自Ball曲线^[1]在1974年被提出以来，由于该曲线不仅与三次Bézier曲线一样具有良好的保形性，而且在求值及升降阶等计算速度上优于三次Bézier曲线，因此被人们广泛研究。为了构造高次的Ball曲线，王国瑾^[2]与Said^[3]分别独立地将三次Ball曲线推广到任意次数，并被Hu等人^[4]分别命名为Wang-Ball曲线与Said-Ball曲线；丁友东等人^[5]讨论了任意次Ball曲线的性质及其应用；Delgado等人^[6]构造了保形的DP-Ball基；邬弘毅^[7]则提出了分别介于Wang-Ball曲线与Said-Ball曲线之间以及介于Bézier曲线与Said-Ball曲线之间的两类广义Ball曲线；沈莞蔷等人^[8]与汪志华等人^[9]也分别构造了介于Wang-Ball曲线与Said-Ball曲线的曲线族、介于Bézier曲线与Said-Ball曲线之间的曲线族。随后，沈莞蔷等人^[10]又通过加入多个带约束条件的参加，利用递归的方法构造出一类广义Ball基及其相应曲线。

另一方面，为了使得Ball曲线在控制顶点保持不变的情形下具有形状可调性，人们又试图构造带参数的Ball曲线。王成伟^[11]给出了一种带单个参数的四次Ball曲线，该曲线是三次Ball曲线的一种扩展；严兰兰等人^{[12, 13]}构造了两种带参数的四/五次Ball曲线，实现了从四/五Wang-Ball曲线到Said-Ball曲线以及四/五Said-Ball到Bézier的过渡；严兰兰等人^[14]又构造了次数分别为三次与四次且带有参数的Ball曲线，这两种曲线都是三次Ball曲线的扩展；刘华勇等人^[15]构造了一种带两个参数的四次Ball曲线，该曲线与三次Ball曲线具有相似的结构与特性。注意到，这些方法的主要目的在Ball曲线中引入参数，通过参数的改变实现对Ball曲线形状的调整，以此来克服Ball曲线在形状调控方面的不足。另外，这些方法都是针对特定次数的Ball曲线进行研究，并没有考虑如何在任意次Ball曲线中引入参数。

为此，本文提出了一种在任意次Ball曲线中引入参数的简单方法。首先将三次Ball基的定义区间由[0, 1]扩展为 $[0, \alpha ] (0<\alpha ≤1)$ ，然后借助高次Ball基的递推性构造出带参数 $\alpha $ 的任意次Ball基，从而使得所构造的任意次Ball曲线带有参数 $\alpha $ ，通过参数 $\alpha $ 来实现对曲线的形状调整。

对于0≤ $t$ ≤1, 三次Ball基可表示为^[14]

$ \left\{ \begin{array}{l} {b_0}\left( t \right) = {\left( {1 - t} \right)^2}\\ {b_1}\left( t \right) = 2{\left( {1 - t} \right)^2}t\\ {b_2}\left( t \right) = 2\left( {1 - t} \right){t^2}\\ {b_3}\left( t \right) = {t^2} \end{array} \right. $

(1)

三次Ball基在端点处满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {b_0}\left( 0 \right) = 1,\;\;\;\;\;\;{b_0}\left( 1 \right) = 0\\ {b_1}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;{b_1}\left( 1 \right) = 0\\ {b_2}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;{b_2}\left( 1 \right) = 0\\ {b_3}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;{b_3}\left( 1 \right) = 1\\ {{b'}_0}\left( 0 \right) = - 2,\;\;\;\;{{b'}_0}\left( 1 \right) = 0\\ {{b'}_1}\left( 0 \right) = 2,\;\;\;\;\;\;{{b'}_1}\left( 1 \right) = 0\\ {{b'}_2}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;{{b'}_2}\left( 1 \right) = - 2\\ {{b'}_3}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;{{b'}_3}\left( 1 \right) = 2 \end{array} \right. $

(2)

为了在三次Ball基中直接引入参数 $\alpha $ ，一种简单的思想是：将式(1)中变量 $t$ 的定义区间由[0, 1]扩展为 $[0, \alpha ] (0<\alpha ≤1)$ ，以此可构造出一种带参数 $\alpha $ 的三次Ball基。下面给出其具体的构造过程。

