随着互联网通信和多媒体技术的迅速发展，每时每刻都有大量的视频、图像等信息通过网络进行传输。由于网络的公开性和共享性，这些数据可能在传输过程中泄露和被非法使用，其中某些图像包含敏感信息，如人体图像可以潜在反映性别、体重、健康状况等生物特征隐私信息(Jiang和Guo，2019)，遥感图像中包括地理位置、传感器参数、地物光谱特征等重要信息(刘禹佳等，2019)。而通过3D打印技术制作石膏人脸已经可以成功破解4种流行旗舰手机的人工智能(artificial intelligence，AI)人脸识别解锁功能(Brewster，2018)。因此，对图像内容的保护已成为信息安全领域的重要问题之一。

自双随机相位编码技术被提出以来，图像加密已成为保护图像内容的一种有效方法(Liu等，2014；Guo等，2017；Bao和Zhou，2015)。为了提高系统的安全性，研究者在双随机相位编码(double random phase encooling, DRPE)框架的基础上，通过引入含随机变化参数的变换构建新的加密算法，如菲涅尔变换(Luan等，2019；Yadav和Singh，2018)、离散分数阶随机变换(Gong等，2018)、多参数的离散分数阶傅里叶变换(Azoug和Bouguezel，2016；Bhatnagar等，2014)等。姚丽莉等人(2016)利用矢量分解和gyrator变换相结合实现非对称图像加密。陈艳浩等人(2019)构建了一种基于差异混合掩码与混沌gyrator变换的光学图像加密算法，提高了光学加密技术在抗选择明文攻击能力时的解密质量。但是，这些图像加密算法主要针对单幅图像。

图像信息储存和传输数据量的急剧增加使得多图像加密技术得到广泛关注(Xi等，2019；Wang和Zhao，2012；Bhatnagar等，2013；Deepan等，2014；Shao等，2018；王仁德等，2019；Sui等，2019)。Wang和Zhao(2012)提出一种基于相干叠加原理和数字全息的光电图像加密解密技术，实现多图像加密。Bhatnagar等人(2013)提出离散分数阶小波域(discrete fractional wavelet transform，DFrWT)的双随机相位编码，并构造系数矩阵将多组变换后矩阵组合实现多图像加密，但在明文图像数量$n$≥ 4时，存在幻方矩阵行列式为0的情况，无法实现解密。Deepan等人(2014)将压缩感知技术应用到双随机相位空间多路复用技术中实现多图像加密。Shao等人(2018)提出一种基于混沌映射和gyrator域幅值相位混合恢复的实值图像加密系统，实现双灰度图像加密。王仁德等人(2019)对光学扫描全息术进行了改进，实现多图像并行加密和任意层图像的再现。Sui等人(2019)提出利用级联分数阶傅里叶变换(cascaded fractional Fourier transform，CFrFT)实现多图像加密，解决了频域加密出现的轮廓问题，然而存在随级联层数增加，解密图像质量逐渐降低的问题。

基于以上分析，本文使用gyrator变换和多分辨率奇异值分解构建了一种多图像加密算法。其中，gyrator变换的旋转角度参数可随机选取，多分辨率奇异值分解具有多尺度适应性，使得加密系统具有较高的安全性。混沌序列与明文图像密切相关，使得算法能够有效抵抗选择明文攻击。实验仿真表明，本文算法能够实现多幅图像的加密和解密，解密图像具有较高的峰值信噪比和良好的稳健性。

基于传统logistic映射，Hanis和Amutha(2019)提出一种改进的logistic映射，定义为

$ {Z_{n + 1}} = \mu {Z_n}(1 - {Z_n})(1 - Z_n^2) $

(1)

式中，0 < ${Z_n}$ < 1，3.9 < $\mu $ < 6.27，此时改进的logistic映射为混沌状态。通过与传统logistic映射比较，改进的logistic映射由于混沌控制参数$\mu $范围变大，密钥空间扩大，有利于提高系统的安全性。

对于一幅灰度图像$f\left({x, y} \right)$，旋转角度为$\alpha $的gyrator变换的定义(Rodrigo，2007)为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {G(u,v) = \int {\int {f(x,y)} } {K_\alpha }(x,y;u,v){\rm{d}}x{\rm{d}}y = }\\ {\frac{1}{{|{\rm{sin}}\alpha |}}\int {\int {f(x,y)} } \times }\\ {{\rm{exp}}\left( {{\rm{i}}2\pi \frac{{(uv + xy){\rm{cos}}\alpha - (uy + vx)}}{{{\rm{sin}}\alpha }}} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} \end{array} $

