关系在某些情况下可能不可靠。

卷积运算可以看做是连续卷积算子的离散逼近。在3D空间中，可以将此卷积运算符的权重视为相对于参考3D点的局部点坐标的连续函数，连续功能可以通过多层感知器进行近似。在关系形状卷积神经网络中，通过将采样点$x$作为质心并将周围点作为其邻居${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$来构造卷积权重，从预定义的几何先验(即$x$和${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$之间的直观低级关系)中学习高级关系表达式。通过这种方式进行卷积可以获得具有关于点空间布局的归纳表示，可辨别地反映不规则点形成的潜在形状。受益于几何先验，实现了点的排列不变性和对刚性变换(例如平移和旋转)的鲁棒性，但关系形状卷积神经网络更加适用于均匀采样的点集，而忽略了采样率不均匀的情况。对此，本文提出融合逆密度函数的关系形状卷积网络，并使用反卷积层将特征信息传播回原始的分辨率，从而改进语义分割任务的性能。

关系形状卷积(RSConv)将规则网格CNN扩展到不规则配置，并最终学习点云的上下文形状感知表示，但是非常依赖从不规则点子集中进行形状感知的归纳学习。对此，关系形状卷积网络将局部点子集${\mathit{\boldsymbol{P}}}_{\rm{sub}}$$⊂R^{3}$建模成为球面邻域(如图 2所示)，以采样点$x_{i}$为质心，周围的点为其邻居$x_{j}∈N(x_{i})$，然后学习该邻域的归纳表示${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$，关系形状卷积网络的卷积运算为

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{p_{{\rm{sub }}}}}} = \sigma \left({A\left({\left\{ {T\left({{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}}} \right), \forall {x_j}} \right\}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;{d_{ij}} < r, \forall {x_j} \in \mathit{\boldsymbol{N}}\left({{x_i}} \right) \end{array} $

(1)

式中，$x$是3D点，${\mathit{\boldsymbol{f}}}$是特征向量，$d_{ij}$是$x_{i}$与$x_{j}$之间的欧氏距离，$r$是球域半径。${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$首先用函数$T$变换${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$中所有点的特征，然后用函数$A$合并所有特征，最后通过非线性激活因子$σ$来获得。式(1)中，两个函数$A$和$T$是关键，只有当$A$是对称的，并且在${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$中的每个点上共享$T$时，才能实现点集的排列不变性。

在经典CNN中，$T$实现为$T({\mathit{\boldsymbol{f}}}_{x_j})=w_{j}·{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{x_j}$，其中$w_{j}$是可学习的权重，“·”表示逐元素相乘。如图 3所示，在2D点云上应用时，此卷积的主要限制有：1)$w_{j}$未在${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$中每个点上共享，导致点置换的变化和无法处理不规则局部点子集${\mathit{\boldsymbol{P}}}_{\rm{sub}}$；2)反向传播中，$w_{j}$的梯度仅与孤立点$x_{j}$有关，这会给${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$带来较少的形状感知和鲁棒性。

在3D空间的邻域中，$x_{i}$及其所有邻域${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$之间的几何关系是点空间布局的明确表达，能够反映其基本形状。在关系形状卷积神经网络中用$w_{ij}$替换经典CNN中的$w_{j}$，用权重$w_{ij}$反映点$x_{i}$与点$x_{j}$之间存在的位置关系(如图 3所示)，通过对关系向量${\mathit{\boldsymbol{h}}}_{ij}$的映射$M$学习得到，${\mathit{\boldsymbol{h}}}_{ij}$即$x_{i}$与$x_{j}$之间的预定义几何先验，称为低级关系。该过程可以描述为

$ T\left({{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}}} \right) = {w_{ij}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}} = M\left({{\mathit{\boldsymbol{h}}_{ij}}} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}} $

(2)

映射$M$的目的是抽象两点之间的高级关系表达式，可以对其空间布局进行编码。鉴于多层感知器强大的映射功能，使用共享的多层感知器来实现$M$，则式(1)中的${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$变为