设所要构造的新三次Ball基 ${B_{3,i}}\left( t \right)\;\;\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{3,0}}\left( t \right)}&{{B_{3,1}}\left( t \right)}&{{B_{3,2}}\left( t \right)}&{{B_{3,3}}\left( t \right)} \end{array}} \right) = }\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&t&{{t^2}}&{{t^3}} \end{array}} \right)\mathit{\boldsymbol{A}}} \end{array} $

(3)

式中， $0≤t≤\alpha $ ， $0<\alpha≤1 $ ， $\mathit{\boldsymbol{A}}$ 为一个待定的4阶方阵。

由式(3)可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{B'}_{3,0}}\left( t \right)}&{{{B'}_{3,1}}\left( t \right)}&{{{B'}_{3,2}}\left( t \right)}&{{{B'}_{3,3}}\left( t \right)} \end{array}} \right) = }\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{2t}&{3{t^2}} \end{array}} \right)\mathit{\boldsymbol{A}}} \end{array} $

(4)

为了使得新三次Ball基在端点处的性质与式(2)类同，依据式(3)与式(4)则有

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ { - 2}&2&0&0\\ 0&0&{ - 2}&2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 1&\alpha &{{\alpha ^2}}&{{\alpha ^3}}\\ 0&1&0&0\\ 0&1&{2\alpha }&{3{\alpha ^2}} \end{array}} \right)\mathit{\boldsymbol{A}} $

(5)

由式(5)可得

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ { - 2}&2&0&0\\ {\frac{{4\alpha - 3}}{{{\alpha ^2}}}}&{ - \frac{4}{\alpha }}&{\frac{2}{\alpha }}&{\frac{{3 - 2\alpha }}{{{\alpha ^2}}}}\\ {\frac{{2 - 2\alpha }}{{{\alpha ^3}}}}&{\frac{2}{{{\alpha ^2}}}}&{ - \frac{2}{{{\alpha ^2}}}}&{\frac{{2\alpha - 2}}{{{\alpha ^3}}}} \end{array}} \right) $

(6)

将式(6)代入式(3)，可得所要构造的新三次Ball基为

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{3,0}}\left( t \right) = 1 - 2t + \frac{{4\alpha - 3}}{{{\alpha ^2}}}{t^2} + \frac{{2 - 2\alpha }}{{{\alpha ^3}}}{t^3}\\ {B_{3,1}}\left( t \right) = 2t - \frac{4}{\alpha }{t^2} + \frac{2}{{{\alpha ^2}}}{t^3}\\ {B_{3,2}}\left( t \right) = \frac{2}{\alpha }{t^2} - \frac{2}{{{\alpha ^2}}}{t^3}\\ {B_{3,3}}\left( t \right) = \frac{{3 - 2\alpha }}{{{\alpha ^2}}}{t^2} + \frac{{2\alpha - 2}}{{{\alpha ^3}}}{t^3} \end{array} \right. $

(7)

式中， $0≤t≤\alpha $ ， $0<\alpha ≤1$ 。

若令 $t=\alpha u(0≤u≤1)$ ，则可将式(7)中的4个函数重新参数化，稍加整理得到如下一种带参数 $\alpha $ 的三次Ball基。

定义1对于 $0≤u≤1$ ， $0<\alpha ≤1$ ，下列4个关于变量 $u$ 的函数

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{3,0}}\left( u \right) = {\left( {1 - u} \right)^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)u} \right)\\ {B_{3,1}}\left( u \right) = 2\alpha {\left( {1 - u} \right)^2}u\\ {B_{3,2}}\left( u \right) = 2\alpha \left( {1 - u} \right){u^2}\\ {B_{3,3}}\left( u \right) = {u^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - u} \right)} \right) \end{array} \right. $

(8)

称为带参数 $\alpha $ 的三次Ball基，简称为三次 $\alpha $ -Ball基。

由三次 $\alpha $ -Ball基的构造过程不难可知，当 $\alpha $ =1时，三次 $\alpha $ -Ball基即为三次Ball基。因此，三次 $\alpha $ -Ball基是三次Ball基的一种同次扩展。

定理1    三次 $\alpha $ -Ball基具有下列性质

1) 非负性： ${B_{3,i}}\left( u \right) \ge 0\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 。

2) 单位分解性： $\sum\limits_{i = 0}^3 {{B_{3,i}}\left( u \right) \equiv 1} $ 。

3) 对称性： ${B_{3,i}}\left( u \right) = {B_{3,3 - i}}\left( {1 - u} \right)\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 。

