Bézier曲线以及B样条曲线在传统几何设计中具有举足轻重的作用。近年来，随着几何工业的发展，传统Bézier曲线以及B样条曲线因其本身的缺陷已经很难满足人们的需要。与此同时许多有理形式的Bézier曲线^[1-2]被提出来，这解决了传统方法的问题，但有理化方法不仅存在渐进问题，而且权因子的使用不当会对曲线曲面设计产生一定的破坏性^[3]。鉴于上述问题，大量带形状参数的类Bernstein基或类B样条基孕育而出，主要集中在三角函数空间^[4-9]、双曲函数空间^[10-11]、指数函数空间^[12-13]，以及该类空间与多项式空间的组合空间^[14-18]等。

尽管改进的方法有很多，但是这些方法在实际问题的解决中却应用得很少。归根原因，与传统Bézier方法和B样条方法相比，这些方法虽然都通过添加形状参数增加了曲线的灵活性，在某些方面占有优势，但是其方法本身并不具备替代传统方法的能力，需要改进的地方还有很多。比如，这些方法大都只讨论了凸包性、规范性、几何不变性以及对称性等一些基本性质，而传统Bézier方法和B样条方法所拥有的像全正性、变差缩减性和保形性等重要性质往往被忽略。而函数空间基函数的全正性可保证生成曲线具有变差缩减性，也可保证大量的保形性质，并且其中的B基(最优规范全正基)具有最佳的保形效果^[19-20]。因此是否具有全正性至关重要^[21]。又比如，基于多项式空间构造的曲线曲面不能精确表示除抛物线以外的圆锥曲线；较高的基函数次数会增加曲线曲面的计算复杂度等。

此外，在改进的方法中以2次和3次曲线曲面为主，在通常情况下，这些方法构造的曲线曲面均可达到${{\rm{C}}^2}$连续，这已经能够满足大多数的工程要求。但是如果对连续性有更高的要求，这些方法就有一点捉襟见肘，往往需要提高构造曲线曲面的次数。以B样条曲线曲面为例，注意到，曲线曲面的连续性和局部性与其次数有直接关系，次数越高，连续阶数也越高，但局部性就越差，计算的复杂度也就越高。所以为了达到高阶连续性的特殊要求，就必须牺牲其支配地位的局部性质。因此，在曲线曲面构造时，在不增加运算复杂度以及不影响其局部性质的情况下能够满足高阶连续性的重要性就凸显出来。

由于拟扩展切比雪夫空间(QEC)具有适合构造B基的开花性质，成为适合几何设计的最大一类空间^[22-27]。另外，基于三角函数空间的类Bézier基和类B样条基在保形设计中具有巨大的潜力^[28-31]，并且三角函数空间中的sin $t$和cos $t$连续求导的可循环性也为高阶连续性的曲线曲面的构造提供条件(sin⁽⁴⁾$t$=sin $t$, cos⁽⁴⁾$t$=cos $t$)。为此，本文在文献[32]的基础上，首先证明文献[32]提出的基函数构成QEC空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }=span${1, sin² $t$, (1-sin $t$)(1-$\alpha $sin $t$), (1-cos $t$)(1-$\beta $cos $t$)}中的一组B基，并给出了该基形成的拟三次TC-Bézier曲线的割角算法。接着在该B基的基础上构造了拟三次均匀B样条基，并提出带两个参数的拟三次TC-B样条曲线和曲面。大量的分析与案例表明，本文构造的曲线曲面不仅保留传统Bézier方法以及B样条方法的所有性质，而且具有计算简单、灵活的形状可调性等特点，并能够精确地表示圆锥曲线、曲面。除此之外，本文构造的三次TC-B样条曲线曲面具有不影响局部性质的高阶连续性，即构造的曲线曲面在支撑域条件下处处具有$C^{2n-1}$($n$=1, 2, 3, …)连续。

文献[32]给出了当$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，$\alpha, \beta $∈[-1, 1]时，含有两个形状参数$\alpha, \beta $的基函数

$ \left\{ \begin{array}{l} {T_0}\left( t \right) = \left( {1 - \sin t} \right)\left( {1 - \alpha \sin t} \right)\\ {T_1}\left( t \right) = \left( {1 + \alpha } \right)\sin t\left( {1 - \sin t} \right)\\ {T_2}\left( t \right) = \left( {1 + \beta } \right)\cos t\left( {1 - \cos t} \right)\\ {T_3}\left( t \right) = \left( {1 - \cos t} \right)\left( {1 - \beta \cos t} \right) \end{array} \right. $

(1)

并分析了其具有非负性、权性、拟对称性、单峰性以及端点性质。但实际上在$\alpha, \beta $∈[-1, 0)时，该基存在的函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$={1, sin² $t$, (1-sin $t$)(1-$\alpha $sin $t$), (1-cos $t$)(1-$\beta $cos $t$}并不具备开花性质因此并不适合于曲线设计。下面我们证明其在$\alpha, \beta $∈[0, 1]构成一组B基。

对任意的$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，$\alpha, \beta $∈[0, 1]。考虑在$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中构造B基。则母函数为

$ \mathit{\Phi }\left( t \right) = \left( \begin{array}{l} {\sin ^2}t,\left( {1 - \sin t} \right)\left( {1 - \alpha \sin t} \right),\\ \left( {1 - \cos t} \right)\left( {1 - \beta \cos t} \right) \end{array} \right) $

由文献[22]的定理3.1，只需证明函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$的微分空间

$ {\rm{D}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha ,\beta }} = \left\{ \begin{array}{l} 2\sin t\cos t,2\alpha \sin t\cos t - \left( {\alpha + 1} \right)\cos t,\\ \left( {\beta + 1} \right)\sin t - 2\beta \sin t\cos t \end{array} \right\} $

为3维QEC空间。

定理1  对于任意的$\alpha, \beta $∈[0, 1]，${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为闭空间[0, $\mathsf{ π}$/2]上的一个3维QEC空间。

证明对任意的${\xi _i} = {\bf{R}}$($i$=0, 1, 2)，考虑以下的线性组合

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\xi _0}\left[ {2\sin t\cos t} \right] + }\\ {{\xi _1}\left[ {2\alpha \sin t\cos t - \cos t - \alpha \cos t} \right] + }\\ {{\xi _2}\left[ {\left( {\beta + 1} \right)\cos t - 2\beta \sin t\cos t} \right] = 0} \end{array} $

(2)

当$t$=0时，由式(2)可得${\xi _1}=0$；

当$t$=$\mathsf{ π}$/2时，由式(2)可得${\xi _2}=0$。

最后可得${\xi _0}=0$。由此可见${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$是个3维空间。

下面先证明${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$是开区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上的一个3维完备扩展切比雪夫空间(ECC)。对任意$t$∈[$a, b$]⊂(0, $\mathsf{ π}$/2)，令

$ \begin{array}{*{20}{c}} {u\left( t \right) = }\\ {{{\left[ {\frac{{2\alpha \sin t\cos t - \left( {\alpha + 1} \right)\cos t}}{{\sin t\cos t}}} \right]}^\prime } = \left( {\alpha + 1} \right)\frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {v\left( t \right) = }\\ {{{\left[ {\frac{{\left( {\beta + 1} \right)\sin t - 2\beta \sin t\cos t}}{{\sin t\cos t}}} \right]}^\prime } = \left( {\beta + 1} \right)\frac{{\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}} \end{array} $

直接计算得

$ u'\left( t \right) = \left( {\alpha + 1} \right)\frac{{ - 1 - {{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^3}t}} $

$ v'\left( t \right) = \left( {\beta + 1} \right)\frac{{1 + {{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^3}t}} $

因此，关于函数$u(t)$和$v(t)$的朗斯基行列式^[37]有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {W\left( {u,v} \right)\left( t \right) = u\left( t \right)v'\left( t \right) - u'\left( t \right)v\left( t \right) = }\\ {\left( {\alpha + 1} \right)\left( {\beta + 1} \right)\frac{3}{{{{\sin }^2}t \cdot {{\cos }^2}t}} > 0,\forall t \in \left( {0,{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right)} \end{array} $

