图像分割是将图像分为多个图像子区域并把感兴趣目标分割出来，它是图像分析与图像理解中的关键性步骤。传统的分割方法包括阈值分割、边缘分割、区域分割以及基于特定理论的分割等^[1]。活动轮廓模型由于其计算简单高效，易于建模以及可提取任意形状的变形轮廓等优点^[2]，在医学图像分割中得到了广泛的应用^[3-5]，是近年来比较新兴的一种图像分割方法。

目前活动轮廓模型大体可分为基于边缘的活动轮廓模型和基于区域的活动轮廓模型两类。前者主要利用图像的边界信息引导曲线演化收敛到目标轮廓，最为经典的是由Caselles等人^[6]在1997年提出的GAC(geodesic active contour)模型，该模型构造了边缘停止函数使演化曲线停止在目标边界上，但该模型过分依赖图像的梯度信息，对于弱边缘及梯度相差不大的区域，优化易陷入局部极小值，而且模型对于噪声较为敏感。基于区域的模型主要利用区域描述子引导演化曲线运动到目标轮廓。代表性的模型有Mumford-Shah模型^[7]和Chan-Vese模型^[8]。Mumford和Shah从物体在图像中表现的一般特性出发考虑图像分割问题，定义全局最优的能量函数模型，即MS模型^[7]。该模型依赖的是同质区域的全局信息，因此对非同质图像分割效果不理想。在MS模型的基础上，Chan和Vese^[8]提出了一个基于全局信息的活动轮廓模型，即CV模型。该模型能够较好地分割出灰度分布均匀图像，然而对灰度分布不均匀的图像分割效果不够理想。为了解决该问题，Li等人^[9]提出了局部二值拟合(LBF)模型，该模型利用图像的局部信息，能较好地分割灰度不均匀图像，而且还能避免演化曲线的重新初始化，极大地提高了分割效率。但模型在图像中的弱边缘和弱纹理区域易陷入局部最优，同时对初始轮廓的位置较为敏感。Zhang等人^[10]提出了局部图像拟合(LIF)模型，通过引入局部的图像拟合能量来提取图像的局部信息，减少了LBF模型的计算复杂度，但仍未解决对初始轮廓位置敏感的问题。文献[11]将局部熵信息融合到LBF模型中，提出了一个具有加权值的局部图像拟合模型。在一定程度上解决了对初始轮廓的敏感性问题，但融合局部熵信息加大了计算量，降低了分割效率。文献[12]在CV模型和LBF模型的基础上，提出了一种基于双重轮廓演化曲线的图像分割水平集方法。通过设置内、外两条轮廓线，从目标的内部和外部分别向目标边界逼近，直到两者重合到目标边界，提高了模型的分割精度和效率，对初始轮廓线位置选择具有一定的鲁棒性。文献[13]提出了一种新的基于自适应分数阶微分活动轮廓模型图像分割方法，能够较精确地描述原始图像，对噪声也具有一定的鲁棒性，但是该方法仅在原有的拟合方程中增加了一项分数阶微分拟合项，对灰度不均匀、弱边缘和弱纹理区域分割效果欠佳。文献[14]构造了基于图像局部信息和全局信息融合的混合模型，利用融合的信息来驱动演化曲线运动到目标边缘，对同质图像及非同质图像均能处理，但由于模型计算量较大，分割效率较低。文献[15]提出了一种基于交叉熵的活动轮廓模型，通过计算目标和背景区域的交叉熵来驱动曲线演化，取得了较好的分割效果，但往往会出现过分割现象。文献[16]利用偏压场近似性理论得到图像的局部统计信息，同时加入正则项信息和引入双重终止准则，在分割精度和效率方面有所提高，同时降低了对初始化信息的敏感度。文献[17]提出了一种新的基于自适应分数阶的活动轮廓模型，将G-L分数阶微分的全局梯度信息融合到LBF模型中，以及用双边滤波替代局部拟合项中的高斯核函数，解决了LBF模型在分割弱边缘、弱纹理图像时易陷入局部最优的问题。