4) 单峰性： ${B_{3,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 在区间[0, 1]上仅有一个最大值。

5) 关于参数 $\alpha $ 的单调性：固定变量 $u$ 时， ${B_{3,0}}\left( u \right)$ 与 ${B_{3,3}}\left( u \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递减， ${B_{3,1}}\left( u \right)$ 与 ${B_{3,2}}\left( u \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递增。

6) 端点性：在端点处有

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{3,0}}\left( 0 \right) = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;{B_{3,0}}\left( 1 \right) = 0\\ {B_{3,1}}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;{B_{3,1}}\left( 1 \right) = 0\\ {B_{3,2}}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;{B_{3,2}}\left( 1 \right) = 0\\ {B_{3,3}}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;{B_{3,3}}\left( 1 \right) = 1\\ {{B'}_{3,0}}\left( 0 \right) = - 2\alpha ,\;\;\;\;{{B'}_{3,0}}\left( 1 \right) = 0\\ {{B'}_{3,1}}\left( 0 \right) = 2\alpha ,\;\;\;\;\;\;{{B'}_{3,1}}\left( 1 \right) = 0\\ {{B'}_{3,2}}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;{{B'}_{3,2}}\left( 1 \right) = - 2\alpha \\ {{B'}_{3,3}}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;{{B'}_{3,3}}\left( 1 \right) = 2\alpha \end{array} \right. $

(9)

证明    1)由 $0≤u≤1$ , $0<\alpha ≤1$ 可知 $1－u≥0$ , $1-\alpha ≥0$ , 故由式(8)可得 ${B_{3,i}}\left( u \right) \ge 0\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 。

2) 由式(8)不难可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 0}^3 {{B_{3,i}}\left( u \right)} = {{\left( {1 - u} \right)}^2} + 2{{\left( {1 - u} \right)}^2}u + }\\ {2{u^2}\left( {1 - u} \right) + {u^2} \equiv 1。} \end{array} $

3) 由式(8)易知

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{B_{3,0}}\left( {1 - u} \right) = {u^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - u} \right)} \right) = }\\ {{B_{3,3}}\left( u \right),{B_{3,1}}\left( {1 - u} \right) = 2\alpha {u^2}\left( {1 - u} \right) = {B_{3,2}}\left( u \right)。} \end{array} $

4) 由式(8)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {{B'}_{3,0}}\left( u \right) = - 2\left( {1 - u} \right)\left( {\alpha + 3\left( {1 - \alpha } \right)u} \right)\\ {{B'}_{3,1}}\left( u \right) = 2\alpha \left( {1 - u} \right)\left( {1 - 3u} \right)\\ {{B'}_{3,2}}\left( u \right) = 2\alpha \left( {2 - 3u} \right)u\\ {{B'}_{3,3}}\left( u \right) = - 6\left( {1 - \alpha } \right){u^2} + 2\left( {3 - 2\alpha } \right)u \end{array} \right. $

(10)

当 $0≤u≤1$ ， $0<\alpha ≤1$ 时，由式(10)可得，

(1) ${{B'}_{3,0}}\left( u \right) \le 0$ ，即 ${B_{3,0}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递减，故 ${B_{3,0}}\left( u \right)$ 在区间[0, 1]上仅有一个最大值。

(2) 当 $0 \le u \le \frac{1}{3}$ 时，有 ${{B'}_{3,1}}\left( u \right) \ge 0$ ，即此时 ${B_{3,1}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递增；当 $\frac{1}{3} \le u \le 1$ 时，有 ${{B'}_{3,1}}\left( u \right) \le 0$ ，即此时 ${B_{3,1}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递减.故 ${B_{3,1}}\left( u \right)$ 仅在 $u = \frac{1}{3}$ 处取最大值。

(3) 当 $0 \le u \le \frac{2}{3}$ 时，有 ${{B'}_{3,2}}\left( u \right) \ge 0$ ，即此时 ${B_{3,2}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递增；当 $\frac{2}{3} \le u \le 1$ 时，有 ${{B'}_{3,2}}\left( u \right) \le 0$ ，即此时 ${B_{3,2}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递减.故 ${B_{3,2}}\left( u \right)$ 仅在 $u = \frac{2}{3}$ 处取最大值。