(2)

式中，$\left({x, y} \right)$和$\left({u, v} \right)$分别表示输入和输出坐标, i为虚数单位。对gyrator变换的结果再进行一次角度为$ - \alpha $的gyrator变换，可以得到原图像$f\left({x, y} \right)$。

令$\mathit{\boldsymbol{X}}$表示一幅2维灰度图像，尺寸为$M{\rm{ \times }}N$，多分辨率奇异值分解(multi-resolution singular value decomposition，MRSVD)(Bhatnagar等人，2014)的具体过程描述如下：

1) 将图像$\mathit{\boldsymbol{X}}$划分为大小为$p{\rm{ \times }}q$的非重叠子块并调整为$pq{\rm{ \times }}1$的向量，按列组成$pq{\rm{ \times }}\left({MN/pq} \right)$的矩阵${\mathit{\boldsymbol{X}}_1}$。

2) 计算中心化矩阵和散布矩阵${\mathit{\boldsymbol{T}}_1} = {{\mathit{\boldsymbol{\bar X}}}_1}\mathit{\boldsymbol{\bar X}}_1^{\rm{T}}$。

3) 令${\mathit{\boldsymbol{U}}_1}$为特征向量矩阵，将散布矩阵${\mathit{\boldsymbol{T}}_1}$对角化，$\mathit{\boldsymbol{U}}_1^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_1}{\mathit{\boldsymbol{U}}_1} = \mathit{\boldsymbol{S}}_1^2$，其中，$\mathit{\boldsymbol{S}}_1^2$=diag{${s_1}{\left(1 \right)^2}, {s_1}{\left(2 \right)^2}, \cdots, {s_1}{\left({pq} \right)^2}$}为矩阵${\mathit{\boldsymbol{T}}_1}$奇异值的平方。

4) 重构矩阵${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$，$\mathit{\boldsymbol{\hat X}} = \mathit{\boldsymbol{U}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\bar X}}}_1}$。矩阵${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$的第1行对应最大的奇异值，因此将其作为${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$的近似分量。图像的细节分量为${\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$的剩余行对应的剩余奇异值(按递减顺序排列)。图 1为一幅图像的多分辨率奇异值分解及重建结果，其中参数$p{\rm{ \times }}q$=2×2。

本文提出的多图像加密算法流程如图 2所示，首先将$k$幅明文图像每两幅组合为复数矩阵并进行双随机相位编码，然后将实部分量和虚部分量组合为实数矩阵并进行多分辨率奇异值分解，最后使用正交矩阵对多分辨率奇异值分解的结果进行线性组合得到密文图像。当使用授权的密钥，通过加密过程的逆过程可以恢复出明文图像。

假设待加密的明文图像分别为${f_r}\left({x, y} \right)$, $r$=1, 2, …, $k$，其大小均为$M{\rm{ \times }}N$，则加密过程具体描述如下：

1) 将$k$幅明文图像每两幅组合为复数矩阵${S_t}\left({x, y} \right)$, $t$=1, 2, …, $k$/2。令实部图像集为$\mathit{\boldsymbol{T}}$，虚部图像集为${\mathit{\boldsymbol{T'}}}$，分别计算两个实数值${X_{0}}$, ${X_{1}}$，相应的表达式为

$ {{X_0} = \frac{2}{k}\sum\limits_{f \in \mathit{\boldsymbol{T}}} {\sum\limits_{i = 0}^{255} {f(i)} } \cdot H(i)} $

(3)

$ {{X_1} = \frac{2}{k}\sum\limits_{f \in {\mathit{\boldsymbol{T}}^\prime}} {\sum\limits_{i = 0}^{255} {f(i)} } \cdot H(i)} $

(4)

式中，$\mathit{\boldsymbol{H}}$(·)代表第$t$幅明文图像的灰度直方图分布。为了避免${X_{0}}$和${X_{1}}$的数值过大，对${X_{0}}$和${X_{1}}$分别进行取余运算，得到改进的logistic映射的初值${z_{0}}$和${z_{1}}$，具体为

$ {{z_0} = {X_0}(\,{\rm{mod}}1)} $

(5)

$ {{z_1} = {X_1}(\,{\rm{mod}}1)} $

(6)