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{p_{{\rm{sub }}}}}} = \sigma \left({A\left({\left\{ {M\left({{\mathit{\boldsymbol{h}}_{ij}}} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}}, \forall {x_j}} \right\}} \right)} \right) $

(3)

这种卷积表示包含$x_{i}$与${\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$之间所有关系的总和，可以实现相关点空间布局的显式推理，从而获取形状感知。对于几何先验，可以使用3D欧氏距离作为对低级关系${\mathit{\boldsymbol{h}}}_{ij}$的直观描述。此外，${\mathit{\boldsymbol{h}}}_{ij}$还可以灵活定义，因为$M$可以将其映射到高维关系向量使其与${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{x_j}$通道对齐，从而易于点乘。在式(3)中，${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$的通道数与输入特征${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{x_j}$相同，这与经典图像CNN不一致。经典图像CNN增加了通道数，同时降低了图像分辨率，以获得更抽象的表示。例如，在VGG (Visual Geometry Group)网络中依次设置了通道数64—128—256—512。因此，在${\mathit{\boldsymbol{f}}}_{p_{\rm sub}}$上添加了共享的多层感知器，用于进一步的信道提升映射。

从点云空间分布的角度出发，3维点的不规则结构会导致某些区域点集的过采样或欠采样，从而导致卷积核上的密度不同。在2D图像中，这种视差类比为1个像素接收多个值，当更新内核时就会产生偏差，这是因为在过采样区域设置了过多的权重，在欠采样区域设置了较少的权重。在数字化图像中，像素均匀地放置在2维网格上，相邻像素之间的距离是恒定的，网格中的每个单元格都只有1个值，并且没有空的单元格，整个栅格密度均匀，但这并不适用于不规则的3维点云。为了克服这种由于点云不规则带来的不平衡，同时考虑到本文的基础网络——关系形状卷积神经网络更加适用均匀采样的点云而没有考虑采样率不均匀的情况，在关系形状卷积神经网络中引入逆密度函数，利用局部区域的密度估计来重新缩放核函数，对非均匀采样的点进行补偿。由此，卷积公式变换为

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{p_{{\rm{sub}}}}}} = \mathit{\boldsymbol{\sigma }}\left({A\left({\left\{ {S\left({{x_i}, {x_j}} \right) \cdot M\left({{\mathit{\boldsymbol{h}}_{ij}}} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{f}}_{{x_j}}}, \forall {x_j}} \right\}} \right)} \right) $

(4)

式中，$S(x_{i}, x_{j})$是点的逆密度函数，因为点云可能非均匀采样。直观地，局部点的数量在整个点云中变化，如图 4所示，点$p_{3}$，$p_{4}$，$p_{6}$，$p_{7}$，$p_{8}$，$p_{9}$非常接近另一个，因此每个点的权重应该较小。

本文的主要思想是通过对3D点的坐标进行多层感知器的高层映射和通过核密度估计的逆密度函数的点乘来近似权重函数$w_{ij}$，然后使用多层感知器实现非线性变换，这样的权重函数能够进一步反映输入点云的分布，网络中多层感知器的权重在所有点之间共享，以保持排列的不变性。

为了计算逆密度函数$S(x_{i}, x_{j})$，首先使用核密度估计计算点云中每个点的密度，将$x_{j}∈{\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$周围的局部区域视为半径为$r$的球，并应用Parzen-Rosenblatt窗口方法(Parzen，1962)沿内部每个轴拟合密度分布球，具体为

$ S{\left({{x_i}, {x_j}} \right)_{{\rm{KDE}}}} = \frac{1}{{Nh}}\sum\limits_{{x_j} \in N\left({{x_i}} \right)} G \left({\frac{{{x_i} - {x_j}}}{h}} \right) $

(5)

式中，$G$是一个具有平滑因子$h$和归一化常数$N$的多元高斯核，归一化常数$N$是$x_{i}$局部区域中的点数，KDE表示核密度估计(kernel density estimation)。然后将密度输入多层感知器进行1维非线性变换(如图 5所示, 图中$K$表示每个局部空间的点数量)，$C_{\rm{in}}$为输入的通道数，使网络可以自适应地决定是否使用核密度估计，对其取倒数即为此时的逆密度函数，即