对$t$∈[$a, b$]，定义以下3个权函数

$ {w_0}\left( t \right) = 2\sin t\cos t $

$ {w_1}\left( t \right) = Au\left( t \right) + Bv\left( t \right) $

$ {w_2}\left( t \right) = C\frac{{W\left( {u,v} \right)\left( t \right)}}{{{{\left[ {Au\left( t \right) + Bv\left( t \right)} \right]}^2}}} $

式中，$A, B, C$是3个任意的正实数。显然，权函数${w_i}(t)$($i$=0, 1, 2)均为闭区间[$a, b$]上${{\rm{C}}^\infty }$光滑且正的有界函数。考虑以下由权函数${w_i}(t)$($i$=0, 1, 2)定义的完备扩展切比雪夫空间

$ {\mathit{u}_0}\left( t \right) = {w_0}\left( t \right) $

$ {u_1}\left( t \right) = {w_0}\left( t \right)\int_a^t {{w_1}\left( {{t_1}} \right){\rm{d}}{t_1}} $

$ {u_2}\left( t \right) = {w_0}\left( t \right)\int_a^t {{w_1}\left( {{t_1}} \right)\int_a^{{t_1}} {{w_2}\left( {{t_2}} \right){\rm{d}}{t_2}{\rm{d}}{t_1}} } $

可以验证，函数$u_0(t)$,$u_1(t)$, $u_2$$(t)$均为函数{2sin $t$cos $t$, 2$\alpha $sin $t$cos $t$-($\alpha $+1)cos $t$，($\beta $+1)sin $t$-2$\beta $sin $t$cos $t$}的线性组合，由文献[22-27, 34]可知，函数空间${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为闭区间[$a, b$]上的ECC空间，由于闭区间[$a, b$]为开区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上的任意子区间，因此函数空间${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为开区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上的ECC空间。进而，${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的任意线性组合在区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上至多只有2个零点。

接着，我们证明${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为闭空间[0, $\mathsf{ π}$/2]上的一个QEC空间。由文献[22-27, 34]知，要证明${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为QEC空间，只需证明${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$空间中的任意非零函数在区间[0, $\mathsf{ π}$/2]上只有两个零点即可。因此，可建立QEC空间中的随机非零函数

$ \begin{array}{*{20}{c}} {F\left( t \right) = {C_1}\left[ {2\sin t\cos t} \right] + }\\ {{C_2}\left[ {2\alpha \sin t\cos t - \left( {\alpha + 1} \right)\cos t} \right] + }\\ {{C_3}\left[ {\left( {\beta + 1} \right)\sin t - 2\beta \sin t\cos t} \right]} \end{array} $

式中，$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]。通过前面的证明已经知道${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为开区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上的ECC空间，函数$F(t)$在(0, $\mathsf{ π}$/2)上至多只有两个零点。

假设$t$=0为函数$F(t)$的零点，则有$C_2$=0。

在此情况下，如果$C_3$=0，则此时$t$=0和$t$=$\mathsf{ π}$/2分别为$F(t)$的单根；

如果$C_1$=0，则$t$=0为$F(t)$的唯一根；

如果$C_1$$C_3$ > 0，即$C_1$ > 0, $C_3$ > 0或$C_1$ < 0, $C_3$ < 0, 则

$ \begin{array}{*{20}{c}} {F\left( t \right) = {C_1}\left[ {2\sin t\cos t} \right] + }\\ {{C_3}\left[ {\left( {\beta + 1} \right)\sin t - 2\beta \sin t\cos t} \right] = }\\ {\sin t\left[ {2{C_1}\cos t + {C_3}\left( {1 + \beta - 2\beta \cos t} \right)} \right]} \end{array} $

很明显$t$=0为$F(t)$的根，而$t$=$\mathsf{ π}$/2不为$F(t)$的根。当$t$∈(0, $\mathsf{ π}$/2)时，cos $t$ > 0。令

$ f\left( x \right) = 1 + \beta - 2\beta \cos \;t > 1 + \beta - 2\beta = 1 - \beta \ge 0 $

所以$F(t)$在$t$∈(0, $\mathsf{ π}$/2)时恒正或者恒负。因此$F(t)$在$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]上只有一个零点。

如果$C_1$$C_3$ < 0，即$C_1$ > 0, $C_3$ < 0或$C_1$ < 0, $C_3$ > 0，再令

$ \begin{array}{*{20}{c}} {g\left( t \right) = 2{C_1}\cos t + {C_3}\left( {1 + \beta - 2\beta \cos t} \right)}\\ {g'\left( t \right) = 2\sin t\left( {\beta {C_3} - {C_1}} \right)} \end{array} $

可知当$C_1$ > 0, $C_3$ < 0，$g'(t)$ < 0时，$g(t)$在$t$∈(0, $\mathsf{ π}$/2)单调递减；

可知当$C_1$ < 0, $C_3$ > 0，$g'(t)$ > 0时，$g(t)$在$t$∈(0, $\mathsf{ π}$/2)单调递增；

可见$g(t)$在$t$∈(0, $\mathsf{ π}$/2)上至多只有一个零点，而$t$=0是$F(t)$的根，所以$F(t)$在$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]上至多只有两个零点。类似地，若$t$=$\mathsf{ π}$/2为$F(t)$的零点，可以证明函数$F(t)$在闭空间$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]上至多只有两个零点。证毕。

由于函数空间${\text{D}}\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$为闭空间[0, $\mathsf{ π}$/2]上的QEC空间，通过文献[22]可知道函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中存在开花，进而说明函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$适合曲线曲面构造。下面再构造函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的B基。

定理2  对于任意的$\alpha, \beta $∈[0, 1]，$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的B基为

$ \left\{ \begin{array}{l} {T_0}\left( t \right) = \left( {1 - \sin t} \right)\left( {1 - \alpha \sin t} \right)\\ {T_1}\left( t \right) = \left( {1 + \alpha } \right)\sin t\left( {1 - \sin t} \right)\\ {T_2}\left( t \right) = \left( {1 + \beta } \right)\cos t\left( {1 - \cos t} \right)\\ {T_3}\left( t \right) = \left( {1 - \cos t} \right)\left( {1 - \beta \cos t} \right) \end{array} \right. $

(3)

证明对于任意的$\alpha, \beta $∈[0, 1]，由母函数的定义可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Phi }\left( 0 \right) = \left( {0,1,0} \right)}&{\mathit{\Phi }\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( {1,0,1} \right)} \end{array} $

$ \mathit{\Phi '}\left( 0 \right) = \left( {0, - \left( {\alpha + 1} \right),0} \right) $

$ \mathit{\Phi '}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( {0,0,1 + \beta } \right) $

$ \mathit{\Phi ''}\left( 0 \right) = \left( {2,2\alpha ,1 - \beta } \right) $

$ \mathit{\Phi ''}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( { - 2,1 - \alpha ,2\beta } \right) $

参考文献[34]中关于开花性质有(关于开花性质的定义可参见文献[34]的基础知识部分, 更加具体细节可参考^[35-37]，限于篇幅，这里将不再赘述)

$ {\mathit{\Pi }_0} = \mathit{\Phi }\left( 0 \right) = \left( {0,1,0} \right) $

$ {\mathit{\Pi }_3} = \mathit{\Phi }\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( {1,0,1} \right) $

$ \left\{ {{\mathit{\Pi }_1}} \right\} = Os{c_1}\mathit{\Phi }\left( 0 \right) \cap Os{c_2}\mathit{\Phi }\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( {0,0,0} \right) $

$ \left\{ {{\mathit{\Pi }_2}} \right\} = Os{c_2}\mathit{\Phi }\left( 0 \right) \cap Os{c_1}\mathit{\Phi }\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \left( {1,0,0} \right) $