根据式(1)，经过$MN$+1次迭代生成序列${{\mathit{\boldsymbol{Z'}}}_n}$和${{\mathit{\boldsymbol{Z''}}}_n}$。将${{\mathit{\boldsymbol{Z'}}}_n}$和${{\mathit{\boldsymbol{Z''}}}_n}$的前$MN$个元素分别调整为$M{\rm{ \times }}N$的矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_1}$和${\mathit{\boldsymbol{R}}_2}$，则混沌相位掩码表示为${\mathit{\boldsymbol{P}}_1} = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}{\mathit{\boldsymbol{R}}_1}}}$和${\mathit{\boldsymbol{P}}_2} = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}}}$。

2) 对复数矩阵${S_t}\left({x, y} \right)$, $t$=1, 2, …, $k$/2进行角度分别为$\alpha $和$\beta $的gyrator变换得到矩阵${g_t}\left({u, v} \right)$，即

$ {\mathit{\boldsymbol{g}}_t} = {G^\beta }\{ {G^\alpha }\{ {\mathit{\boldsymbol{S}}_t} \cdot {\mathit{\boldsymbol{P}}_1}\} \cdot {\mathit{\boldsymbol{P}}_2}\} $

(7)

式中，$G${·}代表对矩阵进行gyrator变换，$\alpha = {{\mathit{\boldsymbol{Z'}}}_{NM + 1}}$，$\alpha = {{\mathit{\boldsymbol{Z''}}}_{NM + 1}}$。

3) 分别提取矩阵${g_t}\left({u, v} \right)$的实部分量和虚部分量，并将其重新组合为实数矩阵${A_t}\left({x', y'} \right)$，即

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_t} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { Re ({\mathit{\boldsymbol{g}}_t})}&{ Im ({\mathit{\boldsymbol{g}}_t})}\\ { - Im ({\mathit{\boldsymbol{g}}_t})}&{ Re ({\mathit{\boldsymbol{g}}_t})} \end{array}} \right] $

(8)

式中，运算符$Re($·)和$Im$(·)分别表示提取复数矩阵的实部和虚部。

4) 对矩阵${A_t}\left({x', y'} \right)$进行参数为$\left({p, q} \right)$的多分辨率奇异值分解，结果记为${M_t}\left({x', y'} \right)$。

5) 根据均值为$s$、方差为$\sigma $生成大小为$k$/2×$k$/2的高斯矩阵$\mathit{\boldsymbol{W}}$，并进行奇异值分解得到正交矩阵$\mathit{\boldsymbol{U}}$，具体为

$ \mathit{\boldsymbol{W}} = \mathit{\boldsymbol{US}}{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}} $

(9)

6) 将$\mathit{\boldsymbol{U}}$作为系数矩阵，对${M_t}\left({x', y'} \right)$进行组合，计算式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{I}}_1} = \mathit{\boldsymbol{U}}(1,1){\mathit{\boldsymbol{M}}_1} + \mathit{\boldsymbol{U}}(1,2){\mathit{\boldsymbol{M}}_2} + \cdots + \mathit{\boldsymbol{U}}(1,k/2){\mathit{\boldsymbol{M}}_{k/2}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{I}}_2} = \mathit{\boldsymbol{U}}(2,1){\mathit{\boldsymbol{M}}_1} + \mathit{\boldsymbol{U}}(2,2){\mathit{\boldsymbol{M}}_2} + \cdots + \mathit{\boldsymbol{U}}(2,k/2){\mathit{\boldsymbol{M}}_{k/2}}}\\ \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{k/2}} = \mathit{\boldsymbol{U}}(k/2,1){\mathit{\boldsymbol{M}}_1} + \mathit{\boldsymbol{U}}(k/2,2){\mathit{\boldsymbol{M}}_2} + \cdots + }\\ {\mathit{\boldsymbol{U}}(k/2,k/2){\mathit{\boldsymbol{M}}_{k/2}}} \end{array} $

(10)

式中，${\mathit{\boldsymbol{I}}_1}$, ${\mathit{\boldsymbol{I}}_2}$, …, ${\mathit{\boldsymbol{I}}_{k/2}}$为密文。在加密过程中，混沌序列初值${z_{0}}$，${z_{1}}$和参数$\mu $，旋转角度$\alpha $，$\beta $，多分辨率奇异值分解的参数$\left({p, q} \right)$，高斯矩阵的参数$\left({s, \sigma } \right)$作为本文算法的密钥。