$ S\left({{x_i}, {x_j}} \right) = \frac{1}{{MLP\left({S{{\left({{x_i}, {x_j}} \right)}_{{\rm{KDE}}}}} \right)}} $

(6)

式中，$MLP$函数表示多层感知器(multi-layer perception)。

本文没有使用绝对距离，而是使用从相邻点$x_{j}∈{\mathit{\boldsymbol{N}}}(x_{i})$到质心$x_{i}$的相对距离(即$x_{i}－x_{j}$)来估计$S(x_{i}, x_{j})$，将逆密度函数限制为半径为$r$的球域内。通过固定域，模型可以将其核密度估计值推广到具有相同半径局部区域的任意点。

对于分割任务需要进行逐点预测，为了获得所有输入点的特征，需要一种将特征从子采样点云传播到更密集点云的方法。PointNet++使用基于距离的插值来传播特征，主要用于从粗糙级别捕获传播信息的局部相关性，但是并没有充分利用反卷积的操作。对此，本文在关系形状卷积神经网络的最后一层添加一个由插值和关系形状卷积两部分组成的反卷积层，如图 6所示。$c$代表经过逆密度关系卷积之后的点输出层数。首先采用插值法传播来自上一层的粗略特征，使用PointNet++的插值方法，通过对来自选定点的3个最近点的特征进行线性插值。然后使用跳跃连接将内插特征与具有相同分辨率的卷积层中的特征连接在一起。连接后，将关系形状卷积应用于连接后的特征值以获得最终的反卷积输出，类似于图像反卷积层(Noh等，2015)，重复应用此过程，直至所有输入点的特征都传播到原始分辨率为止。

融合逆密度函数的关系形状卷积神经网络可以开发出类似经典CNN的分层形状感知学习架构用于点云分析，表示为

$ \mathit{\boldsymbol{F}}_{{P_{{N_l}}}}^l = RSCONV\left({\mathit{\boldsymbol{F}}_{{p_{{N_{l - 1}}}}}^{l - 1}} \right) $

(7)

式中，$p$代表点集，${\mathit{\boldsymbol{F}}}$是采样点集层的特征，$N$是采样点集的数量，该层特征通过对前一层中的特征经融合逆密度函数的关系形状卷积获得。将本文模型用于点云分类和分割任务。在点云分类中，首先学习一组层次的形状感知表示形成最终的全局表示形式，然后通过完全连接层(fully connected layers，FC)进行分类(如图 7所示)。在分割任务中，通过特征传播对学习的多级表示进行连续上采样生成每点预测(如图 8所示)。两者都能以端到端的方式进行训练。

在实验中，本文提出的融合逆密度函数的关系形状卷积神经网络的聚合函数使用具有对称性质的最大池化层，ReLU(rectified linear unit)用做非线性激活因子。对映射函数$M$，使用3层共享多层感知器，因为理论上多层感知器适合任意连续映射。底层关系定义为3D欧氏距离。信道提升映射通过单层共享多层感知器实现，每个多层感知器都进行批量归一化。

为验证本文模型的有效性，在ModelNet40(Yi等，2016)、ShapeNet(Wu等，2015)和ScanNet(Dai等，2017)数据集上进行实验。实验环境为Ubuntu14.04操作系统、GTX1080Ti显卡、GPU显卡、Python3.0，基于Pytorch框架。

ModelNet40数据集由40个种类的12 311个CAD模型组成，包含9 843个训练模型和2 468个测试模型。在采样率不均匀的情况下随机采样1 024个点并将其标准化为单位球体。在训练过程中，使用[-0.66，1.5]范围内的随机缩放和[-0.2，0.2]范围内的平移来扩充输入数据。为防止过拟合，在全连接层中使用丢弃技术，dropout = 0.5。在测试过程中，执行10次具有随机缩放比例的投票测试，并对预测结果取平均。