(4) 由于 ${{B'}_{3,3}}\left( 0 \right) = 0$ ， ${{B'}_{3,3}}\left( 1 \right) = 2\alpha > 0$ ，而 $ - 6\left( {1 - \alpha } \right) \le 0$ ，故有 ${{B'}_{3,3}}\left( u \right) \ge 0$ ，即 ${B_{3,3}}\left( u \right)$ 关于变量 $u$ 单调递增，故 ${B_{3,3}}\left( u \right)$ 在区间[0, 1]上仅有一个最大值。

5) 固定变量 $u$ 时，由式(8)可得

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{3,0}}\left( u \right)}}{{{\rm{d}}\alpha }} = - 2u{\left( {1 - u} \right)^2} \le 0 $

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{3,1}}\left( u \right)}}{{{\rm{d}}\alpha }} = 2u{\left( {1 - u} \right)^2} \ge 0 $

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{3,2}}\left( u \right)}}{{{\rm{d}}\alpha }} = 2{u^2}\left( {1 - u} \right) \ge 0 $

$ \frac{{{\rm{d}}{B_{3,3}}\left( u \right)}}{{{\rm{d}}\alpha }} = - 2{u^2}\left( {1 - u} \right) \le 0 $

从而， ${B_{3,0}}\left( u \right)$ 与 ${B_{3,3}}\left( u \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递减， ${B_{3,1}}\left( u \right)$ 与 ${B_{3,2}}\left( u \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递增。

6) 由式(8)与式(10)经简单计算，可得式(9)成立。证毕。

基于三次 $\alpha $ -Ball基，可定义如下一种带参数 $\alpha $ 的三次Ball曲线。

定义2    给定 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中的4个控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_i}\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ ，对于 $0≤u≤1$ ， $0<\alpha ≤1$ ，称曲线

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^3 {{B_{3,i}}\left( u \right){\mathit{\boldsymbol{p}}_i}} $

(11)

为带形状参数 $\alpha $ 的三次Ball曲线，简称为三次 $\alpha $ -Ball曲线，式中 ${B_{3,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 为式(8)表示的三次 $\alpha $ -Ball基。

由式(11)易知，当 $\alpha =1$ 时，三次 $\alpha $ -Ball曲线即为三次Ball曲线。因此，三次 $\alpha $ -Ball曲线是三次Ball曲线的一种同次扩展。

由定理1不难可得，三次 $\alpha $ -Ball曲线具有下列性质。

性质1    凸包性

由三次 $\alpha $ -Ball基的非负性与单位分解性可知，三次 $\alpha $ -Ball曲线位于控制多边形所形成的凸包内。

性质2    对称性

由三次 $\alpha $ -Ball基的对称性不难可知，控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_i}\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 确定的三次 $\alpha $ -Ball曲线与控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{3 - i}}\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 确定的三次 $\alpha $ -Ball曲线相同，仅参数化方向相反而已。

性质3    几何不变性与仿射不变性

由于式(11)为参数式方程，故当参数 $\alpha $ 取定时，三次 $\alpha $ -Ball曲线的形状仅依赖于控制顶点，而与坐标系的选取无关。对控制多边形进行仿射变换后，相应的三次 $\alpha $ -Ball曲线也会随之进行相同的仿射变换。

性质4    形状可调性

由于带有参数 $\alpha $ ，故当控制顶点固定时，三次 $\alpha $ -Ball曲线的形状可通过参数 $\alpha $ 的取值进行调整。

性质5    变差缩减性与保凸性

平面内的任何一条直线与三次 $\alpha $ -Ball曲线的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点个数；当控制多边形为凸时，三次 $\alpha $ -Ball曲线亦为凸。这一性质的具体证明方法可参见文献[11]。

性质6    端点性

由式(9)经简单计算可得，曲线在端点处满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}\\ {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_3}\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_3}\left( 0 \right) = 2\alpha \left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}} \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_3}\left( 1 \right) = 2\alpha \left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_2}} \right) \end{array} \right. $

(12)

记第 $i$ 段 $\alpha $ -Ball曲线的方程为

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right) = \sum\limits_{j = 0}^3 {{B_{3,j}}\left( u \right){\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,j}}} $

(13)

式中， ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,j}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$ 为控制顶点； ${B_{3,j}}\left( u \right)\left( {j = 0,1,2,3} \right)$ 为三次 $\alpha $ -Ball基，且其对应的参数设为 $\alpha_i $ 。一般地，若相邻两段的三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( u \right)$ 之间满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\lambda _i}{{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right) \end{array} \right. $