使用授权的密钥，通过上述加密的逆过程可以恢复得到明文图像。具体过程如下：

1) 使用克莱姆法则对密文求解得到多分辨率奇异值分解结果${{M'}_t}\left({x', y'} \right)$。

2) 分别对${{M'}_t}\left({x', y'} \right)$进行参数为$\left({p, q} \right)$的多分辨率奇异值分解的逆过程得到${{A'}_t}\left({x', y'} \right)$。

3) 根据${{A'}_t}\left({x', y'} \right)$计算得到复数矩阵${{g'}_t}\left({x, y} \right)$，其中${{A'}_t}\left({x', y'} \right)$分别按2 × 2等分为4个矩阵，记为

$ \mathit{\boldsymbol{A}}_t^\prime = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{12}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{21}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{22}}} \end{array}} \right] $

(11)

则${{g'}_t}\left({x, y} \right)$可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{g}}_t^\prime = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{11}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}_{22}}}}{2} + {\rm{i}}\frac{{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{12}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_{21}}}}{2} $

(12)

4) 对复数矩阵${{g'}_t}\left({x, y} \right)$进行角度分别为$ - \beta $, $- \alpha $的gyrator变换得到复数矩阵${{S'}_t}\left({x, y} \right)$。

$ \mathit{\boldsymbol{S}}_t^\prime = {G^{ - \alpha }}\{ {G^{ - \beta }}\{ \mathit{\boldsymbol{g}}_t^\prime \cdot {\mathit{\boldsymbol{\bar P}}_1}\} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\bar P}}_0}\} $

(13)

式中，$G$表示gyrator变换，{·}代表对矩阵取共轭。

5) 分别提取复数矩阵${{S'}_t}\left({x, y} \right)$的实部和虚部得到明文图像${{f'}_r}\left({x, y} \right)$。

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_{2t - 1}^\prime = Re \{ \mathit{\boldsymbol{S}}_t^\prime \} } $

(14)

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_{2t}^\prime = Im \{ \mathit{\boldsymbol{S}}_t^\prime \} } $

(15)

本文算法实验平台使用MATLAB 2015b，处理器为Intel(R)Core(TM)i5-6300HQ @2.30 GHz，内存为8 GB的Windows 10操作系统。分别从BSDS500(https://blog.csdn.net/u014722627/article/details/60140789)和Caltech101(http://www.vision.caltech.edu/Image_Datasets/Caltech101/)两个图像数据库中随机选取60幅图像进行实验，并将图像尺寸调整为256×256像素，6幅图像如图 3所示。改进的logistic映射的控制参数$\mu $=5.31，随机高斯矩阵的均值$s$=0.5、方差$\sigma $=1。

为了客观评价解密图像的质量，使用峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)、结构相似度(structural similarity index，SSIM)和相关系数(correlation coefficient，CC)作为评价指标。明文图像${f_r}\left({x, y} \right)$和解密图像${{f'}_r}\left({x, y} \right)$的PSNR、SSIM和CC分别计算为

$ P = 10{\rm{lg}}\left( {\frac{{{{255}^2}}}{{\frac{1}{{NM}}\sum\limits_{y = 0}^{N - 1} {\sum\limits_{x = 0}^{M - 1} {({f_r}(} } x,y) - f_r^\prime (x,y){)^2}}}} \right) $

(16)

$ {S = \frac{{(2{\mu _{{f_r}}}{\mu _{f_r^\prime }} + {c_1})(2{\sigma _{{f_r}f_r^\prime }} + {c_2})}}{{(\mu _{{f_r}}^2 + \mu _{f_r^\prime }^2 + {c_1})(\sigma _{{f_r}}^2 + \sigma _{f_r^\prime }^2 + {c_2})}}} $

(17)

$ {C = \frac{{E\{ [{\mathit{\boldsymbol{f}}_r} - E({\mathit{\boldsymbol{f}}_r})][\mathit{\boldsymbol{f}}_r^\prime - E(\mathit{\boldsymbol{f}}_r^\prime )]\} }}{{\sqrt {E\{ {{[{\mathit{\boldsymbol{f}}_r} - E({\mathit{\boldsymbol{f}}_r})]}^2}\} } \sqrt {E\{ {{[\mathit{\boldsymbol{f}}_r^\prime - E(\mathit{\boldsymbol{f}}_r^\prime )]}^2}\} } }}} $