分数阶微分是在整数阶微分的基础上发展起来的。在对分数阶微分的研究发现，分数阶微分能大幅度地提升信号的高频信息，同时非线性地保留信号中的中低频信息。在图像处理中，不仅可以较好地增强图像的弱边缘和纹理信息，而且可以抑制噪声的影响。文献[18]将分数阶微分应用于全变分模型，不仅取得较好的去噪效果，还保留了纹理细节并消除了阶梯效应。同时，提出了一种利用局部方差和小波变换自适应选择参数的方法。文献[19]提出了一种改进的分数阶微分掩模算子，构造的近似分数阶Tiansi模板能使边缘信息得到较大增强，同时，细节信息也得到了较好保留。文献[20]提出了一种基于分数阶梯度驱动的主动Demons算法，该方法将R-L分数阶微分引入到主动Demons算法中，能有效地解决灰度分布均匀和弱纹理区域的图像配准。文献[21]将G-L分数阶微分引入到Canny算子中，设计了一种新的基于G-L定义的分数阶微分掩模，在分数阶阶次的选取上更加灵活，该算法在提取图像纹理细节和弱边缘上具有较好的优势，且对噪声具有较好的抑制能力。文献[22]利用分数阶微分对散度算子进行了改进，在一定程度上提高了CV模型对灰度不均匀图像的分割能力，对噪声具有一定的鲁棒性，但对初始轮廓的位置敏感性没有得到改善。

目前，灰度不均匀图像、弱边缘和弱纹理图像的分割依然是图像分割的难点。CV模型是一个基于全局信息的活动轮廓模型，该模型对灰度分布均匀的图像分解效果较为理想，但由于其利用的是图像的全局信息，因此对灰度不均匀图像的分割效果并不理想，同时该模型对初始轮廓位置的选择和噪声都较为敏感。由于在LBF模型中用局部信息替代CV模型中的全局信息，能解决灰度不均匀图像的分割，并且分数阶微分具有提升弱边缘和弱纹理的能力。基于此，本文在CV模型的框架基础上，提出用分数阶梯度局部信息替代CV模型的全局信息，同时根据图像的梯度模值和信息熵建立自适应计算分数阶最佳阶次的数学模型，此外加入符号距离约束项，避免模型的重新初始化。理论分析和实验结果均表明，本文算法较好地解决了CV模型对灰度不均匀图像、弱边缘及弱纹理图像分割效果不理想的问题，并能根据图像特征自适应确定最佳分数阶阶次，分割的效率也得到了提升，同时对初始轮廓的位置和噪声均具有一定的鲁棒性。

CV模型可以看作是对MS模型的简化形式，该模型假设定义域为$ \Omega $的图像 $u(x, y)$ 被闭合曲线 $C$ 划分为目标和背景两个同质区域，利用图像全局灰度信息，建立能量泛函

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{E^{{\rm{CV}}}}\left( {{c_1},{c_2},\varphi } \right) = {\lambda _1}\int_\Omega {{{\left| {u\left( {x,y} \right) - {c_1}} \right|}^2}{H_\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {{\lambda _2}\int_\Omega {{{\left| {u\left( {x,y} \right) - {c_2}} \right|}^2}\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {\mu \int_\Omega {{\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left| {\nabla \varphi } \right|{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } \end{array} $

(1)

式中，$ \Omega $是图像区域， $\varphi $ 是演化曲线的水平集函数， $u(x, y)$ 表示原图像， $c$₁, $c$₂分别为演化曲线内外部的平均灰度值，$ \mu > 0, {\lambda _1} > 0, {\lambda _2} > 0 $为权重系数，$ {H_\varepsilon }\left( \varphi \right) $和$ {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right) $分别为海氏(Heaviside)函数和狄拉克(Dirac)函数的正则化形式，其定义为

$ \left\{ \begin{array}{l} {H_\varepsilon }\left( \varphi \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\arctan \left( {\frac{\varphi }{\varepsilon }} \right)} \right)\\ {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right) = \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} \cdot \frac{\varepsilon }{{{\varepsilon ^2} + {\varphi ^2}}} \end{array} \right. $

(2)

对上述能量方程(1)利用变分法得到CV模型的偏微分方程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right) \times }\\ {\left( \begin{array}{l} \mu {\rm{div}}\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right) - {\lambda _1}{\left( {u\left( {x,y} \right) - {c_1}} \right)^2} + \\ {\lambda _2}{\left( {u\left( {x,y} \right) - {c_2}} \right)^2} \end{array} \right)} \end{array} $

(3)

式中， $c$₁, $c$₂定义为

$ \left\{ \begin{array}{l} {c_1} = \frac{{\int_\Omega {u\left( {x,y} \right){H_\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} }}{{\int_\Omega {{H_\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} }}\\ {c_2} = \frac{{\int_\Omega {u\left( {x,y} \right)\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} }}{{\int_\Omega {\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} }} \end{array} \right. $

(4)

由于 $c$₁, $c$₂分别是演化曲线内外部的灰度均值，因此CV模型能够较好地分割灰度分布均匀的图像，然而 $c$₁, $c$₂都是全局信息，并不含有图像的局部信息，从而导致CV模型分割灰度不均匀的图像效果不够理想。