表 1是本文方法与PointNet(Qi等，2017)、PointNet++(Qi等，2017)、PointCNN(Li等，2018)、DGCNN(Wang等，2019)、PCNN(Atzmon等，2018)、RSCNN(Liu等，2019)和SpiderCNN(Xu等，2018)方法在ModelNet40数据集上点云分类性能的定量比较。可以看出，本文提出的融合逆密度函数的关系形状卷积神经网络优于所有$xyz$点坐标输入的对比方法。与PointNet++方法相比，本文方法的分类精度提升了3.1%，并超过其高级版本，该版本输入更加密集的点(5 120个)且将点云的法线也作为输入；与RSCNN相比，本文方法将精度提升了0.6%。实验结果表明，本文模型能够通过将逆密度函数与几何拓扑的关系学习结合，有效捕获点云的形状信息。

3D对象零件分割是一项具有挑战性的细粒度3D识别任务。给定3D网格模型后，任务是为每个点或每个面分配零件类别(例如椅子腿、杯柄等)标签。

ShapeNet数据集包含来自16个类别的50个零件的16 881个形状。任务的输入是由点云表示的形状，本文将零件细分问题转化为按点分类问题，评估指标按点计算。将网络模型应用在ShapeNet数据集的部件基准上，并进行评估零件分割任务，不均匀地随机选择2 048个点作为输入，并将对象标签的一键编码连接到最后一个特征层。在测试期间，依然使用随机缩放比例进行10次投票测试，最后对预测结果取平均。

表 2是本文方法与PointNet、PCNN、DGCNN、RSCNN和PointNet++方法在ShapeNet数据集上点云分割性能的定量比较。实验使用平均交并比(mean intersection over union，mIoU)作为评估指标，分别计算了在所有类别和所有实例中两种类型的平均交并比。可以看出，本文方法的类mIoU和实例mIoU分别为87.9%和86.5%，实现了最佳性能，不仅超过了RSCNN的验证结果，而且在PointNet++高级版本输入情况下，结果也得到了较高提升。实验结果表明，逆密度函数能够较好地实现对不均匀采样的点云密度补偿，反卷积层的引入也进一步提升了点云分割对各种形状结构的鲁棒性。

图 9显示了本文方法在ShapeNet数据集上的一些分割示例。可以看到，尽管隐含在不规则点中的零件形状多种多样，并且可能很难识别，但是本文方法依然可以对其以相当不错的准确率进行点云分割。

点云中的法线估计对于许多应用(例如曲面重建和渲染)是至关重要的一步，由于需要更高层次的推理，超越了潜在的形状识别，此任务非常具有挑战性。本文将法线估计(袁小翠等，2017)作为有监督的回归任务并使用细分网络实现。将归一化输出与真值法线之间的余弦损失用于回归训练，使用ModelNet40数据集进行评估，以统一采样的1 024个点作为输入。

表 3是本文方法与PointNet、PointNet++和PCNN方法在ModelNet40数据集上法线估算的定量比较。可以看出，本文方法的误差为0.14，表现优于其他方法，将PointNet++的误差减少了0.15。实验结果表明，本文方法能从点云的几何拓扑关系学习中以更低的误差实现对法线的估计，更好地对点云的法线进行预测。

为了评估本文方法处理包含大量嘈杂数据的现实点云的能力，在ScanNet数据集上进行语义场景分割。任务是在给定由点云表示的室内场景的情况下，预测每个3D点上的语义对象标签。

ScanNet数据集的最新版本包含所有1 513个ScanNet扫描和100个新测试扫描的更新注释，其中所有语义标签均不公开，算法的输入仅使用3D坐标数据和RGB信息。在实验中，通过从室内房间随机采样3 m × 1.5 m × 1.5 m立方体来生成训练样本，并在整个扫描过程中使用滑动窗口进行评估，使用平均交并比(mIoU)作为主要衡量标准。

表 4是本文方法与SPLATNet、PointNet++和ScanNet方法在ScanNet数据集上所有类别IoU的平均值(mIoU)的定量比较。可以看出，本文模型的语义分割精度比PointNet++方法提升了13.7%，相较其他算法均有较大幅度的提升。实验结果表明，本文方法能够较好地实现具有大量噪声的真实点云场景数据的语义分割，体现了处理真实点云的鲁棒性和良好的泛化能力。