(18)

式中，${\mu _{{f_r}}}$, ${\mu _{{{f'}_r}}}$分别表示图像${f_r}\left({x, y} \right)$和${{f'}_r}\left({x, y} \right)$的均值，${\sigma _{{f_r}}}$, ${\sigma _{{{f'}_r}}}$分别表示图像${f_r}\left({x, y} \right)$和${{f'}_r}\left({x, y} \right)$的标准差，${\sigma _{{f_r}{{f'}_r}}}$代表图像${f_r}\left({x, y} \right)$和${{f'}_r}\left({x, y} \right)$的协方差，$c_1$，$c_2$为常数；$E$表示期望值运算。根据定义，$P$的值越高，$S$和$C$的值越接近1，表示解密图像质量越好。

首先通过实验分析多分辨率奇异值分解参数的选取对解密图像质量的影响，分别按照$p$×$q$={2×2, 2×4, 4×2, 4×4}对两个数据库的120幅图像进行实验，解密图像的PSNR结果如图 4(a)和表 1所示。可以看出，当$p$×$q$=2×2时，解密图像峰值信噪比最高，解密图像质量最好。因此实验将多分辨率奇异值分解的参数设置为$p$×$q$=2×2。图 4(b)和表 2为本文算法与DFrWT算法(Bhatnagar等，2013)、CFrFT算法(Sui等，2019)的PSNR对比结果，3种算法的SSIM和CC值均为1.000 0，可以看出本文算法解密图像的PSNR值明显高于其他两种算法对应的PSNR值，表明本文算法的解密图像质量更好。

图 5给出了图 3所示明文图像的密文和正确解密结果，使用本文加密算法得到的密文图像信息混乱无序，攻击者难以从中直接获取有效信息。当使用授权的密钥时，能够正确恢复明文图像。使用本文算法对120幅图像进行测试，加密耗时22.92 s，解密耗时62.75 s。

对加密算法的抗统计攻击性能分析，主要包括明文、密文的直方图和相邻像素的相关系数。图 6为图 3所示明文图像及其密文图像的灰度直方图，不同明文图像的灰度直方图具有明显的峰值，而它们的密文图像直方图呈现很接近的高斯白噪声分布。因此，该算法能够将明文图像转化为高斯白噪声，隐藏明文图像的信息。

一般而言明文图像的相邻像素之间具有很强的相关性，加密操作是尽可能破坏其相关性。随机从图 3所示的明文图像及图 5对应的密文图像中选取5 000对相邻像素点，这些相邻像素之间在水平、垂直、对角线方向上的相关系数如表 3所示，明文图像(图 3(a)(b))以及密文图像(图 5(a))的相邻像素相关分布如图 7所示。可以看出，明文图像相关系数接近于1.000 0，相关分布图中像素点分布在主对角线上，密文图像在3个方向上的相关系数接近于0。实验结果表明，本文算法可以有效破坏明文图像相邻像素之间的相关性。

对算法敏感性进行3个方面的分析：1)使用存在微小变化的密钥对明文图像进行加密；2)使用存在微小变化的密钥对密文图像进行解密；3)明文发生微小变化时密文图像的差异性。

首先，使用微小变化的密钥对明文图像进行加密并分析密文的相关性。图 8给出了当初始值${z_{0}}$, ${z_{1}}$和参数$\mu $分别偏离10^-15时加密的密文图像与使用初始密钥加密的密文图像相关系数，其数值不超过0.20。因此，密钥的微小改变会导致密文图像存在明显的差异，相关性很低。

其次，通过改变logistic映射的初值和控制参数进行解密，统计解密图像的PSNR和SSIM。当待测参数改变时，其余参数保持不变。图 9为初始值${z_{0}}$、${z_{1}}$和参数$\mu $分别偏离正确值10^-15时解密图像的PSNR和SSIM结果，其中，PSNR介于6.5~11.5 dB之间，SSIM的数量级为10^-3，远小于使用正确密钥解密时的对应值。图 10给出了当初值或控制参数偏离正确值10^-15时图 5(a)-(c)的解密结果，可以看出此时的解密图像杂乱无序，无法从中获取有意义的明文内容。

此外，对明文图像像素变化的敏感性引入像素变化率(number of pixels change rate，NPCR)和归一化平均变化强度(unified averaged changed intensity，UACI)来进行客观评价，具体为