则称这两段相邻曲线满足 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接，式中 ${\lambda _i}$ 为给定的非负常数。特别地，当 ${\lambda _i}=1$ 时，称这两端相邻曲线满足 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接。下面给出相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线的 ${{\rm{G}}^1}$ 或 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接条件。

定理2    若相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( u \right)$ 的控制顶点满足

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}} $

${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i.2}} = {\delta _i}({\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,1}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}})$ ( ${\delta _i}$ 为非负常数)，则它们之间达到 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接。进一步地，当相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( u \right)$ 的参数满足 $\frac{{{\alpha _{i + 1}}}}{{{\alpha _i}}} = {\delta _i}$ 时，它们之间达到 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接。

证明    由式(12)与式(13)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( 1 \right) = 2{\alpha _i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,2}}} \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i + 1,3}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right) = 2{\alpha _{i + 1}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,1}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}}} \right) \end{array} \right. $

(14)

由于 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}}$ ， ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i.2}} = {\delta _i}({\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,1}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}})$ ，故由式(14)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\lambda _i}{{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right) \end{array} \right. $

(15)

式中， ${\lambda _i} = \frac{{{\alpha _i}}}{{{\alpha _{i + 1}}}}{\delta _i}$ 。

式(15)即表明相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( u \right)$ 之间满足 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接。特别地，当 $\frac{{{\alpha _{i + 1}}}}{{{\alpha _i}}} = {\delta _i}$ ，即 ${\lambda _i} = 1$ 时，有

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( 1 \right) = {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i + 1,3}}\left( 0 \right) \end{array} \right. $

(16)

式(16)即表明相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 与 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i + 1,3}}\left( u \right)$ 之间满足 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接。证毕。

注1    事实上，相邻两段三次 $\alpha $ -Ball曲线的控制顶点满足一定条件时，它们之间还可达到 ${{\rm{G}}^2}$ 或 ${{\rm{C}}^2}$ 拼接，限于篇幅，这里不作详细讨论。

当控制顶点保持不变时，三次Ball曲线的形状将会随之确定，而三次 $\alpha $ -Ball曲线的形状则可通过参数 $\alpha $ 进行调整，这无疑增强了曲线的表现能力。具体地，参数 $\alpha $ 对三次 $\alpha $ -Ball曲线的形状具有如下影响。

定理3    当控制顶点保持不变时，参数 $\alpha $ 的取值越大，三次 $\alpha $ -Ball曲线越靠近其控制多边形。

证明    将式(11)改写为矩阵形式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( u \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&u&{{u^2}}&{{u^3}} \end{array}} \right) \times }\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ - 2\alpha \\ 4\alpha - 3\\ 2 - 2\alpha \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 2\alpha \\ - 4\alpha \\ 2\alpha \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 2\alpha \\ - 2\alpha \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 3 - 2\alpha \\ 2\alpha - 2 \end{array} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_0}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_3}} \end{array}} \right)} \end{array} $

(17)

而由控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{q}}_i}\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 确定的三次Bézier曲线 ${\mathit{\boldsymbol{B}}_3}\left( u \right)$ 可表示为^[16]

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( u \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&u&{{u^2}}&{{u^3}} \end{array}} \right)}\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ - 3\\ 3\\ - 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 3\\ - 6\\ 3 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 3\\ - 3 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{q}}_0}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{q}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{q}}_2}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{q}}_3}} \end{array}} \right)} \end{array} $

(18)

对比式(17)与式(18)可得三次Bézier曲线与三次 $\alpha $ -Ball曲线之间的控制顶点关系式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{q}}_0} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}\\ {\mathit{\boldsymbol{q}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_0} + \frac{{2\alpha }}{3}\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{q}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_3} + \frac{{2\alpha }}{3}\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_3}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{q}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_3} \end{array} \right. $

(19)

由式(19)可知，参数 $\alpha $ 的取值越大，三次Bézier曲线的控制多边形 $\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{p}}_0}{\mathit{\boldsymbol{p}}_1}{\mathit{\boldsymbol{p}}_2}{\mathit{\boldsymbol{p}}_3}} \right\rangle $ 越逼近三次 $\alpha $ -Ball曲线的控制多边形 $\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{q}}_0}{\mathit{\boldsymbol{q}}_1}{\mathit{\boldsymbol{q}}_2}{\mathit{\boldsymbol{q}}_3}} \right\rangle $ 。从而，由三次Bézier曲线的逼近性可知，参数 $\alpha $ 的取值越大，三次 $\alpha $ -Ball曲线靠近其控制多边形。证毕。