对$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，由$\mathit{\Phi }\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^3 {{A_i}\left( t \right)} {\mathit{\Pi }_i}$可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {T_2}\left( t \right) + {T_3}\left( t \right) = {\sin ^2}t\\ {T_0}\left( t \right) = \left( {1 - \sin t} \right)\left( {1 - \alpha \sin t} \right)\\ {T_3}\left( t \right) = \left( {1 - \cos t} \right)\left( {1 - \beta \cos t} \right) \end{array} \right. $

由上式连同 $\sum\limits_{i = 0}^3 {{T_i}\left( t \right)} = 1$，容易推导出式(3)。下面进一步验证$T_i$$(t)$, $i$=0, 1, 2, 3为函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的一组B基。

首先，证明$T_i$$(t)$, $i$=0, 1, 2, 3线性无关。对于任意的${\xi _i} = {\rm{R}}$($i$=0, 1, 2, 3)，考虑以下的线性组合

$ \sum\limits_{i = 0}^3 {{\xi _i}{T_i}\left( t \right)} = 0 $

(4)

两边对$t$求导得

$ \sum\limits_{i = 0}^3 {{\xi _i}{{T'}_i}\left( t \right)} = 0 $

(5)

把$t$=0分别代入式(4)(5), 得

$ \left\{ \begin{array}{l} {\xi _0} = 0\\ \left( {\alpha + 1} \right)\left( {{\xi _0} - {\xi _1}} \right) = 0 \end{array} \right. $

由此可得${\xi _0}$=${\xi _1}$=0。类似地，将$t$=$\mathsf{ π}$/2代入式(4)(5)，可得${\xi _2}$=${\xi _3}$=0。

其次可以很容易验证$T_i$$(t)$, $i$=0, 1, 2, 3在闭区间[0, $\mathsf{ π}$/2]上具有非负性，且在开区间(0, $\mathsf{ π}$/2)上具有严格的正性。

因为$T_i$$(t)$, $i$=0, 1, 2, 3最高次数为2次，因此具有以下的端点性质：

$T_0$(0)=1且$T_0$$(t)$在$t$=$\mathsf{ π}$/2处有二重根；

$T_0$($\mathsf{ π}$/2)=1且$T_0$$(t)$在$t$=0处有二重根；

对于$i$=1, 2，$T_1$$(t)$和$T_2$$(t)$在$t$=0和$t$=$\mathsf{ π}$/2均有一个根。

因此文献[22]的定理2.18可知，在$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，$\alpha, \beta $∈[0, 1]时，式(1)对应的基函数为函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的B基。证毕。

定义1  对于给定控制顶点$P_i$∈${\bf{R}}^2$($i$=0, 1, 2, 3)，称

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^3 {{T_i}\left( t \right){P_i}} }\\ {t \in \left[ {0,{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right];\;\;\;\alpha ,\beta \in \left[ {0,1} \right]} \end{array} $

(6)

为带两个形状参数$\alpha, \beta $的拟三次TC-Bézier曲线。

文献[32]给出了在$\alpha, \beta $∈[-1, 1]时，拟三次TC-Bézier曲线具有几何不变性与仿射不变性、拟对称性、形状可调性、凸包性、保凸性以及端点性质，因此当$\alpha, \beta $∈[0, 1]时也同样具有该类性质。另外基函数具有全正性，所以易得相应的曲线也具有变差缩减性。

割角算法是生成曲线的一种稳定和高效的算法。为此，将拟三次TC-Bézier曲线写成式(7)的形式。图 1给出了割角算法的例子。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {{\sin }^2}t}&{1 - {{\cos }^2}t} \end{array}} \right) \times }\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \sin t}&{\sin t}&0\\ 0&{\cos t}&{1 - \cos t} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 - \alpha \sin t}}{{{{\cos }^2}t}}}&{\frac{{\sin t\left( {\alpha - \sin t} \right)}}{{{{\cos }^2}t}}}&0&0\\ 0&{\frac{{\cos t}}{{\sin t + \cos t}}}&{\frac{{\sin t}}{{\sin t + \cos t}}}&0\\ 0&0&{\frac{{\cos t\left( {\beta - \cos t} \right)}}{{{{\sin }^2}t}}}&{\frac{{1 - \beta \cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \end{array}} \right)\\\times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_0}}\\ {{P_1}}\\ {{P_2}}\\ {{P_3}} \end{array}} \right)} \end{array} $

(7)

在式(3)的基础上，令欲构造的拟三次均匀TC-B样条基为

$ \left\{ \begin{array}{l} {N_0}\left( t \right) = {x_1}{T_3}\left( t \right)\\ {N_1}\left( t \right) = {x_2}{T_0}\left( t \right) + {x_3}{T_1}\left( t \right) + {x_4}{T_2}\left( t \right) + {x_5}{T_3}\left( t \right)\\ {N_2}\left( t \right) = {x_6}{T_0}\left( t \right) + {x_7}{T_1}\left( t \right) + {x_8}{T_2}\left( t \right) + {x_9}{T_3}\left( t \right)\\ {N_3}\left( t \right) = {x_{10}}{T_0}\left( t \right) \end{array} \right. $

(8)

式中，$T_i$$(t)$($i$=0, 1, 2, 3)为式(3)给出的B基；$x_i$($i$=1, 2, …, 10)为待定系数。

为了确定待定系数的值，首先预设由式(8)定义的结构具有规范性、${{\rm{C}}^2}$连续性。经过简单计算得到待定系数值。

$ \psi = 4 + 3\alpha + 3\beta + 2\alpha \beta $

$ {x_1} = {x_2} = \frac{{1 + \alpha }}{\psi } $

$ {x_3} = {x_8} = \frac{{2 + \alpha + \beta }}{\psi } $

$ {x_9} = {x_{10}} = \frac{{1 + \beta }}{\psi } $

$ {x_4} = {x_5} = {x_6} = {x_7} = \frac{{2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)}}{\psi } $

定义2  给定节点向量$\mathit{\boldsymbol{U}}$, 对任意的$\alpha, \beta $∈[0, 1]和给出系数$x_i$($i$=1, 2, …, 10)，则称式(8)为拟三次均匀TC-B样条基。

传统三次B样条基函数为分段函数，这里定义的拟三次均匀TC-B样条基也可用分段形式给出。设$\mathit{\boldsymbol{U}}$=[$u_0$, $u_1$, …, $u_{n+4}$]为均匀节点向量，${u_{j + 1}} - {u_j} = h > 0(j = 0, 1, 2, 3, \cdots, n + 3)$，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{B_i}\left( u \right) = }\\ {\left\{ \begin{array}{l} {N_{i,0}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} \cdot \frac{{u - {u_i}}}{h}} \right)\;\;\;\;\;\;\;u \in \left[ {{u_i},{u_{i + 1}}} \right)\\ {N_{i,1}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} \cdot \frac{{u - {u_{i + 1}}}}{h}} \right)\;\;\;\;\;u \in \left[ {{u_{i + 1}},{u_{i + 2}}} \right)\\ {N_{i,2}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} \cdot \frac{{u - {u_{i + 2}}}}{h}} \right)\;\;\;\;\;u \in \left[ {{u_{i + 2}},{u_{i + 3}}} \right)\\ {N_{i,3}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} \cdot \frac{{u - {u_{i + 3}}}}{h}} \right)\;\;\;\;\;u \in \left[ {{u_{i + 3}},{u_{i + 4}}} \right)\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u \notin \left[ {{u_i},{u_{i + 4}}} \right) \end{array} \right.} \end{array} $

(9)

式中，$i$=0, 1, …, $n$，$u$为整体参数。

为此，可以将在每个节点区间$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]\left( {i = 3, 4, \cdots, n} \right)$用整体参数$u$表示的拟三次均匀TC-B样条基用局部参数$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]表示，只需作参数变换$u = u\left( t \right) = (1 - \mathsf{ π} t/2){u_i} + \mathsf{ π} t{u_{i + 1}}/2$即可。这样一来有$t = \frac{\mathsf{ π} }{2}\cdot\frac{{u - {u_i}}}{h}$，则定义在任一区间$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]\left( {i = 3, 4, \cdots, n} \right)$上的三次均匀TC-B样条基均有式(7)的形式。图 2给出了不同参数下的基函数的图像。

