人脸识别在生话中的很多领域都有着广泛的应用价值，对人脸识别方面的研究一直是图像识别的研究的热点。正常情况下，经典的人脸识别算法(主成分分析法、线性判别分析法^[1-2]等)可达到很高的识别要求，但在非约束性条件下，算法性能就大大降低，即光照、表情、姿态等的变化较大时其鲁棒性不强。针对该不足，Wright等人^[3]提出了基于稀疏表示的人脸识别算法(SRC)。但由于训练样本本身存在不确定因素以及噪声信息等，导致测试样本不能被很好地表示。同时，隐藏在训练样本中的具有识别力的信息也容易被忽略。所以，在特定的训练样本上学习字典显得尤为重要。

字典学习^[4]的目的在于从训练样本中学习一个子空间，在该子空间中给定的测试样本可以被很好地表示或编码以进行后期的处理。多位学者提出了应用于人脸图像处理^[5-7]及识别^[8-10]的字典学习方法。如：Aharon等人^[11]提出的KSVD算法，Zhang等人^[12]在KSVD算法的基础上提出的具有识别力的KSVD(DKSVD)算法等。这些算法学习的共享字典丢失了字典原子与类别标签之间的一致性。因此，Jiang等人^[13]提出了把标签信息与字典原子相结合的想法，从而加强了字典的识别力。Yang等人^[14]提出了将Fisher准则加入到字典学习中(FDDL)的算法，该算法不仅将标签信息与字典原子相结合，而且使得编码系数也具有一定的识别力。但是，以上方法只能处理图像清晰以及带有小噪声污染的训练样本，当样本噪声污染过大时，这些算法学习的字典容易受到污染，影响字典的识别力。由于同类的训练样本线性相关，所以表示某一类样本的子字典应该合理低秩化^[15]。Ma等人^[16]将低秩正则化整合到稀疏表示中，在训练样本被污染的情况下取得了不错的结果，但是低秩正则化会造成训练样本中信息的丢失。

本文提出了学习具有识别力的结构化低秩字典算法，所学习的字典可以处理被大噪声污染过的训练样本。该字典中每一个子字典通过低秩化减少训练样本中噪声的影响，从而学习出有识别力的纯字典；编码系数遵循Fisher判别准则保证学习的字典具有更高的识别力；同时加入理想稀疏值 $\mathit{\boldsymbol{Q}}$ 保证对样本进行最优的分类。

给定训练样本$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{Y}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{Y}}_c}} \right] $，其中 $\mathit{\boldsymbol{Y}}$ 包含 $c$ 个不同类别的 $n$ 个样本，$ {\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} \in {\boldsymbol{\rm{R}}^{d \times {n_i}}} $表示第 $i$ 类的样本， $d$ 表示每个样本向量的维数， $n$_$i$表示第 $i$ 类样本的样本个数。每类样本学习一个子字典，最终整合成字典$ \mathit{\boldsymbol{D}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{D}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{D}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{D}}_c}} \right] $，其中 $c$ 表示类别数，$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} = {\boldsymbol{\rm{R}}^{d \times {m_i}}} $表示对第 $i$ 类样本进行学习后得到的子字典， $m$_$i$表示第 $i$ 类子字典的原子个数。

一般而言，训练样本应满足$ \mathit{\boldsymbol{Y}} \approx \mathit{\boldsymbol{DX}} $，其中$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{X}}_c}} \right] $， ${\mathit{\boldsymbol{X}}_i}$ 表示样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 在字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 上的编码系数。FDDL算法模型为

$ {J_{\left( {\mathit{\boldsymbol{D}},\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)}} = \mathop {\arg \min }\limits_{\left( {\mathit{\boldsymbol{D}},\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)} \left( \begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^c {r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i},\mathit{\boldsymbol{D}},{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right)} + \\ {\lambda _1}{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_1} + {\lambda _2}F\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) \end{array} \right) $

(1)

式中，$ r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}, \mathit{\boldsymbol{D}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right) $表示字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 的重建误差项，‖$\mathit{\boldsymbol{X}}$‖₁表示编码系数的 $l$₁正则化项， $F$($\mathit{\boldsymbol{X}}$)表示编码系数的Fisher判别式。