图 1为参数 $\alpha $ 取不同值时的三次 $\alpha $ -Ball曲线，其中参数 $\alpha $ 由下到上依次取为0.2，0.4，0.6，0.8，1.0。在图 1中，参数 $\alpha $ =1.0对应的曲线即为三次Ball曲线。

进一步地，由定理2可知，取定合适的控制顶点后，当 $n$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 拼接成一整条 ${{\rm{G}}^1}$ 连续曲线时，若只修改其中第 $j$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{j,3}}\left( u \right)$ 的参数 $\alpha_j $ ，将仅会对该段曲线的形状有影响，而对其他曲线段的形状没有任何影响，此即表明利用参数可实现对整条 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接曲线的局部调整，如图 2所示。在图 2中，整条 ${{\rm{G}}^1}$ 连续的曲线由4段三次 $\alpha $ -Ball曲线拼接而成，取参数 ${\alpha _i}\left( {i = 1,3,4} \right)$ 为0.8, 而参数 $\alpha_2 $ 分别取为0.6(长虚线)、0.8(实线)与1.0(长虚线), 从而通过参数 $\alpha_2 $ 实现了对第2段曲线的局部调整。

若取 $n$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线的参数为 ${\alpha _i} = \alpha \left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ ，则可利用参数 $\alpha $ 实现对整条 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接曲线的整体调整，如图 3所示。在图 3中，4段三次 $\alpha $ -Ball曲线的参数 $\alpha $ 都分别取为0.6(长虚线)、0.8(实线)与1.0(长虚线)，从而通过参数 $\alpha $ 实现了对曲线的整体调整。

类似地，由定理2可知，取定合适的控制顶点后，当 $n$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 拼接成一整条 ${{\rm{C}}^1}$ 连续曲线时，若修改第 $j$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{j,3}}\left( u \right)$ 的参数 $\alpha_j $ ，为了保证整条拼接曲线满足 ${{\rm{C}}^1}$ 连续，其他各段曲线的参数也会随之改变，此即表明利用参数可实现对整条 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接曲线的整体调整，如图 4所示。在图 4中，由于相邻两段曲线的控制顶点之间满足

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,2}} = {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,1}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + 1,0}}\left( {i = 1,2,3} \right) $

故由定理2可知，为了保证整条曲线满足 ${{\rm{C}}^1}$ 拼接，4段曲线的参数应满足 ${\alpha _{i + 1}} = {\alpha _i}\left( {i = 1,2,3} \right)$ ，即4段曲线的参数都可取同一值 $\alpha $ ，从而通过参数 $\alpha $ 实现了对曲线的整体调整，这里参数 $\alpha $ 分别取为0.6(长虚线)、0.8(实线)与1.0(长虚线)。

需要说明的是，虽然三次 $\alpha $ -Ball曲线逼近控制多边形的程度比三次Ball曲线弱，但不可否认的是，由于三次 $\alpha $ -Ball曲线带有自由参数 $\alpha $ ，故在控制顶点保持不变的情况下，可通过改变参数 $\alpha $ 的取值以使得曲线具有不同的形状，这使得三次 $\alpha $ -Ball曲线比三次Ball曲线具有更强的表现能力。另外，在许多实际工程问题中，往往需要根据特定的物理或几何目标使得曲线满足相应的要求，此时三次Ball曲线会显得力不从心，而三次 $\alpha $ -Ball曲线则可根据给定的准则来确定参数 $\alpha $ 的合适取值以获得满足要求的曲线。下面讨论三次 $\alpha $ -Ball曲线的参数选取准则。

设整条 ${{\rm{G}}^1}$ 连续曲线由 $n$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 拼接而成，每段曲线的参数设为 ${\alpha _i}\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 。若需要根据某种目标使得整条 ${{\rm{G}}^1}$ 连续三次 $\alpha $ -Ball曲线满足相应的要求，此时则可根据给定的准则来确定参数 ${\alpha _i}\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 的合适取值。为了确定参数的合适取值，下面给出3种选取准则。

准则1    曲线的弧长最短

一般地，三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 的弧长可表示为 $L = \int_0^1 {\left| {\mathit{\boldsymbol{R}}{\prime _{i,3}}\left( u \right)} \right|{\rm{d}}u} $ 。因此, 给定控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + j}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$ 后，要使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 具有最短弧长，则需要确定参数 $\alpha_i $ 的最佳取值，即有优化模型