由拟三次均匀TC-B样条基$T_i$$(t)$($i$=0, 1, 2, 3)的规范性和${{\rm{C}}^2 }$连续性可直接推得以下引理

引理1  以下等式成立

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_5} + {x_9} = 1\\ {x_2} + {x_6} + {x_{10}} = 1\\ {x_3} + {x_7} = 1\\ {x_1} = {x_2}\\ {x_5} = {x_6}\\ {x_9} = {x_{10}}\\ \left( {1 + \beta } \right){x_1} = - \left( {1 + \alpha } \right){x_2} + \left( {1 + \alpha } \right){x_3}\\ - \left( {1 + \beta } \right){x_4} + \left( {1 + \beta } \right){x_5} = - \left( {1 + \alpha } \right){x_6} + \left( {1 + \alpha } \right){x_7}\\ - \left( {1 + \beta } \right){x_8} + \left( {1 + \beta } \right){x_9} = - \left( {1 + \alpha } \right){x_{10}}\\ 2\beta {x_1} = 2\alpha {x_2} - 2\left( {1 + \alpha } \right){x_3} + \left( {1 + \beta } \right){x_4} + \left( {1 - \beta } \right){x_5}\\ \left( {1 - \alpha } \right){x_2} + \left( {1 + \alpha } \right){x_3} - 2\left( {\beta + 1} \right){x_4} + 2\beta {x_5} = \\ 2\alpha {x_6} - 2\left( {1 + \alpha } \right){x_7} + \left( {1 + \beta } \right){x_8} + \left( {1 - \beta } \right){x_9}\\ \left( {1 + \alpha } \right){x_6} + \left( {1 + \alpha } \right){x_7} - 2\left( {1 + \beta } \right){x_8} + 2\beta {x_9} = 2\alpha {x_{10}} \end{array} \right. $

从拟三次均匀TC-B样条基函数的构造方法和B基的性质，容易推出拟三次均匀TC-B样条基函数具有非负性、规范性、拟对称性以及端点性质。下面证明拟三次均匀TC-B样条基函数具有线性无关性、全正性以及${{\rm{C}}^{2n - 1}}$($n$=1, 2, 3, …)连续性。

定理3线性无关性。即对任意$\alpha, \beta $∈(0, 1]，$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，{$N_0$$(t)$, $N_1$$(t)$, $N_2$$(t)$, $N_3$$(t)$}线性无关。

证明：对任意 ${\xi _i} = {\bf{R}}$($i$=0, 1, 2, 3)，$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，考虑

$ {\xi _0}{N_0}\left( t \right) + {\xi _1}{N_1}\left( t \right) + {\xi _2}{N_2}\left( t \right) + {\xi _3}{N_3}\left( t \right) = 0 $

整理有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{x_2}{\xi _1} + {x_6}{\xi _2} + {x_{10}}{\xi _3}} \right){T_0}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_3}{\xi _1} + {x_7}{\xi _2}} \right){T_1}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_4}{\xi _1} + {x_8}{\xi _2}} \right){T_2}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_1}{\xi _0} + {x_5}{\xi _1} + {x_9}{\xi _2}} \right){T_3}\left( t \right) = 0} \end{array} $

因为{$T_0$$(t)$, $T_1$$(t)$, $T_2$$(t)$, $T_3(t)$}线性无关，所以

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_2}{\xi _1} + {x_6}{\xi _2} + {x_{10}}{\xi _3} = 0\\ {x_3}{\xi _1} + {x_7}{\xi _2} = 0\\ {x_4}{\xi _1} + {x_8}{\xi _2} = 0\\ {x_1}{\xi _0} + {x_5}{\xi _1} + {x_9}{\xi _2} = 0 \end{array} \right. $

相应系数行列式有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| \mathit{\boldsymbol{D}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{x_2}}&{{x_6}}&{{x_{10}}}\\ 0&{{x_3}}&{{x_7}}&0\\ 0&{{x_4}}&{{x_8}}&0\\ {{x_1}}&{{x_5}}&{{x_9}}&0 \end{array}} \right| = - {x_1}{x_{10}}\left( {{x_3}{x_8} - {x_4}{x_7}} \right) = }\\ {{x_1}{x_{10}}\frac{{4{{\left( {1 + \alpha } \right)}^2}{{\left( {1 + \beta } \right)}^2} - {{\left( {2 + \alpha + \beta } \right)}^2}}}{{{\psi ^2}}} = {x_1}{x_{10}} \cdot }\\ {\frac{{\left( {2\alpha \beta + \alpha + \beta } \right) \cdot \left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right) + 2 + \alpha + \beta } \right]}}{{{\psi ^2}}} > 0} \end{array} $

因此{$N_0$$(t)$, $N_1$$(t)$, $N_2$$(t)$, $N_3$$(t)$}线性无关。

定理4  全正性。对任意$\alpha, \beta $∈(0, 1]，$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，($N_0$$(t)$, $N_1$$(t)$, $N_2$$(t)$, $N_3$$(t)$)构成函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$中的一组规范全正基。

证明：对任意的$\alpha, \beta $∈(0, 1]，对任意$t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]，容易验证

$ \left( {{N_0},{N_1},{N_2},{N_3}} \right) = \left( {{T_3},{T_2},{T_1},{T_0}} \right)\mathit{\boldsymbol{H}} $

其中转换矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_5}}&{{x_9}}&0\\ 0&{{x_4}}&{{x_8}}&0\\ 0&{{x_3}}&{{x_7}}&0\\ 0&{{x_2}}&{{x_6}}&{{x_{10}}} \end{array}} \right] $

由定理2可知，($T_0$, $T_1$, $T_2,\ T_3$)为函数空间$\mathit{\boldsymbol{T}}_{\alpha, \beta }$的B基。因此，根据文献[20]，($N_0$, $N_1$, $N_2$, $N_3$)为函数空间的一组规范全正基的必要条件是$\mathit{\boldsymbol{H}}$为奇异随机全正矩阵。显然$\mathit{\boldsymbol{H}}$中的每个元$x_i$ > 0($i$=1, 2, …, 10)。另外，由引理1易知$\mathit{\boldsymbol{H}}$中的各行和为1，所以$\mathit{\boldsymbol{H}}$为随机矩阵。直接计算可得