针对CV模型不能有效地分割灰度不均匀图像，而现实图像中往往都存在灰度不均匀性的问题。Li等人^[9]在CV模型的基础上，提出了一种基于局部二值函数拟合的LBF模型，引入高斯核函数并用具有局部性质的灰度拟合值替代CV模型中的全局信息，同时引入了符号距离的约束项保证水平集函数的稳定性，从而避免了重新初始化，提高了演化效率。LBF模型利用了图像的局部灰度信息，所以能够较好地分割灰度不均匀图像。其能量泛函定义为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{E^{{\rm{LBF}}}}\left( {{f_1}\left( x \right),{f_2}\left( x \right),\varphi } \right) = }\\ {{\lambda _1}\int_\Omega {{K_\sigma }\left( {x - y} \right){{\left| {I\left( y \right) - {f_1}\left( x \right)} \right|}^2}{\rm{d}}y} + }\\ {{\lambda _2}\int_\Omega {{K_\sigma }\left( {x - y} \right){{\left| {I\left( y \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|}^2}{\rm{d}}y} } \end{array} $

(5)

式中， $I$ 为原图像，$ {K_\sigma } $为标准偏差为 $\sigma$ 的高斯核函数， $\lambda$₁, $\lambda$₂ > 0为权重系数。 $f$₁($x$), $f$₂($x$)是具有局部性质的灰度拟合值，定义为

$ \left\{ \begin{array}{l} {f_1}\left( x \right) = \frac{{{K_\sigma } * \left[ {{H_\varepsilon }\left( \varphi \right)I\left( x \right)} \right]}}{{{K_\sigma } * {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)}}\\ {f_2}\left( x \right) = \frac{{{K_\sigma } * \left[ {\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right)I\left( x \right)} \right]}}{{{K_\sigma } * \left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right)}} \end{array} \right. $

(6)

在式(4)基础上，加入Euclidean长度项和符号距离约束项，采用梯度下降法，可得LBF模型总的水平集函数的演化方程，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = \mu \left( {\Delta \varphi - {\rm{div}}\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right)} \right) + }\\ {\nu {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{div}}\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right) - {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left( {{\lambda _1}{e_1} - {\lambda _2}{e_2}} \right)} \end{array} $

(7)

式中， $e$₁, $e$₂定义为

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_1}\left( x \right) = \int_\Omega {{K_\sigma }\left( {y - x} \right){{\left| {I\left( x \right) - {f_1}\left( y \right)} \right|}^2}{\rm{d}}y} \\ {e_2}\left( x \right) = \int_\Omega {{K_\sigma }\left( {y - x} \right){{\left| {I\left( x \right) - {f_2}\left( y \right)} \right|}^2}{\rm{d}}y} \end{array} \right. $

(8)

LBF模型运用图像的局部性质，能够较好地分割灰度不均匀图像，而且加入距离正则项，避免了重新初始化，提高了分割效率。然而由于其仅仅利用图像的局部信息，在图像的弱边缘及弱纹理区域由于灰度相差较小从而导致模型易陷入局部最优，并且对曲线的初始位置和噪声较为敏感。

分数阶微积分是对整数阶微积分的推广，目前经典的分数阶微积分定义有3种：Grunwald-Letnikov(G-L)定义、Riemann-Liouvill(R-L)定义和Caputo定义。分数阶微积分Caputo定义适用于分数阶微分方程的初边值分析，往往应用于工程领域。而分数阶微积分的G-L和R-L定义在数值运算中均可以转化为卷积运算形式，因此可以较好地运用在图像处理领域。而G-L定义较R-L定义在计算时要更加准确，因此本文从G-L定义出发，推导出本文所需的微积分算子。

对$ \forall \alpha \in \boldsymbol{\rm{R}}, \left[ \alpha \right] $为其整数部分：假设信号$ s\left( t \right) \in \left[ {a, b} \right]\left( {a < b, a \in \boldsymbol{\rm{R}}, b \in \boldsymbol{\rm{R}}} \right) $存在$ n + 1\left( {n \in \boldsymbol{\rm{Z}}} \right) $阶连续导数，当$ \alpha $ > 0时， $n$ 至少取[$\alpha$], 则分数阶微积分G-L定义为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{}_a^{\rm{G}}D_b^\alpha s\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} s_h^\alpha \left( t \right) = }\\ {\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {h \to 0}\\ {nh = b - a} \end{array}} {h^{ - \alpha }}\sum\limits_{r = 0}^{\left[ {\frac{{b - a}}{h}} \right]} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \alpha }\\ r \end{array}} \right]s\left( {t - rh} \right)} } \end{array} $

(9)

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \alpha }\\ r \end{array}} \right] = \frac{{\left( { - \alpha } \right)\left( { - \alpha + 1} \right) \cdots \left( { - \alpha + r + 1} \right)}}{{r!}} $