$ 有优化模型\left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;L\left( {{\alpha _i}} \right) = \int_0^1 {\left| {{{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( u \right)} \right|{\rm{d}}u} \\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(20)

为方便计算，可将式(21)近似转化为

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;L\left( {{\alpha _i}} \right) = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_{i,3}}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} \\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(21)

依据式(8)，可将式(13)改写为

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right) = {\mathit{\boldsymbol{L}}_i}\left( u \right){\alpha _i} + {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}\left( u \right) $

(22)

式中

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{L}}_i}\left( u \right) = 2u{\left( {1 - u} \right)^2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,1}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,0}}} \right) - \\ 2{u^2}\left( {1 - u} \right)\left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,2}}} \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}\left( u \right) = {\left( {1 - u} \right)^2}\left( {1 + 2u} \right){\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,0}} + {u^2}\left( {3 - 2u} \right){\mathit{\boldsymbol{p}}_{i,3}} \end{array} \right. $

将式(22)代入式(21)经计算整理可得

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;L\left( {{\alpha _i}} \right) = {A_{1i}}\alpha _i^2 + 2{B_{1i}}{\alpha _i} + {C_{1i}}\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(23)

式中， ${A_{1i}}$ ， ${B_{1i}}$ ， ${C_{1i}}$ 为常数，分别为

$ {A_{1i}} = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{L'}}}_i}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} $

$ {B_{1i}} = \int_0^1 {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{L'}}}_i}\left( u \right) \cdot {{\mathit{\boldsymbol{M'}}}_i}\left( u \right)} \right){\rm{d}}u} $

$ {C_{1i}} = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{M'}}}_i}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} $

求解式(23)即可得能使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 具有最短弧长的参数 $\alpha_i $ 。例如，在图 5中，整条 ${{\rm{G}}^1}$ 连续曲线由2段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)\left( {i = 1,2} \right)$ 拼接而成，通过求解式(23)可得 ${\alpha _1} = 0.210\;0$ ， ${\alpha _2} = 0.184\;7$ ，此时获得的整条 ${G^1}$ 拼接曲线具有最短弧长。

准则2    曲线的能量值最小

一般地，三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 的能量值^[16]可近似地表示为 $E = \int_0^1 {{{({{\mathit{\boldsymbol{R''}}}_{i,3}}\left( u \right))}^2}{\rm{d}}u} $ 。因此，给定控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + j}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$ 后，要使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 的能量值最小，则需要确定参数 $\alpha_i $ 的最佳取值，即有优化模型

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;E\left( {{\alpha _i}} \right) = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{R''}}}_{i,3}}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} \\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(24)

将式(22)代入式(21)经计算整理可得

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;E\left( {{\alpha _i}} \right) = {A_{2i}}\alpha _i^2 + 2{B_{2i}}{\alpha _i} + {C_{2i}}\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(25)

式中, ${A_{2i}}$ ， ${B_{2i}}$ ， ${C_{2i}}$ 为常数，分别为

$ {A_{2i}} = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{L''}}}_i}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} ,{B_{2i}} = \int_0^1 {\left( {{{\mathit{\boldsymbol{L''}}}_i}\left( u \right) \cdot {{\mathit{\boldsymbol{M''}}}_i}\left( u \right)} \right){\rm{d}}u} $

$ {C_{2i}} = \int_0^1 {{{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{M''}}}_i}\left( u \right)} \right)}^2}{\rm{d}}u} $

求解式(25)即可得能使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 能量值最小的参数 $\alpha_i $ 。例如，对于图 5给定的控制顶点，通过求解式(25)可得 ${\alpha _1} = 0.807\;7$ ， ${\alpha _2} = 0.668\;9$ ，此时获得的整条 ${G^1}$ 拼接曲线能量值最小，如图 6所示。

准则3    曲线兼具弧长最短与能量值最小

给定控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_{i + j}}\left( {j = 0,1,2,3} \right)$ 后，要使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 同时具有弧长最短与能量值最小，则有优化模型

$ \left\{ \begin{array}{l} \min \;\;\;F\left( {{\alpha _i}} \right) = L\left( {{\alpha _i}} \right) + E\left( {{\alpha _i}} \right)\\ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;0 < {\alpha _i} \le 1 \end{array} \right. $

(26)