样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 在字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 上对应的编码系数$ \mathit{\boldsymbol{X}}_i^{} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^1, \mathit{\boldsymbol{X}}_i^2, \cdots , \mathit{\boldsymbol{X}}_i^c} \right] $，其中 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j$ 表示样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 在子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_j}$ 上的编码系数。由于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 对应于第 $i$ 类，所以样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 应当能被子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 很好地表示，当 $i$ ≠ $j$ 时，样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 应当不能被子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_j}$ 表示，所以对应于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 的编码系数$ \mathit{\boldsymbol{X}}_i^i $应当足够大，即最小化$ \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|_{\rm{F}}^2 $，对应于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_j}$($j$≠$i$)的编码系数 ${\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j}$ 应当几乎为0，即最小化$ \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^c {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} \right\|_{\rm{F}}^2} $。由于所有类别的样本 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 都可由字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 表示，所以最小化$ \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i} \right\|_{\rm{F}}^2 $。定义$ r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}, \mathit{\boldsymbol{D}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right) $，将其作为具有识别力的重建误差项，并最小化其值。$ r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}, \mathit{\boldsymbol{D}}, {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right) $为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i},\mathit{\boldsymbol{D}},{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right) = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|_{\rm{F}}^2 + }\\ {\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} \right\|_{\rm{F}}^2} + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - \mathit{\boldsymbol{D}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} \end{array} $

(2)

为了使编码系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ 具有识别能力，将Fisher判别式^[17]应用到编码系数中使得类内离散度尽可能小，类间离散度尽可能大。编码系数的类内离散度$ {S_{\rm{w}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) $和类间离散度$ {S_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) $定义为

$ {S_{\rm{w}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^c {\sum\limits_{{\mathit{\boldsymbol{x}}_k} \in {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} {\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_k} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}} \right){{\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_k} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}} } $

(3)

$ {S_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^c {{n_i}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i} - \mathit{\boldsymbol{\bar x}}} \right){{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i} - \mathit{\boldsymbol{\bar x}}} \right)}^{\rm{T}}}} $

(4)

式中，$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i} $是编码系数$ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} $的平均值，$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}} $是编码系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ 的平均值， $n$_$i$是第 $i$ 类的样本数。由前可知在编码系数中引入了Fisher准则，定义 $F$($\mathit{\boldsymbol{X}}$)为

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) = {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{w}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) - {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) + \eta \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{\rm{F}}^2 $

(5)

最小化$ {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{w}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) - {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) $，即保证类内离散度尽可能小，类间离散度尽可能大。同时，$ \eta \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{\rm{F}}^2 $项能够解决$ {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{w}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) - {\rm{tr}}\left( {{S_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right)} \right) $的非凸以及不稳定问题，通常设置 $\eta $ =1。

给定一个 $c$ 类的样本数据$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{Y}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{Y}}_c}} \right] $，其中 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 表示第 $i$ 类的数据， ${\mathit{\boldsymbol{Y}}}$ 中可能包含噪声(如光照、污染等)。训练样本中的噪声信息会破坏字典的识别能力，而FDDL算法只能处理图像清晰或者噪声较小的训练样本。为了解决该问题，本文提出在低秩恢复理论的基础上将低秩正则化引入到字典学习中。

低秩矩阵恢复能够将被污染的矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}}$ 分解为低秩部分 ${\mathit{\boldsymbol{DX}}}$ 和稀疏噪声部分 ${\mathit{\boldsymbol{E}}}$ ，即 $\mathit{\boldsymbol{Y}} = \mathit{\boldsymbol{DX}} + \mathit{\boldsymbol{E}}$ 。对于数据矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}}$ ，其在字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 上的最优表示矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{X}}}$ 应该是块对角阵，即

$ {\mathit{\boldsymbol{X}}^*} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {X_1^*}&0& \cdots &0&0\\ 0&{X_2^*}& \cdots &0&0\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots&\vdots \\ 0&0& \cdots &{X_{c - 1}^*}&0\\ 0&0& \cdots &0&{X_c^*} \end{array}} \right) $

(6)