(10)

对任意一个平方可积的能量信号$ f\left( t \right) \in {L^2}\left( \boldsymbol{\rm{R}} \right) $, 按信号处理的基本理论知其Fourier变换为

$ \hat f\left( t \right) = \int\limits_{\rm{R}} {f\left( t \right){{\rm{e}}^{ - i\omega t}}{\rm{d}}t} $

(11)

假设信号$f$($t$)的整数 $n$ 阶导数为$f$^($n$)($t$)，根据傅里叶变换(${\rm{FT}}$), 其可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{D^n}f\left( t \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\rm{FT}}} {{\left( {D\hat f} \right)}^n}\left( \omega \right) = }\\ {{{\left( {i\omega } \right)}^n}\hat f\left( \omega \right) = {{\hat d}^n}\left( \omega \right)\hat f\left( \omega \right)} \end{array} $

(12)

将整数阶 $n$ 推广至分数阶$ \alpha $，则 $f$($t$)的$ \alpha $阶导数为$ {f^\alpha }\left( t \right)\left( {\alpha \in {\boldsymbol{\rm{R}}^ + }} \right) $，根据Fourier变换的性质可得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{D^\alpha }f\left( t \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\rm{FT}}} {{\left( {D\hat f} \right)}^\alpha }\left( \omega \right) = }\\ {{{\left( {i\omega } \right)}^\alpha }\hat f\left( \omega \right) = {{\hat d}^\alpha }\left( \omega \right)\hat f\left( \omega \right)} \end{array} $

(13)

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\hat d}^\alpha }\left( \omega \right) = {\left( {i\omega } \right)^\alpha } = {{\hat \alpha }^\alpha }\left( \omega \right){{\rm{e}}^{i{\theta ^\alpha }\left( \omega \right)}}\\ {{\hat \alpha }^\alpha }\left( \omega \right) = {\left| \omega \right|^\alpha },{\theta ^\alpha } = \frac{{\alpha {\rm{ \mathsf{ π} }}}}{2}{\mathop{\rm sgn}} \left( \omega \right) \end{array} \right. $

(14)

根据式(13)可以绘制出分数阶微分阶次在$ \alpha $=0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2时的幅频特性曲线图，如图 1所示。

从图 1可以看出，在0 < $ \omega $ < 1的中低频信号段，分数阶微分对信号的衰减程度低于整数阶微分，而在$ \omega $ > 1的高频信号段，分数阶微分对信号的增强程度低于整数阶微分。从而可以得出，分数阶微分对信号的高频部分具有提升作用且提升幅度随频率和分数阶微分阶次的增加呈非线性增长，而且对信号的中低频部分进行了保留。在1幅图像中，图像的弱边缘及纹理信息属于低频信息，图像的噪声则属于高频信息。运用分数阶微分可以提升图像的弱边缘及纹理信息，而且噪声信号不会被较大地增强。整数阶微分处理的效果则相反，弱边缘及纹理信息往往会被较大地减弱，而噪声信号则被较大地增强。因此将分数阶微分应用到图像处理中，既可以对图像的弱边缘及纹理信息有所保留，又具有一定的抗噪能力。本文的目的是解决灰度不均匀图像的分割问题，因此需要保留弱边缘及纹理信息，从信号的幅频特性曲线可以看出，不同的分数阶阶次对低频信号的保留效果不相同。

设一元信号$s$($t$)的持续周期为 $t \in [a, b]$ ，将周期 $[a, b]$ 按单位等分，其等分间隔$h$=1，则式(9)中 $(b-a)/h=b-a$ ，则 $s$($t$)分数阶微分的差值表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }s\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = s\left( t \right) + \left( { - \alpha } \right)s\left( {t - 1} \right) + }\\ {\frac{{\left( { - \alpha } \right)\left( { - \alpha + 1} \right)}}{2}s\left( {t - 2} \right) + \cdots + }\\ {\frac{{\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha + m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)!\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha } \right)}}s\left( {t - m + 1} \right)} \end{array} $

(15)

对于数字图像来说，本文定义 $f(x, y)$ 在 $x$ 和 $y$ 坐标的正方向，则其分数阶微分差分的表达式可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^\alpha }f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {x^\alpha }}} = f\left( {x,y} \right) + \left( { - \alpha } \right)f\left( {x - 1,y} \right) + }\\ {\frac{{\left( { - \alpha } \right)\left( { - \alpha + 1} \right)}}{2}f\left( {x - 2,y} \right) + \cdots + }\\ {\frac{{\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha + m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)!\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha } \right)}}f\left( {x - m + 1,y} \right)} \end{array} $