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_5}}&{{x_9}}\\ {{x_4}}&{{x_8}} \end{array}} \right| = {x_8} \cdot {x_5} - {x_9} \cdot {x_4} = \\ \frac{{2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)}}{\psi }\frac{{1 + \alpha }}{\psi } > 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_5}}&{{x_9}}\\ {{x_3}}&{{x_7}} \end{array}} \right| = {x_7} \cdot {x_5} - {x_9} \cdot {x_3} = \frac{{{{\left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)} \right]}^2}}}{{{\psi ^2}}} - \\ \frac{{1 + \beta }}{\psi } \cdot \frac{{2 + \alpha + \beta }}{\psi } = \\ \left[ \begin{array}{l} \frac{{4{\alpha ^2}{\beta ^2} + 8{\alpha ^2}\beta + 4{\alpha ^2} + 8\alpha {\beta ^2}}}{{{\psi ^2}}} + \\ \frac{{15\alpha \beta + 7\alpha + 3{\beta ^2} + 5\beta + 2}}{{{\psi ^2}}} \end{array} \right] > 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_5}}&{{x_9}}\\ {{x_2}}&{{x_6}} \end{array}} \right| = {x_6} \cdot {x_5} - {x_9} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)} \right]}^2}}}{{{\psi ^2}}} - \\ \frac{{1 + \alpha }}{\psi } \cdot \frac{{1 + \beta }}{\psi } = \\ \frac{{\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)\left[ {4\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right) - 1} \right]}}{{{\psi ^2}}} > 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_4}}&{{x_8}}\\ {{x_3}}&{{x_7}} \end{array}} \right| = {x_4} \cdot {x_7} - {x_3} \cdot {x_8} = \\ \frac{{{{\left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)} \right]}^2}}}{{{\psi ^2}}} - \frac{{{{\left[ {2 + \alpha + \beta } \right]}^2}}}{{{\psi ^2}}} = \\ \frac{{\left( {2\alpha \beta + \alpha + \beta } \right)\left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right) + 2 + \alpha + \beta } \right]}}{{{\psi ^2}}} > 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_4}}&{{x_8}}\\ {{x_2}}&{{x_6}} \end{array}} \right| = {x_4} \cdot {x_6} - {x_2} \cdot {x_8} = \\ \frac{{{{\left[ {2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)} \right]}^2}}}{{{\psi ^2}}} - \frac{{\left( {2 + \alpha + \beta } \right)\left( {1 + \alpha } \right)}}{{{\psi ^2}}} = \\ \left[ \begin{array}{l} \frac{{4{\alpha ^2}{\beta ^2} + 8{\alpha ^2}\beta + 4{\alpha ^2} + 8\alpha {\beta ^2}}}{{{\psi ^2}}} + \\ \frac{{16\alpha \beta + 8\alpha + 4{\beta ^2} + 8\beta + 2}}{{{\psi ^2}}} \end{array} \right] > 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3}}&{{x_7}}\\ {{x_2}}&{{x_6}} \end{array}} \right| = {x_3} \cdot {x_6} - {x_2} \cdot {x_7} = \frac{{2\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \beta } \right)}}{\psi } \cdot \\ \left( {\frac{{2 + \alpha + \beta }}{\psi } - \frac{{1 + \alpha }}{\psi }} \right) = \frac{{2\left( {1 + \alpha } \right){{\left( {1 + \beta } \right)}^2}}}{{{\psi ^2}}} > 0 \end{array} $

据此容易验证$\mathit{\boldsymbol{H}}$的子行列式均大于0。故$\mathit{\boldsymbol{H}}$为非奇异全正矩阵。证毕。

定理5  连续性。对于均匀节点向量$\mathit{\boldsymbol{U}} = [{u_0}, {u_1}, {u_2}, \cdots, {u_{n + 4}}]$，当$\alpha, \beta $∈[0, 1]时，拟三次均匀B样条基$B_i$$(u)$在所有节点上具有 ${{\rm{C}}^{2n - 1}}$($n$=1, 2, 3, …)连续。

证明：不失一般性，考虑拟三次均匀TC-B样条基$B_i$$(u)$在节点 ${u_{i + 1}}$上的连续性。而当$u_{i + 1}^ - = (1 - 2t/\mathsf{ π} ){u_{i + 1}} + 2t/\mathsf{ π} {u_{i + 2}}$时，局部参数有$t$=0，当$u_{i + 1}^ + = (1 - 2t/\mathsf{ π} ){u_i} + 2t/\mathsf{ π} {u_{i + 1}}$时，局部参数$t$=$\mathsf{ π}$/2，因此要想证明拟三次均匀B样条基$B_i$$(u)$在每一个节点处具有${{\rm{C}}^{2n - 1}}$($n$=1, 2, 3, …)连续，只需证明$N_i^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = N_{i + 1}^{(2n - 1)}\left( 0 \right)\left( {i = 0, 1, 2} \right)$和$N_3^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = N_0^{(2n - 1)}\left( 0 \right)$即可。在证明拟三次均匀TC-B样条基$B_i$$(u)$在每一个节点处具有${{\rm{C}}^{2n - 1}}$连续之前，先利用数学归纳法证明式(3)的B基的$2n-1$($n$=1, 2, 3, …)阶导数具有形式

$ \left\{ \begin{array}{l} T_0^{\left( {2n - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( {1 + \alpha } \right)\cos t + {2^{2n - 2}}\alpha \sin 2t} \right]\\ T_1^{\left( {2n - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {1 + \alpha } \right)\left( { - \cos t + {2^{2n - 2}}\sin 2t} \right)\\ T_2^{\left( {2n - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {1 + \beta } \right)\left( {\sin t - {2^{2n - 2}}\sin 2t} \right)\\ T_3^{\left( {2n - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ { - \left( {\beta + 1} \right)\sin t + {2^{2n - 2}}\beta \sin 2t} \right] \end{array} \right. $

1) 当$n$=1时，式(3)对应B基的一阶导数为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{T'}_0} = - \left( {1 + \alpha } \right)\cos t - \alpha \sin 2t\\ {{T'}_1} = \left( {1 + \alpha } \right)\left( {\cos t - \sin 2t} \right)\\ {{T'}_2} = \left( {1 + \beta } \right)\left( { - \sin t + \sin 2t} \right)\\ {{T'}_3} = \left( {1 + \beta } \right)\sin t - \beta \sin 2t \end{array} \right. $

显然成立。

2) 假设当$n=k$时成立，即式(3)对应B基的$2k-1$阶导数为

$ \left\{ \begin{array}{l} T_0^{\left( {2k - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^k}\left[ {\left( {1 + \alpha } \right)\cos t + {2^{2k - 2}}\alpha \sin 2t} \right]\\ T_1^{\left( {2k - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^k}\left( {1 + \alpha } \right)\left( { - \cos t + {2^{2k - 2}}\sin 2t} \right)\\ T_2^{\left( {2k - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^k}\left( {1 + \beta } \right)\left( {\sin t - {2^{2k - 2}}\sin 2t} \right)\\ T_3^{\left( {2k - 1} \right)} = {\left( { - 1} \right)^k}\left[ { - \left( {\beta + 1} \right)\sin t + {2^{2k - 2}}\beta \sin 2t} \right] \end{array} \right. $

对式(3)对应B基的$2k-1$阶导数再连续地进行两次求导，经过简单的运算有

$ \left\{ \begin{array}{l} {\left[ {T_0^{\left( {2k - 1} \right)}} \right]^{\prime \prime }} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\left[ {\left( {1 + \alpha } \right)\cos t + } \right.\\ \left. {{2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}}\alpha \sin 2t} \right] = T_0^{\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)}\\ {\left[ {T_1^{\left( {2k - 1} \right)}} \right]^{\prime \prime }} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\left( {1 + \alpha } \right) \cdot \\ \left( { - \cos t + {2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}}\sin 2t} \right) = T_1^{\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)}\\ {\left[ {T_2^{\left( {2k - 1} \right)}} \right]^{\prime \prime }} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\left( {1 + \beta } \right) \cdot \\ \left( {\sin t - {2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}}\sin 2t} \right) = T_2^{\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)}\\ {\left[ {T_3^{\left( {2k - 1} \right)}} \right]^{\prime \prime }} = {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\left[ { - \left( {\beta + 1} \right)\sin t + } \right.\\ \left. {{2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}}\beta \sin 2t} \right] = T_3^{\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)} \end{array} \right. $

显然对$n=k+1$时也成立。结论得证。下面再证明拟三次均匀TC-B样条基$B_i$$(u)$在每一个节点处具有${{\rm{C}}^{2n - 1}}$连续。

$ \begin{array}{l} N_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = {x_1}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \\ {\left( { - 1} \right)^n}\left[ { - \left( {\beta + 1} \right)} \right]\frac{{1 + \alpha }}{\psi } \end{array} $

$ \begin{array}{l} N_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = {x_2}T_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + {x_3}T_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + \\ {x_4}T_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + {x_5}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = \\ {\left( { - 1} \right)^n}\left[ { - \left( {1 + \beta } \right)} \right]\frac{{1 + \alpha }}{\psi } \end{array} $

$ \begin{array}{l} N_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = {x_2}T_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {x_3}T_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + \\ {x_4}T_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {x_5}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} N_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = {x_6}T_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + {x_7}T_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + \\ {x_8}T_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) + {x_9}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = 0 \end{array} $