字典$ \mathit{\boldsymbol{D}}{\rm{ = }}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{D}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{D}}_2}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{D}}_c}} \right] $包含 $c$ 个子字典，每类子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 与类别 $i$ 相对应。系数$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_i} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^1, \mathit{\boldsymbol{X}}_i^2, \cdots , \mathit{\boldsymbol{X}}_i^c} \right] $是数据 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ 在字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 上的稀疏系数，其中系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j$ 对应于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_j}$ 。为了获得低秩和稀疏数据表示，字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 应当具备可识别以及重建的能力，所以在理想情况下，子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 应当为第 $i$ 类数据的专有字典，不同类别图像的表示也应当各不相同。例如：第 $i$ 类的数据应当可以被第 $i$ 类的子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 很好地表示，即$ {\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i + {\mathit{\boldsymbol{E}}_i} $，而子字典$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\left( {j \ne i} \right) $对应的编码系数应当几乎为0。

理想上的系数表示为$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{q}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{q}}_1}, \cdots , {\mathit{\boldsymbol{q}}_L}} \right] \in {\boldsymbol{\rm{R}}^{N \times L}} $，其中 ${\mathit{\boldsymbol{q}}_i}$ 表示对应于样本数据 ${\mathit{\boldsymbol{y}}_i}$ 的编码， $N$ 表示字典的尺寸大小， $L$ 表示样本总数。假设样本数据 ${\mathit{\boldsymbol{y}}_i}$ 属于第 $M$ 类，理想情况下，系数表示 ${\mathit{\boldsymbol{q}}_i}$ 中对应于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_M}$ 的所有系数应当为1或者接近于1，其余均为0或者接近于0。

尽管将数据矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{Y}}}$ 分解为低秩部分 ${\mathit{\boldsymbol{DX}}}$ 和稀疏噪声部分 ${\mathit{\boldsymbol{E}}}$ 不能保证重建误差达到最小限度值，但是低秩和理想稀疏值 ${\mathit{\boldsymbol{Q}}}$ ^[18]相结合能够保证对样本进行最优的分类。

FDDL算法无法处理噪声信息较大的训练样本，所以本文提出一种结构化低秩字典学习的算法。该算法在FDDL算法的基础上将低秩正则化引入到字典学习中，同时为了能够保证对样本的最优分类，引入了理想稀疏值 ${\mathit{\boldsymbol{Q}}}$ 。假设现有样本$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{y}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{y}}_2}, {\mathit{\boldsymbol{y}}_3}, {\mathit{\boldsymbol{y}}_4}} \right] $，其中 ${\mathit{\boldsymbol{y}}_1}$ ， ${\mathit{\boldsymbol{y}}_2}$ 属于第1类， ${\mathit{\boldsymbol{y}}_3}$ 属于第2类， ${\mathit{\boldsymbol{y}}_4}$ 属于第3类，字典$ \mathit{\boldsymbol{D}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{D}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{D}}_2}, {\mathit{\boldsymbol{D}}_3}} \right] $, 其中$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_1} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{d}}_1}, {\mathit{\boldsymbol{d}}_2}} \right], {\mathit{\boldsymbol{D}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{d}}_3}, {\mathit{\boldsymbol{D}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{d}}_4} $，那么样本 $\mathit{\boldsymbol{Y}}$ 在字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 上的理想稀疏系数 $\mathit{\boldsymbol{Q}}$ 为

$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{q}}_1},{\mathit{\boldsymbol{q}}_2},{\mathit{\boldsymbol{q}}_3},{\mathit{\boldsymbol{q}}_4}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $

(7)

但是式(7)只是很理想下的情况，一般与样本所属类别对应的系数为1或者接近于1，其余系数为0或者接近于0即可。

建立字典模型为

$ {J_{\left( {\mathit{\boldsymbol{D}},\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)}} = \arg \min \left( \begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^c {r\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i},\mathit{\boldsymbol{D}},{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right)} + \\ {\lambda _1}{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_1} + {\lambda _2}F\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right) + \\ H\left( {\mathit{\boldsymbol{D}},\mathit{\boldsymbol{X}},\mathit{\boldsymbol{Q}}} \right) \end{array} \right) $

(8)

式中, $r$( ${\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}$ , ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ , ${\mathit{\boldsymbol{X}}_i}$ )表示字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 的重建误差项，‖${\mathit{\boldsymbol{X}}}$‖₁表示编码系数的 $l$₁正则化， $F$(${\mathit{\boldsymbol{X}}}$)表示编码系数的Fisher判别式， $H$(${\mathit{\boldsymbol{D}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{X}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{Q}}}$)是字典低秩化与结构化表示。

定义 $H$(${\mathit{\boldsymbol{D}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{X}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{Q}}}$)为