(16)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^\alpha }f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {y^\alpha }}} = f\left( {x,y} \right) + \left( { - \alpha } \right)f\left( {x,y - 1} \right) + }\\ {\frac{{\left( { - \alpha } \right)\left( { - \alpha + 1} \right)}}{2}f\left( {x,y - 2} \right) + \cdots + }\\ {\frac{{\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha + m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)!\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha } \right)}}f\left( {x,y - m + 1} \right)} \end{array} $

(17)

从式(16) (17)可看出，每一项的系数不一样，且系数之和不为零，这是分数阶微分与整数阶微分最显著的区别。其系数的通项为

$ P = \frac{{\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha + m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)!\mathit{\Gamma }\left( { - \alpha } \right)}} $

(18)

式中，$ \mathit{\Gamma }\left( m \right) = \int\limits_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - 1}}} {t^{m - 1}}{\rm{d}}t = \left( {m - 1} \right)! $为Gamma函数，定义为

$ \mathit{\Gamma }\left( m \right) = \int\limits_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - t}}{t^{m - 1}}{\rm{d}}t} = \left( {m - 1} \right)! $

(19)

参照整数阶梯度定义，可以定义出分数阶梯度，即

$ {\nabla ^\alpha }f = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {G_x^\alpha }\\ {G_y^\alpha } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^\alpha }f}}{{\partial {x^\alpha }}}}\\ {\frac{{{\partial ^\alpha }f}}{{\partial {y^\alpha }}}} \end{array}} \right] $

(20)

则其分数阶梯度的模值为

$ mag\left( {{\nabla ^\alpha }f} \right) = {\left[ {{{\left( {G_x^\alpha } \right)}^2} + {{\left( {G_y^\alpha } \right)}^2}} \right]^{1/2}} $

为了简化运算，在数值运算过程中，取式(16)和式(17)的前 $M$ 项系数，构造出 $M \times M$ 的分数阶模板。

为了验证在图像分割中，G-L分数阶微分能够增强图像梯度信息。本文选取血管图像和人工合成图像来进行实验验证，两幅图像均属于弱边缘、弱纹理图像。为了简便计算，将整数阶和不同阶次的3×3分数阶微分模板分别对两幅图像进行实验，分别计算两幅图的整数1阶、分数阶0.3阶、分数阶0.5阶和分数阶0.8阶的梯度模值图，实验结果图 2所示。

从实验结果可看出，原图中血管和人工合成图像红色区域的目标灰度值和背景灰度值相差不大，该部分均属于弱边缘。整数阶梯度图该部分的目标和背景灰度值接近，轮廓依然不清晰，没有起到增强效果。而从不同分数阶梯度图可以看出，目标轮廓和背景分明，可以得到边缘增强的效果, 并且阶次越小，增强效果越好。这是因为分数阶微分能够较好地增强图像的弱边缘及纹理信息，而整数阶微分往往会使弱边缘及纹理信息被较大地减弱。并且随着分数阶阶次的增加，分数阶微分对于低频信号，也就是弱边缘及纹理信息的保留效果越来越差，这与图 1信号的幅频特性曲线图的结论相符合。因此可以得出G-L分数阶微分算子能够较好地增强弱边缘和纹理区域的梯度信息，并且阶次越小增强效果越明显。

CV模型由于其全局性质不能较好地分割灰度不均匀和弱边缘、弱纹理图像。针对该问题，受G-L分数阶微分可以增强弱边缘及纹理区域的梯度信息的影响，将G-L分数阶微分应用到CV模型中，并用局部的分数阶梯度信息替代CV模型的整数阶全局信息，即将G-L分数阶梯度信息融合到具有局部性质的加权值 $f$₁, $f$₂中，用其来替代CV模型中具有全局性质的灰度平均值 $c$₁, $c$₂。从而得到能量方程

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {{f_1},{f_2},\varphi } \right) = {\lambda _1}\int_\Omega {{{\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_1}} \right|}^2}{H_\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {{\lambda _2}\int_\Omega {{{\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_2}} \right|}^2}\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {\mu \int_\Omega {{\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left| {\nabla \varphi } \right|{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } \end{array} $

(21)

式中，$ {\nabla ^\alpha }u\left( {x, y} \right) $为分数阶梯度，$ \varphi $为演化曲线，$ {\lambda _1}, {\lambda _2} $为正常数，一般情况下$ {\lambda _1} = {\lambda _2} = 1, {H_\varepsilon }\left( \varphi \right) $和$ {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right) $分别为Heaviside函数和Dirac函数， $f$₁, $f$₂是具有局部信息的图像灰度拟合值，其重新定义为