为验证逆密度函数$S$的有效性，在ScanNet数据集上进行对比实验，因为ScanNet数据集中的点云是从真实的室内场景生成的。遵循ScanNet数据集提供的标准训练/验证集拆分，分别在具有和不具有RGB信息、有和没有逆密度函数和不同步长大小滑动窗口等情况下训练网络，对比实验结果如表 5所示。可以看出，1)具有逆密度函数的关系卷积神经网络的性能比不具有逆密度函数的关系卷积神经网络的性能提高约1%，证明了逆密度函数在关系卷积神经网络进行点云分割中的有效性。在实验中，观察到逆密度函数在靠近输入的层中更有效，主要是因为在更深层的卷积网络中，多层感知器倾向于逐渐减少逆密度函数的影响。一个可能的原因是，本文算法使用最远的点采样算法作为子采样算法，更深层的点云倾向于更均匀地分布，这时逆密度函数的作用将减小。2)与ScanNet数据集上没有逆密度函数的方法相比，不使用非线性变换而直接应用逆密度函数的结果相对于使用非线性变换的结果有一定程度的降低，表明非线性变换能够对是否使用逆密度函数进行评估，从而更好地提升点云的分割精度。

为验证点置换和刚性变换的鲁棒性，将本文方法与PointNet和PointNet++方法进行点云的鲁棒性比较。在实验过程中，所有模型都经过训练，没有相关的数据扩充(例如平移或旋转)，以避免在测试中造成混淆。此外，尽管融合逆密度函数的关系卷积神经网络中的关系学习对旋转具有鲁棒性，但3D坐标的初始输入特征对旋转的鲁棒性仍有一定影响，对此，通过将每个采样点的子集归一化为相应的局部坐标系来解决，该局部坐标系由每个采样点及其法线确定。为了公平比较，对PointNet++执行此归一化，因为这样可以从局部子集中学习。在测试中，将3D欧氏距离作为本文方法中的几何关系，测试结果如表 6所示。可以看出，所有方法对于排列都是不变的。但是，PointNet易受平移和旋转的影响，而PointNet++对旋转敏感。相比之下，本文方法对这些扰动是不变的，表明本文方法对点云平移或旋转变换之后的形状识别仍然具有较大潜力。

表 7是在输入为1 024个点时本文方法与PointNet和PointNet++方法分类的空间(参数数量)和运行时间(浮点运算/采样)复杂度对比。可以看出，与PointNet相比，本文模型的参数减少了59.4%，采样复杂度减少了21.1%。实验结果表明，本文模型在实时应用(例如自动驾驶中的场景解析)中具有巨大的潜力。

本文通过引入逆密度函数对关系形状卷积神经网络(RSCNN)进行改进，以使关系形状卷积神经网络对采样率不均匀的的点云更加鲁棒，并在原网络架构的基础上添加了关系形状反卷积层，用于从粗糙级别捕获传播信息的局部相关性，同时保持关系形状卷积神经网络本身具备的排列不变性、刚性转换的鲁棒性和权重共享等关键特性，将规则网格CNN扩展到不规则配置以进行点云分析，可以从关系(即点之间的几何拓扑约束)中学习。通过对点的空间布局进行明确推理，获得有区别的形状意识。通过点云分类、部分分割和语义分割3项任务的具有挑战性的基准测试的广泛实验，以及详尽的经验和理论分析，证明融合逆密度函数的关系形状卷积神经网络相对于其他网络模型都有一定程度的提升。

但是，每个局部点子集的强制归一化一定程度上会给形状识别带来困难，另一方面融合逆密度函数的关系形状卷积网络在采样率相对均匀情况下的分类精度与原始关系卷积神经网络呈现的精度结果相当，这主要是因为ModelNet40数据集在整体上呈现均匀状态，尽管局部存在非均匀情况，但实际使用的数据集出现不均匀情况是比较常见的，这也是本文网络今后的改进点。下一步工作是将原始坐标和几何特征融合到同一特征空间，进一步提升点云识别精度。