$ H\left( {\mathit{\boldsymbol{D}},\mathit{\boldsymbol{X}},\mathit{\boldsymbol{Q}}} \right) = \alpha \sum\limits_{i = 1}^c {{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right\|}_*}} + \beta \left\| {\mathit{\boldsymbol{X}} - \mathit{\boldsymbol{Q}}} \right\|_{\rm{F}}^2 $

(9)

由于同一类别的训练样本线性相关且存在于低维子空间中，所以表示某一类样本的子字典应该合理低秩化。字典低秩化能够满足分离出所学习的字典中的噪声信息，从而学习出更加紧凑干净的字典。

在字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 低秩化过程中，由于秩函数的离散特性使得最小化rank(${\mathit{\boldsymbol{D}}}$)成为一个NP难题。为了解决该问题，将求解字典秩函数rank(${\mathit{\boldsymbol{D}}}$)的问题转变成求解字典核范数‖${\mathit{\boldsymbol{D}}}$‖_*(字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 的核范数即为 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}$ 的奇异值之和)的问题。所以为了让所有的子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}_i$ 都能够表示出第 $i$ 类的样本，必须对每个子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}}_i$ 都进行秩优化，即最小化‖${\mathit{\boldsymbol{D}}}_i$‖_*。

训练样本以及学习的字典均加入了标签信息，为了使稀疏表示结构化，提出为训练样本重建一个块对角化的理想稀疏值 ${\mathit{\boldsymbol{Q}}}$ 。在字典学习过程中加入正则化项 $\left\| {\mathit{\boldsymbol{X}} - \mathit{\boldsymbol{Q}}} \right\|_{\rm{F}}^2$ ，从而保证对样本进行最优的分类。

结构化低秩字典学习优化过程主要分为两个部分:

1) 更新编码系数$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , c} \right) $，更新过程中固定字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 和所有的系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_j$($i$≠$j$)，最后将所有更新过的系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i$ ($i$=1, 2, …, $c$)整合成编码系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ ；

2) 更新子字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ ($i$=1, 2, …, $c$)，更新过程中固定 $\mathit{\boldsymbol{D}}_j$ ($j$≠$i$)，由于在更新 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ 的过程中，样本 $\mathit{\boldsymbol{Y}}_i$ 在 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ 上对应的编码系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{i}$ 也同时更新，因此同时固定除系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{i}$ 以外的其余系数。在初始化字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 后，按照此步骤不断地迭代更新系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ 和字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ ，直到满足停止标准后停止更新。最后，在学习低秩结构化字典的基础上对测试样本 $\mathit{\boldsymbol{y}}$ 进行分类。具体步骤如下：

1) 初始化字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ , 训练样本 $\mathit{\boldsymbol{Y}}_i$ 对应的特征向量作为初始化子字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ 的原子；

2) 更新编码系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i$ ($i$=1, 2, …, $c$), 保持字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 和所有的系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_j$ ($j$≠$i$)不变，按类别顺序更新编码系数，将公式(8)简化为系数编码问题, 即

$ {J_{\left( {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right)}} = \arg \mathop {\min }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \left( \begin{array}{l} \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - \mathit{\boldsymbol{D}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \\ \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} \right\|_{\rm{F}}^2} + {\lambda _1}{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i}} \right\|_1} + \\ {\lambda _2}{F_i}\left( {{X_i}} \right) + \beta \left\| {{\mathit{\boldsymbol{X}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{Q}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2 \end{array} \right) $

(10)

式(10)可由IPM^[19]方法求得。

3) 更新子字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ ($i$=1, 2, …, $c$)：保持 $\mathit{\boldsymbol{D}}_j$ ($j$≠$i$)和除系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{i}$ 以外的其余系数 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ 不变，将式(8)简化为子字典问题，即

$ {J_{\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right)}} = \arg \min \left( \begin{array}{l} \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} } \right\|_{\rm{F}}^2 + \\ \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|_{\rm{F}}^2 + \\ \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} \right\|_{\rm{F}}^2} + \alpha {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right\|_*} \end{array} \right) $

(11)

令$S$($\mathit{\boldsymbol{D}}_i$)为

$ S\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right) = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} } \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|_{\rm{F}}^2 $

则式(11)可转换成

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{D}}_i},\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i,{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} {{\left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} \right\|}_1} + \alpha {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right\|}_*} + \gamma {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|}_{2,1}} + \lambda S\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right)}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i + {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \end{array} $