$ \left\{ \begin{array}{l} {f_1} = \frac{{{K_\sigma } * \left[ {{H_\varepsilon }\left( \varphi \right)\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right)} \right|} \right]}}{{{K_\sigma } * {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)}}\\ {f_2} = \frac{{{K_\sigma } * \left[ {\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right)\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right)} \right|} \right]}}{{{K_\sigma } * \left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right)}} \end{array} \right. $

(22)

为了避免水平集的重新初始化，提高演化效率，在上面的能量方程中，加入了符号距离的约束能量项，得到本文算法总的能量方程

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {{f_1},{f_2},\varphi } \right) = \eta \int_\Omega {\frac{1}{2}\left( {1 - {{\left| {\nabla \varphi } \right|}^2}} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {{\lambda _1}\int_\Omega {{{\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_1}} \right|}^2}{H_\varepsilon }\left( \varphi \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {{\lambda _2}\int_\Omega {{{\left| {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_2}} \right|}^2}\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y} + }\\ {\mu \int_\Omega {{\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left| {\nabla \varphi } \right|{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } \end{array} $

(23)

则求总的能量方程的最小值可以通过求解能量泛函对应的Euler-lagrange方程来实现。根据变分学原理和梯度下降法可以得到本文模型的水平集演化方程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = \eta \left( {\Delta \varphi - {\rm{div}}\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right)} \right) + }\\ {{\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left[ {\mu {\rm{div}}\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right) - {\lambda _1}{{\left( {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_1}} \right)}^2} + } \right.}\\ {\left. {{\lambda _2}{{\left( {{\nabla ^\alpha }u\left( {x,y} \right) - {f_2}} \right)}^2}} \right]} \end{array} $

(24)

将G-L分数阶梯度信息融合到图像的局部信息之中，用来代替CV模型里的内外轮廓的平均灰度值。可以增强图像的弱边缘及纹理区域的梯度信息，从而较好地解决了CV模型对于灰度不均匀图像的分割效果不理想的问题。同时为了避免水平集的重新初始化，在模型中加入了符号距离的约束项，用来纠正水平集函数与符号距离函数的偏差，避免了水平集函数的重新初始化，提高了演化效率。然而，算法是基于G-L分数阶微分实现的，对于每幅不同的输入图像，其对应的最佳分数阶阶次都不相同，需经过多次实验交互性确定最佳阶次 $\alpha $ ，这种交互性选取最佳阶次的方法必定影响其在实际应用中的效率。

针对上面的问题，根据图像的梯度模值和信息熵建立计算分数阶最佳阶次的数学模型，以达到自适应确定最佳阶次的目的。将分数阶梯度融合到局部信息之中，分数阶梯度增强的程度直接影响着最终的分割结果。结合分数阶幅频特性曲线(图 1)，与整数阶相比，分数阶阶次选择越小，梯度增强越明显，故在弱边缘及弱纹理区域应选择较小阶次。而对于噪声则无需增强，相反需进行抑制，应选择较大的分数阶阶次。因此可以根据图像的相关特征选取最佳的分数阶阶次。图像梯度是纹理的1个量化，反映了图像灰度的变化率。在图像上梯度较大处灰度变化较明显，梯度较小处灰度变化较平缓，灰度相同区域，则梯度为零。而图像信息熵反映图像纹理信息的丰富程度。在图像的边缘及纹理区域信息熵较大，在图像平滑区域信息熵较小。因此可以根据图像梯度和信息熵来构造自适应分数阶函数，以此来实现分数阶阶次自适应选取。图像梯度模值和信息熵具体定义和计算公式如下:

定义1  图像 $\mathit{\boldsymbol{I}}$ 在某像素点 $(x, y)$ 上的梯度是1个2维列向量，反映了图像像素点灰度值变化率，其定义为

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left[ {I\left( {x,y} \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_x}}\\ {{G_y}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\partial \mathit{\boldsymbol{I}}/\partial x}\\ {\partial \mathit{\boldsymbol{I}}/\partial y} \end{array}} \right] $

(25)

可得向量$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{I}}\left( {x, y} \right)} \right] $的模值为

$ mag\left( {\mathit{\boldsymbol{G}}\left[ {I\left( {x,y} \right)} \right]} \right) = \sqrt {G_x^2 + G_y^2} $

(26)

在计算过程中，为简便运算，定义梯度模值为

$ mag\left( {\mathit{\boldsymbol{G}}\left[ {I\left( {x,y} \right)} \right]} \right) = \left| \mathit{\boldsymbol{G}} \right| = \max \left\{ {{G_x},{G_y}} \right\} $

(27)