$ \begin{array}{l} N_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \\ {x_6}T_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {x_7}T_1^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + \\ {x_8}T_2^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {x_9}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = \\ {\left( { - 1} \right)^n}\left( {1 + \alpha } \right)\frac{{1 + \beta }}{\psi } \end{array} $

$ \begin{array}{l} N_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = {x_{10}}T_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = 0\\ N_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = {x_1}T_3^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = 0 \end{array} $

显然有 $N_i^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = N_{i + 1}^{(2n - 1)}\left( 0 \right)\left( {i = 0, 1, 2} \right)$和$N_3^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = N_{0}^{(2n - 1)}\left( 0 \right)$。证毕。

定义3  给定控制顶点 ${P_i} \in {{\bf{R}}^2}$, $i$=0, 1, 2, 3, …, $n$，均匀节点向量$\mathit{\boldsymbol{U}} = [{u_0}, {u_1}, \cdots, {u_{n + 4}}]$，参数$\alpha, \beta $∈[0, 1]，可以定义一条分段曲线

$ Q\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{P_i}{B_i}\left( u \right)} ,u \in \left[ {{u_3},{u_{n + 1}}} \right] $

式中，$B_i$$(u)$($i=0, 1, 2, \cdots , n$)由式(6)给出。曲线$Q(u)$定义在区间$u \in \left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right] \subset \left[{{u_3}, {u_{n + 1}}} \right]$上的那一段可以表示成$q(u)$$\sum\limits_{j = i - 3}^i {{B_j}\left( u \right){P_j}} $，也可以用局部参数表示成

$ {R_i}\left( t \right) = Q\left( {u\left( t \right)} \right) = \sum\limits_{k = 0}^3 {{P_{i - k}}{N_k}\left( t \right)} $

(10)

式中，$u=u(t)$=$(1 - 2t/\mathsf{ π} ){u_i} + 2t/\mathsf{ π} {u_{i + 1}}$；$t = \frac{\mathsf{ π} }{2} \cdot \frac{{u - {u_i}}}{h} \in \left[{0, \mathsf{ π} /2} \right]$, $i = 3, 4, 5, \cdots, n$；$h>0$为节点区间长度；基函数$N_k$$(t)$($k$=0, 1, 2, 3)由式(5)给出。称$Q(u)$为拟三次均匀TC-B样条曲线，$R_i$$(t)$为拟三次均匀TC-B样条曲线段。

由拟三次均匀TC-B样条基的性质，可以得到拟三次均匀TC-B样条曲线具有几何不变性与仿射不变性、拟对称性、端点性质以及凸包性，由拟三次均匀TC-B样条基的全正基又可推出拟三次均匀TC-B样条曲线具有变差缩减性，进而又可推出曲线具有保凸性。这说明曲线$Q(u)$适用于曲线设计。

与传统B样条方法相同，拟三次均匀TC-B样条曲线也具有局部调整性质，在不改变控制顶点的情况下，可以通过改变参数值对拟三次均匀TC-B样条曲线进行局部调整。为了方便讨论将式(10)写成

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_i}\left( t \right) = }\\ {\left( {{x_2}{P_{i - 1}} + {x_6}{P_{i - 2}} + {x_{10}}{P_{i - 3}}} \right){T_0}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_3}{P_{i - 1}} + {x_7}{P_{i - 2}}} \right){T_1}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_4}{P_{i - 1}} + {x_8}{P_{i - 8}}} \right){T_2}\left( t \right) + }\\ {\left( {{x_1}{P_i} + {x_5}{P_{i - 1}} + {x_9}{P_{i - 2}}} \right){T_3}\left( t \right)} \end{array} $

(11)

故可知，若改变节点区间$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]$上的参数$\alpha $将影响区间为$\left[{{u_{i-2}}, {u_{i + 2}}} \right]$的4段曲线形状，而形状参数$\beta $影响区间为$\left[{{u_{i-1}}, {u_{i + 3}}} \right]$的4段曲线形状。进一步可以根据式(11)来估计拟三次均匀TC-B样条曲线$R_i$$(u)$随着形状参数的改变曲线形状变化的趋势。随着参数$\alpha $和$\beta $的增加，控制点$P_{i-3}$和$P_i$的系数减小而控制点$P_{i-2}$, $P_{i-1}$的系数增大。从而，随着参数$\alpha $和$\beta $的增加，曲线$R_i$$(u)$趋向边$P_{i-2}$$P_{i-1}$。图 3给出了在控制顶点相同时参数$\alpha, \beta $对曲线的影响效果。

相较于传统B样条曲线，拟三次均匀TC-B样条曲线具有更好的连续性，根据定理5可推出以下的连续性质。

定理6  对均匀节点向量$\mathit{\boldsymbol{U}}$，当$\alpha, \beta $∈[0, 1]，拟三次均匀TC-B样条曲线$Q(u)$在每个节点处不仅具有${{\rm{C}}^1 }$, ${{\rm{C}}^2 }$连续，而且具有${\rm{C}}^{2n-1}$($n$=1, 2, 3, …)连续。

证明：不失一般性，只考虑拟三次均匀TC-B样条曲线在节点${u_{i + 1}}$上的连续性。由曲线的定义可知，$Q(u)$在区间$\left[{{u_{i+1}}, {u_{i + 2}}} \right]$和区间$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]$的曲线段可分别表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q\left( u \right) = {R_{i + 1}}\left( t \right) = {P_{i + 1}}{N_0}\left( t \right) + {P_i}{N_1}\left( t \right) + }\\ {{P_{i - 1}}{N_2}\left( t \right) + {P_{i - 2}}{N_3}\left( t \right),u \in \left[ {{u_{i + 1}},{u_{i + 2}}} \right]}\\ {Q\left( u \right) = {R_i}\left( t \right) = {P_i}{N_0}\left( t \right) + {P_{i - 1}}{N_1}\left( t \right) + }\\ {{P_{i - 2}}{N_2}\left( t \right) + {P_{i - 3}}{N_3}\left( t \right),u \in \left[ {{u_i},{u_{i + 1}}} \right]} \end{array} $

(12)

所以

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q\left( {u_{i + 1}^ - } \right) = {R_{i + 1}}\left( 0 \right) = }\\ {{P_{i + 1}}{N_0}\left( 0 \right) + {P_i}{N_1}\left( 0 \right) + {P_{i - 1}}{N_2}\left( 0 \right) + {P_{i - 2}}{N_3}\left( 0 \right)}\\ {Q\left( {u_{i + 1}^ + } \right) = {R_i}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) = }\\ {{P_i}{N_0}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {P_{i - 1}}{N_1}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + }\\ {{P_{i - 2}}{N_2}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right) + {P_{i - 3}}{N_3}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} \right)} \end{array} $

由定理5知道$N_i^{\left( {2n - 1} \right)}(\mathsf{ π} /2) = N_{i + 1}^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right)\left( {i = 0, 1, 2} \right) $和$N_3^{\left( {2n - 1} \right)}(\mathsf{ π} /2) = N_0^{\left( {2n - 1} \right)}\left( 0 \right) = 0$，所以有${Q^{\left( {2n - 1} \right)}}(u_{i + 1}^ - ) = {Q^{\left( {2n - 1} \right)}}(u_{i + 1}^ + )$($n$=1, 2, 3, …)，所以拟三次均匀TC-B样条曲线具有${{\rm{C}}^{2n - 1}}$连续，当$n$=1时可知曲线也具有${{\rm{C}}^1 }$连续。而由引理1和式(12)知道，在节点${u_{i + 1}}$处拟三次均匀TC-B样条曲线具有${{\rm{C}}^2 }$连续。证毕。

案例1  整圆的精确表示

拟三次均匀TC-B样条曲线也可精确地表示圆锥曲线，但与文献[32]中方法不同的是，它不需通过图像拼接或对称变换就可以一次生成整圆。当$\alpha $=$\beta $=1，$a=b$时，由控制顶点${P_0} = \left( {X, Y + a} \right)$，${P_1} = \left( {X + a, Y} \right) $，${P_2} = \left( {X, Y - a} \right)$，${P_3} = \left( {X - a, Y} \right)$，${P_4} = {P_0}, {P_5} = {P_1}, {P_6} = {P_2}$，确定的拟三次均匀TC-B样条曲线可表示整圆，如图 4所示。