(12)

式(12)根据增广拉格朗日乘子法(ALM)^[20]求得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{D}}_i},{\mathit{\boldsymbol{E}}_i},\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i} {{\left\| \mathit{\boldsymbol{Z}} \right\|}_1} + \alpha {{\left\| \mathit{\boldsymbol{J}} \right\|}_*} + \beta {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|}_{2,1}} + \lambda S\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i}} \right) + }\\ {{\rm{tr}}\left[ {T_1^t\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right)} \right] + }\\ {{\rm{tr}}\left[ {T_2^t\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} - \mathit{\boldsymbol{J}}} \right)} \right] + {\rm{tr}}\left( {T_3^t\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \mathit{\boldsymbol{Z}}} \right)} \right) + }\\ {\frac{\mu }{2}\left( {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i + {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|_{\rm{F}}^2} \right) + }\\ {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} - \mathit{\boldsymbol{J}}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \mathit{\boldsymbol{Z}}} \right\|_{\rm{F}}^2} \end{array} $

(13)

式中， $T$₁， $T$₂和 $T$₃为拉格朗日乘子， $\mu > 0$ 为平衡因子。式(13)的迭代更新过程如下：

输入：初始化字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ ，样本 $\mathit{\boldsymbol{Y}}_i$ ，参数$ \alpha , \beta , \lambda $。

输出： $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ ， $\mathit{\boldsymbol{E}}_i$ ， $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{i}$ 。

初始化： $\mathit{\boldsymbol{J}}$ =0， $\mathit{\boldsymbol{E}}_i$ =0， $T$₁= $T$₂= $T$₃=0， $\mu $ =10^-6， ${\mu _{\max }}$ =10³⁰， $\varepsilon $ =10^-8， $\rho $ =1.1。

(1) 固定其他变量，更新 $\mathit{\boldsymbol{Z}}$

$ \mathit{\boldsymbol{Z}} = \arg \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{Z}} \left\{ {\frac{1}{\mu }{{\left\| \mathit{\boldsymbol{Z}} \right\|}_1} + \frac{1}{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{Z}} - \left( {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i + \frac{{{T_3}}}{\mu }} \right)} \right\|_{\rm{F}}^2} \right\} $

(2) 固定其他变量更新 $\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{i}$

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i = \left( {\mathit{\boldsymbol{D}}_i^t{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} + } \right.}\\ {{{\left. \mathit{\boldsymbol{I}} \right)}^{ - 1}}\left( {\mathit{\boldsymbol{D}}_i^t\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right) + \mathit{\boldsymbol{Z}} + \frac{{\mathit{\boldsymbol{D}}_i^t{T_1} - {T_3}}}{\mu }} \right)} \end{array} $

(3) 固定其他变量更新 $\mathit{\boldsymbol{J}}$ ，同时归一化 $\mathit{\boldsymbol{J}}$ 的每列

$ \mathit{\boldsymbol{J}} = \arg \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{J}} \left\{ {\frac{\alpha }{\mu }{{\left\| \mathit{\boldsymbol{J}} \right\|}_ * } + \frac{1}{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{J}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} + \frac{{{T_2}}}{\mu }} \right)} \right\|_{\rm{F}}^2} \right\} $

(4) 固定其他变量更新 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ ，同时归一化 $\mathit{\boldsymbol{D}}_i$ 的每列

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} = \left\{ {\frac{{2\lambda }}{\mu }\left[ {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it} + \left( {\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^c {{\mathit{\boldsymbol{D}}_j}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^j} } \right)\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it}} \right] + } \right.}\\ {\left. {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it} - {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it} + \mathit{\boldsymbol{J}} + \frac{{{T_1}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it} - {T_2}}}{\mu }} \right\} \times }\\ {{{\left( {2\left( {\frac{\lambda }{\mu } + 1} \right)\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i\mathit{\boldsymbol{X}}_i^{it} + I} \right)}^{ - 1}}} \end{array} $

(5) 固定其他变量更新 $\mathit{\boldsymbol{E}}_i$

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i} = }\\ {\arg \mathop {\min }\limits_{{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \left\{ {\frac{\beta }{\mu }{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|}_{2,1}} + \frac{1}{2}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i + \frac{{{T_1}}}{\mu }} \right)} \right\|_{\rm{F}}^2} \right\}} \end{array} $