定义2  信息熵是一种信息量的度量，反应图像纹理信息的丰富程度。因此，在图像的边缘及纹理区域有较大的信息熵，而在平滑区域信息熵较小。其定义为

$ S = - \sum\limits_{{I_{ij}} \in \omega } {{P_{ij}}{{\log }_n}{P_{ij}}} $

(28)

式中， $S$ 为信息熵值， $i$, $j$ 为像素坐标，$ {I_{ij}} $为灰度值，$ \omega $为模板，$ {P_{ij}} $为模板内相同灰度值的概率。结合图像的梯度模值和信息熵两种特征信息来构造1个函数，为了保证分数阶阶次不大于1，先将图像的两种信息进行归一化，再将归一化的信息进行融合，即使0≤|$G$|≤1，0≤ $S$ ≤1，则函数定义为

$ f\left( {G,S} \right) = {k_1}\left| G \right| + {k_2}S $

(29)

式中， $k$₁, $k$₂为各个信息值所占的权重，定义为

$ {k_1} = \frac{{\left| G \right|}}{{\left| G \right| + S}},{k_2} = \frac{S}{{\left| G \right| + S}} $

(30)

从分数阶幅频曲线图可知，当阶次为0时，对信号没有增强效果；阶次大于1时，对信号的中低频成分的提升的幅度偏低，即对图像的弱边缘及弱纹理区域增强不明显。本文需要增强弱边缘及弱纹理区域纹理细节，因此本文阶次选取在(0, 1)之间，而且自适应函数计算出的阶次要随着图像的信息值单调递增，反正切函数正好能满足这个要求，如图 3所示。因此本文选择反正切函数为原型构造自适应分数阶模型，自适应函数定义为

$ \alpha = k \cdot \arctan f + b $

(31)

式中， $\alpha$ 为分数阶阶次， $k$ 和 $b$ 为常数。当 $f$ =1时，该区域为强边缘及纹理丰富区域可能性较大，此区域无需增强，应选择较大的阶次，即$ \alpha $=1；当 $f$=0时，该区域为弱边缘及弱纹理区域可能性较大，此区域需增强，应选择较小的阶次，即$ \alpha $=0。于是可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot \arctan 1 + b\\ 0 = k \cdot \arctan 0 + b \end{array} \right.\;\;\;\;\;\; \Rightarrow }\\ {k = - \frac{4}{{\rm{ \mathsf{ π} }}},b = 0} \end{array} $

(32)

将 $k$ 和 $b$ 的值代入自适应函数，可得本文自适应分数阶阶次模型为

$ \alpha = - \frac{4}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} \cdot \arctan f $

(33)

根据图像的梯度模值和信息熵建立自适应计算分数阶最佳阶次的数学模型，将此自适应分数阶模型应用到算法之中，以达到自适应确定最佳分数阶阶次的目的，解决了人工选取最佳阶次费时费力的问题，从而提高算法分割的效率。

实验所用的计算机环境为:Intel(R) Core(TM) i5 CPU 650 @ 3.20 GHz, 内存为4.00 GB，操作系统为Windows 7，程序利用Matlab R2014a实现。用人工合成图像和真实图像进行实验，并从分割性能、对初始轮廓选择的鲁棒性、抗噪性能等方面进行验证。

为验证分割性能，选取了6幅灰度不均匀图像进行实验，如图 4所示，该6幅图像均具有灰度分布不均匀、弱边缘及弱纹理特征。将本文算法与CV模型、LBF模型、文献[13]、文献[17]及人工标定的目标轮廓进行对比，并用分割的视觉效果、演化迭代次数、迭代时间及分割精度来评定各种算法的性能。

实验中，参与对比的各模型的相关参数均取各自文献中的参数。由于本文算法是在CV模型基础上进行改进的，所以本文算法的参数除了分数阶阶次外其他的参数均参照原CV模型的参数，至于分数阶最佳阶次 $\alpha $ 的选取根据3.2节建立好的模型自适应计算得到。从分割视觉效果图 4可以看出，CV模型、LBF模型、文献[13]、文献[17]对于图像1、图像3—6分割效果均不够理想，而本文算法的效果较好；对于图像2，除CV模型不能分割出结果，而其他3种算法和本文模型均能正确地分割出结果。

为了验证本文方法的分割效率，进一步对实验结果进行了定量的分析和比较，得到了各种方法的迭代次数和迭代时间，分别如图 5和表 1所示。从图 5和表 1中可以看出，本文模型在迭代次数和时间消耗上均有一定的优势，这是因为本文模型用LBF模型中的局部信息替代了CV模型的全局信息，在保留原始LBF模型优点的同时，还融入了新的分数阶微分，增加了曲线演化的驱动力；同时根据图像的梯度模值和信息熵建立计算分数阶最佳阶次的数学模型，以达到自适应确定最佳阶次的目的；此外加入了符号距离的约束项，避免了模型的重新初始化，加速了演化过程，减少了分割时间，提高了分割效率。