$ {D(i,j) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{{C_1} = {C_2}}\\ 1&{{C_1} \ne {C_2}} \end{array}} \right.} $

(19)

$ {{N_{PCR}} = \frac{1}{{MN}}\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N D } (i,j) \times 100\% } $

(20)

$ {{U_{ACI}} = \frac{1}{{MN}}\sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {\frac{{|{C_1}(i,j) - {C_2}(i,j)|}}{F}} } \times 100\% } $

(21)

式中，$M$和$N$为密文图像的行数和列数，${C_{1}}$和${C_{2}}$是有一个像素不同点的两个密文图像在$\left({i, j} \right)$处的像素值，$F$为密文图像最大像素值。

每幅明文图像任选一组像素点对像素值增加20，进行100次随机测试，NPCR和UACI的平均值如图 11所示。可以看出，明文像素值产生微小改变时，密文图像会发生很大的变化。这是由于本文混沌映射初值与明文图像密切相关，有利于保证系统的安全性。

本文算法利用改进的logistic映射生成混沌相位掩码和旋转角度，密钥空间主要根据混沌映射来决定。改进的logistic映射有1个独立的控制参数$\mu $∈(3.9, 6.27)和2个初值$z_0$∈(0, 1)，$z_1$∈(0, 1)。假设两个值的精度都设置为10^-15，则密钥空间为(2.37×10¹⁵×10¹⁵)²=5.616 9×10⁶⁰。Ge等人(2019)指出抵抗蛮力攻击的密钥空间大小为2¹⁰⁰，本文密钥空间大小明显大于该数值，可以抵御蛮力攻击。

为了测试本文算法抵抗选择明文攻击的能力，从Caltech101数据库选取6幅图像作为实验伪明文，如图 12(a)所示。假设攻击者利用伪明文产生对应的解密密钥，并对图 5(a)-(c)进行解密，结果如图 12(b)所示，解密图像杂乱无章，没有任何明文信息。本文的加密算法与明文密切相关，明文的改变会引起随机相位和旋转角度的不同。实验结果表明，本文算法可以抵御选择明文攻击。

在数据传输过程中，密文数据可能出现噪声污染。为检验本文算法对噪声攻击的鲁棒性，对密文图像添加均值为0、方差(噪声强度)为δ的高斯白噪声，PSNR、SSIM的平均值结果如图 13所示，并与DFrWT算法(Bhatnagar等，2013)、CFrFT算法(Sui等，2019)的结果进行比较。可以看出，解密图像的质量均随着噪声强度的增大而不断降低，但是使用本文算法能够得到较高的PSNR和SSIM。图 14显示了高斯噪声强度$\delta $=9时，本文算法与DFrWT算法(Bhatnagar等，2013)、CFrFT算法(Sui等，2019)的解密结果。实验结果表明，本文算法对高斯噪声具有一定的鲁棒性，抗噪声攻击能力更强。

密文图像在传输过程中，可能会遭到破坏导致部分数据缺失。为了测试本文算法的抗剪裁能力，将密文中心分别剪切5%、10%、15%、20%、25%再进行解密，即将子块内像素点置0，解密图像的PSNR和SSIM平均值如图 15所示，并与DFrWT算法(Bhatnagar等，2013)和CFrFT算法(Sui等，2019)的结果进行比较。可以看出，本文算法在受到剪切攻击后，解密图像质量明显高于其他两种算法。图 16为3种算法在密文数据中心缺失5%后的解密图像。可以看出，本文算法在受到剪切攻击后，仍可恢复出明文信息并且更不易受到密文损失大小的影响。实验结果表明，本文算法具有更强的抗剪裁性。

提出一种结合gyrator变换和多分辨率奇异值分解的多图像加密算法。该算法得到的密文图像为实数值图像，相对于复数值的加密算法，密文的存储和分发更加便利。同时，使用奇异值分解得到的正交矩阵作为系数矩阵构建线性方程组得到密文图像。实验结果表明，本文算法能够实现多幅图像的加密和解密，并且可以高质量地恢复出原始图像，算法敏感性高，可有效抵抗蛮力攻击、选择明文攻击，并通过对比实验表明对高斯噪声以及剪切攻击具有较强的鲁棒性。

由于本文算法密文数量多，在未来的研究中将考虑如何降低密文的存储空间。同时将本文算法模型推广到多幅彩色图像的加密，增加算法的适用性。