(6) 更新 $T$₁， $T$₂和 $T$₃

$ {T_1} = {T_1} + \mu \left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right) $

$ {T_2} = {T_2} + \mu \left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} - \mathit{\boldsymbol{J}}} \right) $

$ {T_3} = {T_3} + \mu \left( {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \mathit{\boldsymbol{Z}}} \right) $

(7) 更新 $\mu $

$ \mu = \min \left( {\rho \mu ,{\mu _{\max }}} \right) $

当满足$ {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_i} - \mathit{\boldsymbol{J}}} \right\|_\infty } < \varepsilon $，$ {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - {\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|_\infty } < \varepsilon $，$ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}_i^i - \mathit{\boldsymbol{Z}}} \right\|_\infty } < \varepsilon $时，停止迭代。

4) 迭代运算，观察经过第2)3)步骤的迭代后 $J$_{($\mathit{\boldsymbol{D}}$, $\mathit{\boldsymbol{X}}$)}的值，如果其值大于等于设定的阈值或者到达最大迭代次数则直接输出稀疏编码 $\mathit{\boldsymbol{X}}$ 和字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ ，否则继续执行步骤2)3)两步。

5) 分类：给定测试样本 $\mathit{\boldsymbol{y}}$ ，其在结构化低秩字典 $\mathit{\boldsymbol{D}}$ 上的编码系数为

$ \mathit{\boldsymbol{x}} = \arg \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{x}} \left\{ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{y}} - \mathit{\boldsymbol{Dx}}} \right\|_2^2 + \varepsilon {{\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\|}_1}} \right\} $

(14)

式中，$ \mathit{\boldsymbol{x}} = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_1};{\mathit{\boldsymbol{x}}_2}; \cdots ;{\mathit{\boldsymbol{x}}_c}} \right] $， ${\mathit{\boldsymbol{x}}_i}$ 表示对应于子字典 ${\mathit{\boldsymbol{D}}_i}$ 的编码系数。计算第 $i$ 类的残差

$ {e_i} = \left\| {\mathit{\boldsymbol{y}} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right\|_2^2 + \omega \left\| {\mathit{\boldsymbol{x}} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}} \right\|_2^2 $

(15)

式中， ${{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}$ 表示第 $i$ 类别的平均系数， $\omega $ 是一个权重参数。判断测试样本 $\mathit{\boldsymbol{y}}$ 属于哪一类，即

$ identity\left( \mathit{\boldsymbol{y}} \right) = \arg \mathop {\min }\limits_i \left\{ {{e_i}} \right\} $

(16)

为验证本文算法的有效性，选用AR^[21]和ORL^[22]数据库进行实验仿真。同时将本文所提出的方法与SRC算法、DKSVD算法、FDDL算法以及DLRD_SR算法进行对比。

AR人脸数据库拥有126个人的图像，其总图像量超过4 000幅。每个人的图像由两个不同时期拍摄得到，每个时期包括13幅图像，其中7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)，3幅墨镜遮挡和3幅围巾遮挡。图 1分别表示AR数据库中部分测试图像原图、低秩分解后的低秩图和稀疏噪声图。

实验中，选择该数据库中的100个人的图像作为实验样本。由于图像都是高维的，在进行训练和测试之前先采用PCA算法将训练样本和测试样本统一降到500维。墨镜和围巾的遮挡程度分别可以看成是人脸图像的20%和40%，为了验证所提出的算法在不同脸部表情及光照改变以及遮挡的情况下的有效性，根据训练样本和测试样本的具体图像组合情况进行实验。

情况1:随机选取每个人的第1时期拍摄图像中的7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)图像和1幅墨镜遮挡的图像共8幅图像作为训练样本，第1时期拍摄的图像中剩下的2幅墨镜遮挡的图像，第2时期拍摄的图像中7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)的图像和3幅墨镜遮挡的图像共12幅图像作为测试图像，即总共有训练样本800幅，测试样本1 200幅。表 1表示不同算法在情况1样本组合下的识别率。

情况2 :随机选取每个人第1时期拍摄图像中的7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)的图像和1幅围巾遮挡的图像共8幅图像作为训练样本，第1时期拍摄的图像中剩下的2幅围巾遮挡图像, 第2时期拍摄的图像中7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)图像和3幅围巾遮挡图像共12幅作为测试图像，即总共有训练样本800幅，测试样本1 200幅。表 3表示不同算法在情况2样本组合下的识别率。