为了更直观地对分割结果进行评价，采用Jaccard Similarity相似度对分割结果进行定量分析，定义为

$ JS = \frac{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{S}}_1} \cap {\mathit{\boldsymbol{S}}_2}} \right|}}{{\left| {{\mathit{\boldsymbol{S}}_1} \cup {\mathit{\boldsymbol{S}}_2}} \right|}} $

(34)

式中， $\mathit{\boldsymbol{S}}$₁和 $\mathit{\boldsymbol{S}}$₂分别表示人工标定目标轮廓的分割结果和模型的分割结果，$JS$值越高表示分割准确性越高。从表 2中可以看出，本文模型的$JS$值要高于其他4种模型，这是因为模型中不仅将LBF模型里的局部信息代替了CV模型里的全局信息，而且将分数阶梯度信息融合到局部信息之中，当$ 0 < \alpha < 1 $时，分数阶可以增加图像弱边缘、弱纹理区域的梯度，使模型对弱边缘及弱纹理图像分割效果较为理想，能够更加准确地分割出灰度不均匀图像。

为了验证模型对曲线初始位置选择的鲁棒性，分别选择人工合成图像和血管图像进行实验，两幅图像均属于弱边缘、弱纹理图像。并随机选择了5种不同的初始位置，如图 6中第1行的红色方框所示。将本文结果与CV模型和LBF模型进行比较，实验结果如图 6所示。图 6中每1组的第1行为输入图片和不同位置的初始曲线(红色方框)，第2行为CV模型分割结果，第3行为LBF模型的分割结果，第4行为本文算法分割结果。实验结果表明：CV模型和LBF模型对初始曲线的位置敏感，当初始曲线选择不当时得不到正确的分割结果，并且不同的初始位置得到不同的分割结果，而本文的分割方法均获得了正确的分割结果，从而证明了本文算法对初始曲线位置的选取具有鲁棒性。原因将G-L分数阶微分融合到局部信息当中，当$ 0 < \alpha < 1 $时，分数阶可以增加图像弱边缘、弱纹理区域的梯度，增加演化驱动力避免演化曲线在图像的弱边缘及弱纹理区域陷入局部最优，从而解决了CV模型对曲线初始位置选择的敏感性问题。

为验证本文算法的抗噪性能，并突出分数阶微分的作用，对人工合成图像加入了不同种类的噪声以此来验证算法对不同噪声的敏感性。如图 7所示。

从图 7可以看出，算法在多种噪声坏境下均能正确地分割出目标，对噪声具有较好的稳定性，而CV模型和LBF模型均会把噪声给分割出来了，对噪声较为敏感。这是因为：由于噪声属于高频信号，根据分数阶微分的幅频特性可知，当$ 0 < \alpha < 1 $时，分数阶微分对高频信号的增强程度低于整数阶微分对高频信号的增强。因此分数阶微分在一定程度上能够抑制噪声，即具有一定的抗噪性能。

针对CV模型对灰度不均匀图像和弱边缘、弱纹理图像分割效果不理想，且对演化曲线初始位置选择和对噪声较为敏感等缺点，提出了一种结合分数阶微分和图像局部信息的CV模型，用于图像的分割。一方面，将局部信息代替全局信息，可以在一定程度上解决CV模型对灰度不均匀图像分割效果不理想的问题; 另一方面，将G-L分数阶微分融合到局部信息当中，当$ 0 < \alpha < 1 $时，分数阶可以增加图像弱边缘、弱纹理区域的梯度，从而增加演化驱动力避免演化曲线陷入局部最优，有效地解决因灰度变化不大导致演化曲线驱动力小的问题，亦能在一定程度上解决模型对初始轮廓位置选择和对噪声敏感的问题。同时根据图像的梯度模值和信息熵建立计算分数阶最佳阶次的数学模型，将此自适应分数阶模型应用到算法之中，以达到自适应确定最佳阶次的目的。此外，加入了符号距离的约束项，避免了模型的重新初始化，提高了演化效率。理论分析和实验结果均表明，改进的模型较好地解决了CV模型对灰度不均匀图像、弱边缘、弱纹理图像分割效果不理想的问题，并能根据图像特征自适应确定最佳分数阶阶次，分割的效率也得到了提升，同时对噪声和初始轮廓的位置均具有一定的鲁棒性。考虑到自适应数学模型仅利用了图像的梯度模值和信息熵，在以后的工作将考虑融合其他更多的图像局部特征信息，进一步优化该模型，以达到更好地自适应分割效果。