案例2  旋转体的生成

图 5(a)(c)分别给出了在给定控制多边形的情况下，不同参数生成的花瓶旋转曲面的母线，其中图 5(a)的参数为$\alpha $=$\beta $=0，图 5(c)的参数为$\alpha $=$\beta $=1。而图 5(b)(d)分别是图 5(a)(c)绕$y$轴生成的旋转曲面，其中$\theta $∈[0, $\mathsf{ π}$/2]。不难发现，在控制顶点确定的情况下，通过调整参数，拟三次均匀TC-B样条曲线可以生成具有不同轮廓的花瓶旋转曲面。

定义4  给定控制顶点 ${P_{i, j}} \in {{\bf{R}}^3}\left( {i = 0, 1, \cdots, m;j = 0, 1, \cdots, n} \right)$，两组节点向量$\mathit{\boldsymbol{U = }}\left[{{u_0}, {u_1}, \cdots, {u_{n + 4}}} \right]$，$\mathit{\boldsymbol{V}} = \left[{{v_0}, {v_1}, \cdots, {v_{n + 4}}} \right]$，参数$\alpha_1 $, $\alpha_2 $, $\beta_1 $, $\beta_2 $，可以定义一张拟三次均匀TC-B样条曲面

$ \begin{array}{*{20}{c}} {Q\left( {u,v} \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^m {\sum\limits_{j = 0}^n {{P_{i,j}}{B_i}\left( {u;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){B_j}\left( {v;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } } \end{array} $

(13)

式中，参数$u \in \left[{{u_3}, {u_{m + 1}}} \right]$，$\mathit{v} \in \left[{{v_3}, {v_{n + 1}}} \right]$；$B_i$($u$; $\alpha_1 $, $\beta_1 $)和 ${B_j}$($v$; $\alpha_2 $, $\beta_2 $)为由式(9)给出的带参数$\alpha_1 $, $\beta_1 $和$\alpha_2 $, $\beta_2 $的分段形式的拟三次均匀TC-B样条基。而定义在子矩形域$u \in \left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right] \subset \left[{{u_3}, {u_{m + 1}}} \right]$, $v \in \left[{{v_j}, {v_{j + 1}}} \right] \subset \left[{{v_3}, {v_{n + 1}}} \right]$上的子曲面片可以表示为

$ q\left( {u,v} \right) = \sum\limits_{k = i - 3}^i {\sum\limits_{l = j - 3}^j {{P_{k,l}}{B_k}\left( {u,{\alpha _1},{\beta _1}} \right){B_l}\left( {v,{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } $

也可以用局部参数表示成

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_{ij}}\left( {s,t} \right) = q\left( {u\left( s \right),v\left( t \right)} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k,j - l}}{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } } \end{array} $

式中

$u = u\left( s \right) = \left( {1 - \frac{2}{\mathsf{ π} }s} \right){u_i} + \frac{2}{\mathsf{ π} } s{u_{i + 1}}$; $s = \frac{\mathsf{ π} }{2}\cdot\frac{{u - {u_i}}}{{{h_u}}} \in \left[{0, \frac{\mathsf{ π} }{2}} \right];i = 3, 4, \cdots, m$; ${h_u} > 0$为$u$向的节点区间长度；$v = v\left( t \right) = \left( {1 - \frac{2}{\mathsf{ π} }t} \right){v_i} + \frac{2}{\mathsf{ π} }t{v_{i + 1}}$；$t = \frac{\mathsf{ π} }{2}\cdot\frac{{u - {u_j}}}{{{h_v}}} \in \left[{0, \frac{\mathsf{ π} }{2}} \right];$${\rm{ }}j = 3, 4, \cdots, n;{h_v} > 0$为$v$向的节点区间长度；$N_k$, $N_l$为由式(9)给出的带参数$\alpha_1 $, $\alpha_2 $和$\beta_1 $, $\beta_2 $的拟三次均匀TC-B样条基。称$q(u, v$)为拟三次均匀TC-B样条曲面，${R_{ij}}\left( {s, t} \right)$为拟三次均匀TC-B样条曲面片。

定理7  拟三次均匀TC-B样条曲面片的基{$N_k$($s$; $\alpha_1 $, $\beta_1 $)$N_l$($t$; $\alpha_2 $, $\beta_2 $)}$k$, $l$=0, 1, 2, 3具有非负性、规范性和线性无关性。

证明：对于曲面片非负性可由$N_k$($s$; $\alpha_1 $, $\beta_1 $)≥0，$N_l$($t$; $\alpha_2 $, $\beta_2 $)≥0得到证明；

对于规范性可由式(14)得到证明

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right)} \sum\limits_{l = 0}^3 {{N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right)} = 1} \end{array} $

(14)

对于线性无关性，考虑对任意${\xi _{kl}} \in R\left( {k, l = 0, 1, 2, 3} \right)$, $s, t \in \left[{0, \mathsf{ π} /2} \right]$，有

$ \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{\xi _{kl}}{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } = 0 $

整理有

$ \sum\limits_{k = 0}^3 {{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right)} \sum\limits_{l = 3}^3 {{\xi _{kl}}{N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} = 0 $

而$N_k$($s$; $\alpha_1 $, $\beta_1 $)($k$=0, 1, 2, 3)具有线性无关性，所以有

$ \sum\limits_{l = 0}^3 {{\xi _{kl}}{N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} = 0\left( {k = 0,1,2,3} \right) $

所以$ {\xi _{kl}} \in 0\left( {k, l = 0, 1, 2, 3} \right)$，可证。

除了变差缩减性以外，拟三次均匀TC-B样条曲线的性质均可以推广到拟三次均匀TC-B样条曲面上，如仿射不变性、规范性、凸包性以及局部控制性等，传统B样条曲面也含有该类性质，且这些性质容易证明，限于篇幅这里就不再赘述，下面证明拟三次均匀TC-B样条曲面特有的高阶连续性，即具有${\rm{C}}^{2n-1}$阶连续。

定理8  对均匀节点向量$\mathit{\boldsymbol{U}} = \left[{{u_0}, {u_1}, \cdots, {u_{m + 4}}} \right], $ $\mathit{\boldsymbol{V}}\left[{{v_0}, {v_1}, \cdots \ldots, {v_{n + 4}}} \right]$，当$\alpha_1 $, $\beta_1 $, $\alpha_2 $, $\beta_2 $∈[0, 1]，拟三次均匀TC-B样条曲面$Q(u, v)$关于$u$和$v$方向均不仅具有${{\rm{C}}^1}$, ${{\rm{C}}^2}$连续，而且具有${\rm{C}}^{2n-1}$($n$=1, 2, 3, …)连续。

证明：首先证明$u$方向的连续性。在非节点处性质显然成立，下面考虑在节点处的连续性。不失一般性，考虑曲面在过节点${u_{i + 1}}$的曲线段$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$上的$u$方向的连续性。由曲面的定义可知，定义在区域 $\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]$×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$和 $\left[{{u_{i + 1}}, {u_{i + 2}}} \right] $×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$上的曲面片分别为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_{ij}}\left( {s,t} \right) = q\left( {u\left( s \right),v\left( t \right)} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k,j - l}}{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } }\\ {\left( {u,v} \right) \subset \left[ {{u_i},{u_{i + 1}}} \right] \times \left[ {{v_i},{v_{i + 1}}} \right]} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_{i + 1,j}}\left( {s,t} \right) = q\left( {u\left( s \right),v\left( t \right)} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k + 1,j - l}}{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } }\\ {\left( {u,v} \right) \subset \left[ {{u_{i + 1}},{u_{i + 2}}} \right] \times \left[ {{v_i},{v_{i + 1}}} \right]} \end{array} $