情况3：随机选取每个人的第1时期拍摄图像中的7幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)图像, 1幅围巾遮挡图像和1幅墨镜遮挡图像共9幅图像作为训练样本，第1时期拍摄的图像中剩下的2幅围巾遮挡图像, 2幅墨镜遮挡图像以及第2时期拍摄的13幅图像共17幅作为测试图像，即总共有训练样本900幅和测试样本1 700幅。表 3表示不同算法在情况3样本组合下的识别率。

由表 1—表 3可知，无论是哪种样本组合，本文算法在有遮挡存在的样本识别中具有显著优势。由表 1可知，在训练样本只包含脸部表情及光照改变、墨镜遮挡图像的情况下，其识别率高于其他算法至少2.7%；由表 2可知，在训练样本只包含脸部表情及光照改变、围巾遮挡图像的情况下，其识别率高于其他算法至少3.6%；由表 3可知，在训练样本包含脸部表情及光照改变、围巾遮挡、墨镜遮挡图像的情况下，其识别率高于其他算法至少1.9%。

为了分析样本不同维数对实验结果造成的影响，现选取第1时期拍摄的每人6幅图像，包括1幅围巾遮挡，2幅墨镜遮挡以及3幅脸部表情及光照改变(未被遮挡)的图像作为训练样本，同时选取第2时期拍摄的同样组合的每人6幅图像作为测试样本，同时将图像的维数分别降到44维、136维、255维和500维进行实验仿真。表 4表示图像在不同维度下，SRC算法、DKSVD算法、FDDL算法、DLRD_SR算法以及本文算法的识别率。

分析表 4可知，无论哪种方法，图像的维度越高识别率越高。实验中的样本包含戴墨镜以及围巾的图像，对比SRC算法与DKSVD算法的识别率可知，DKSVD算法通过字典学习减缓了训练样本中的不确定因素对识别结果的影响；对比DLRD_SR算法与FDDL算法的识别率可知，当图像有遮挡等噪声信息存在时，字典低秩化可以提高至少5.8%的识别率；对比本文算法与DLRD_SR算法可知，在字典学习的过程中加入Fisher准则后识别率显著提高，同时理想稀疏值 $\mathit{\boldsymbol{Q}}$ 能保证对样本进行最优的分类。

ORL人脸数据库拥有40个人在不同时刻下光照的变化、脸部表情以及脸部细节变化的图像，共400幅。实验中从每人的10幅图像中随机挑选5幅图像作为训练图像，剩下的5幅图像作为测试图像。在每幅图像上随机遮挡一部分，图 2表示ORL人脸数据库中被随机遮挡10%时的部分训练图像和测试图像。表 5表示在不同程度随机遮挡下的图像识别率，同时将本文提出的方法与SRC算法、DKSVD算法、FDDL算法以及DLRD_SR算法相比较。

分析表 5可知，图像在有遮挡的情况下，本文算法相比较于其他方法识别率更高。在图像没有任何遮挡的情况下FDDL算法的识别率达到最高。随着遮挡程度的加大，其识别率快速下降，但本文提算法以及DLRD_SR算法识别率的下降幅度减缓很多。本文算法相较于DLRD_SR算法的识别率略高，说明Fisher准则在识别力上起到了一定的积极作用，同时字典学习过程中加入理想稀疏值 $\mathit{\boldsymbol{Q}}$ 可以提高人脸识别率。

本文提出了学习具有识别力的结构化低秩字典。该字典有4个特点：1)所学习的子字典对对应类别样本的表示能力很强，对其他类别的样本的表示能力较弱；2)所学习的子字典均低秩化，能够分离出样本中的噪声信息；3)在稀疏编码过程中引入了Fisher准则，提高了字典的分类能力；4)基于标签信息，构建结构稀疏 $\mathit{\boldsymbol{Q}}$ 值从而将结构信息引入字典学习过程中，提高分类能力。由实验结果可知，本文提出的算法在人脸识别上尤其是对含有噪声信息或遮挡的人脸识别是有显著效果的。由于本文所提出的字典学习方法是基于人脸图像的识别而学习出的，因此对于其他识别如指纹识别、字符识别等，该字典学习方法是否仍具有优越的识别能力还有待进一步研究。