所以

$ \begin{array}{l} q\left( {u_{i + 1}^ + ,v\left( t \right)} \right) = {R_{ij}}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} /2}},t} \right) = \\ \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k,j - l}}{N_k}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} /2}};{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } \end{array} $

$ \begin{array}{l} q\left( {u_{i + 1}^ - ,v\left( t \right)} \right) = {R_{i + 1,j}}\left( {{\rm{0}},t} \right) = \\ \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k + 1,j - l}}{N_k}\left( {s;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } \end{array} $

$ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^{2n - 1}}}}{{\partial {s^{2n - 1}}}}{R_{ij}}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2,t} \right) = \\ \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k,j - l}}{N_k}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2;{\alpha _1},{\beta _1}} \right)N_l^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } \end{array} $

$ \begin{array}{l} \frac{{{\partial ^{2n - 1}}}}{{\partial {s^{2n - 1}}}}{R_{i + 1,,j}}\left( {0,t} \right) = \\ \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k + 1,j - l}}{N_k}\left( {0;{\alpha _1},{\beta _1}} \right)N_l^{\left( {2n - 1} \right)}\left( {t;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } \end{array} $

而由定理5的结论 $N_i^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = N_{i + 1}^{(2n - 1)}\left( 0 \right)$($i$=0, 1, 2)和$N_3^{(2n - 1)}(\mathsf{ π} /2) = _0^{(2n - 1)}\left( 0 \right)$，经过简单的计算可得出$\frac{{{\partial ^{2n - 1}}}}{{\partial {t^{2n - 1}}}}{R_{ij}}(\mathsf{ π} /2, t) = \frac{{{\partial ^{2n - 1}}}}{{\partial {t^{2n - 1}}}}{R_{i + 1, , j}}(0, t)$，所以定义在区域$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]$×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$和$\left[{{u_{i + 1}}, {u_{i + 2}}} \right] $×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$上的曲面片 ${R_{ij}}\left( {s, t} \right) $和 ${R_{i + 1, j}}\left( {s, t} \right)$在$u$方向上具有${\rm{C}}^{2n-1}$($n$=1, 2, 3, …)连续，进而当n=1时具有${{\rm{C}}^1}$连续。对${R_{ij}}\left( {s, t} \right) $和${R_{i + 1, j}}\left( {s, t} \right)$求二阶偏导数有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}{R_{ij}}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2,t} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k,j - l}}{N_k}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){{N''}_i}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}/2;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } } \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}{R_{i + 1,,j}}\left( {0,t} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {{P_{i - k + 1,j - l}}{N_k}\left( {0;{\alpha _1},{\beta _1}} \right){{N''}_i}\left( {0;{\alpha _2},{\beta _2}} \right)} } } \end{array} $

根据引理1有 ${N''_i}(\mathsf{ π} /2) = {N''_{i + 1}}\left( 0 \right) $($i$=0, 1, 2)，${N''_3}(\mathsf{ π} /2) = {N''_0}\left( 0 \right)$，所以在区域$\left[{{u_i}, {u_{i + 1}}} \right]$×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$和$\left[{{u_{i + 1}}, {u_{i + 2}}} \right] $×$\left[{{v_i}, {v_{i + 1}}} \right]$上的曲面片${R_{ij}}\left( {s, t} \right) $和${R_{i + 1, j}}\left( {s, t} \right)$也具有${{\rm{C}}^2}$连续。进而可知TC-B样条曲面$Q(u, v)$关于$u$方向均有${{\rm{C}}^1 }$, ${{\rm{C}}^2 }$连续，而且具有${\rm{C}}^{2n-1}$($n$=1, 2, 3, …)连续。曲面关于$v$方向的连续性也可以类似的讨论，这里不再赘述。证毕。

案例3  椭球面和球面的精确表示

拟三次均匀TC-B样条曲面可精确表示椭球面和球面。

设${P_{k, l}}\left( {k, l = 0, 1, 2, 3} \right)$，则由式(13)有

$ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {s,t} \right) = \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 3}^3 {{N_k}\left( {{s_{k,l}};{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {{t_{k,l}};{\alpha _2},{\beta _2}} \right){x_{k,l}}} } \\ y\left( {s,t} \right) = \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 3}^3 {{N_k}\left( {{s_{k,l}};{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {{t_{k,l}};{\alpha _2},{\beta _2}} \right){y_{k,l}}} } \\ z\left( {s,t} \right) = \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 3}^3 {{N_k}\left( {{s_{k,l}};{\alpha _1},{\beta _1}} \right){N_l}\left( {{t_{k,l}};{\alpha _2},{\beta _2}} \right){z_{k,l}}} } \end{array} \right. $

而椭球面的参数方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} x\left( {s,t} \right) = X + a\sin \left( s \right)\sin \left( t \right)\\ y\left( {s,t} \right) = Y + b\sin \left( s \right)\cos \left( t \right)\\ z\left( {s,t} \right) = Z + c\cos \left( s \right) \end{array} \right. $

当给定控制顶点$\alpha_1 $=$\alpha_2 $=$\beta_1 $=$\beta_2 $=0时，取控制顶点

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}&{{P_4}}\\ {{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}\\ {{P_3}}&{{P_4}}&{{P_1}}&{{P_2}}\\ {{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}} \end{array}} \right) $

式中，${P_1} = \left( {X, Y + b, Z} \right)$，${P_2} = \left( {X-a, Y, Z} \right)$，${P_3} = \left( {X, Y-b, Z} \right)$，${P_4} = \left( {X + a, Y, Z} \right)$，${P_5} = \left( {X, Y, Z + c} \right)$，${P_6} = \left( {X, Y, Z-c} \right)$；有$a, b, c$≠0，其中$s, t$∈[0, $\mathsf{ π}$/2]。若增加控制顶点到

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}&{{P_4}}&{{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}\\ {{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}&{{P_5}}\\ {{P_3}}&{{P_4}}&{{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}&{{P_4}}&{{P_1}}\\ {{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}&{{P_6}}\\ {{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}}&{{P_4}}&{{P_1}}&{{P_2}}&{{P_3}} \end{array}} \right) $

可以表示一个完整的椭球面；当$a=b=c$时可表示为一个完整的球面。图 6给出拟三次均匀TC-B样条曲面表示四分之一球面的情形。

案例4  旋转曲面的直接生成

设

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{i0}}\left( {{x_i},0,z} \right),{P_{i1}}\left( {0, - {x_i},{z_i}} \right)}\\ {{P_{i2}}\left( { - {x_i},0,{z_i}} \right),{P_{i3}}\left( {0,{x_i},{z_i}} \right)}\\ {{P_{i4}} = {P_{i0}},{P_{i5}} = {P_{i1}},{P_{i6}} = {P_{i2}}}\\ {\left( {i = 0,1,2, \cdots ,6} \right)} \end{array} $

式中，$P_{i0}$($i$=0, 1, 2, …, 6)可生成一条3维空间$yz$平面上与案例2中形状相同的控制多边形，则在上述控制顶点下，拟三次均匀TC-B样条曲面可以直接生成与图 5中相同的旋转曲面，其中图 7(a)对应图 5(b)，图 7(b)对应图 5(d)。

传统文献对Bézier方法和B样条方法改进时，只关注于能否增加曲线灵活度以及是否能够逼近或精确表示某一类曲线、曲面，因而构造的曲线、曲面只保留了Bézier方法和B样条方法的一些基本性质，如凸包性、仿射不变性、对称性等，像变差缩减性、全正性、保形性等重要性质往往被忽略。鉴于传统改进方法的该类问题，本文从适合造型设计的保形性上出发，构造了一组最优规范全正基，并设计出具有高阶连续性的曲线曲面。另外还给出了大量的曲线曲面应用案例，这进一步说明了本文构造方法的适用性。为了设计出更加符合实际需求的造型，需要对曲线曲面的形状进行详细讨论，如尖点、拐点、重结点、凸性等，限于篇幅将另文叙述。