求解式(26)即可得能使三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)$ 同时具有弧长最短与能量值最小的参数 $\alpha_i $ 。例如，对于图 5给定的控制顶点，通过求解式(26)可得 ${\alpha _1} = 0.771\;7$ ， ${\alpha _2} = 0.641\;4$ ，此时获得的整条 ${{\rm{G}}^1}$ 拼接曲线同时具有弧长最短与能量值最小，如图 7所示。

注2    对于由 $n$ 段三次 $\alpha $ -Ball曲线 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_{i,3}}\left( u \right)\left( {i = 1,2, \ldots ,n} \right)$ 拼接而成的 ${{\rm{C}}^1}$ 连续曲线而言，当控制顶点取定时，由定理2可知，只需确定第1段曲线的参数 $\alpha_1 $ 后，便可根据拼接条件自动获得其他各段曲线的参数取值，而参数 $\alpha_1 $ 则可依据所给的3个准则进行选取，这里不再赘述。

在三次 $\alpha $ -Ball基的基础上，借助高次Ball基的递推性^[2]，可定义如下的任意 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基。

定义3    对于 $0≤u≤1$ ， $0<\alpha ≤1$ ，下列关于变量 $u$ 的函数 ${B_{n,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ 称为带参数 $\alpha $ 的 $n(n≥4)$ 次Ball基, 简称为 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基。

1) 当 $n$ 为偶数时

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{n,i}}\left( u \right) = {B_{n - 1,i}}\left( u \right)\;\;\;\;\left( {i = 0,1, \cdots ,n/2 - 2} \right)\\ {B_{n,j}}\left( u \right) = {B_{n - 1,j - 1}}\left( u \right)\;\;\;\;\left( {j = n/2 + 2,n/2 + 3, \cdots ,n} \right)\\ {B_{n,n/2 - 1}}\left( u \right) = \left( {1 - u} \right){B_{n - 1,n/2 - 1}}\left( u \right)\\ {B_{n,n/2}}\left( u \right) = u{B_{n - 1,n/2 - 1}}\left( u \right) + \left( {1 - u} \right){B_{\left. {n - 1,n/2} \right]}}\left( u \right)\\ {B_{n,n/2 + 1}}\left( u \right) = u{B_{n - 1,n/2}}\left( u \right) \end{array} \right. $

(27)

2) 当 $n$ 为奇数时

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{n,i}}\left( u \right) = {B_{n - 1,i}}\left( u \right)\;\;\;\;\left( {i = 0,1, \cdots ,\left( {n - 3} \right)/2} \right)\\ {B_{n,j}}\left( u \right) = {B_{n - 1,j - 1}}\left( u \right)\;\;\;\;\left( {j = \left( {n + 3} \right)/2,} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left( {n + 5} \right)/2, \cdots ,n} \right)\\ {B_{n,\left( {n - 1} \right)/2}}\left( u \right) = \left( {1 - u} \right){B_{n - 1,\left( {n - 1} \right)/2}}\left( u \right)\\ {B_{n,\left( {n + 1} \right)/2}}\left( u \right) = u{B_{n - 1,\left( {n - 1} \right)/2}}\left( u \right) \end{array} \right. $

(28)

式中， ${B_{3,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 为式(8)表示的三次 $\alpha $ -Ball基。

基于三次 $\alpha $ -Ball基，由式(27)与式(28)按顺序经简单推导可得任意 $n(n≥4)$ 次Ball基的表达式。

例如，当 $n=4$ 时，四次 $\alpha $ -Ball基的表达式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{4,0}}\left( u \right) = {\left( {1 - u} \right)^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)u} \right)\\ {B_{4,1}}\left( u \right) = 2\alpha {\left( {1 - u} \right)^3}u\\ {B_{4,2}}\left( u \right) = 4\alpha {\left( {1 - u} \right)^2}{u^2}\\ {B_{4,3}}\left( u \right) = 2\alpha \left( {1 - u} \right){u^3}\\ {B_{4,4}}\left( u \right) = {u^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - u} \right)} \right) \end{array} \right. $

当 $n=5$ 时，五次 $\alpha $ -Ball基的表达式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{5,0}}\left( u \right) = {\left( {1 - u} \right)^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)u} \right)\\ {B_{5,1}}\left( u \right) = 2\alpha {\left( {1 - u} \right)^3}u\\ {B_{5,2}}\left( u \right) = 4\alpha {\left( {1 - u} \right)^3}{u^2}\\ {B_{5,3}}\left( u \right) = 4\alpha {\left( {1 - u} \right)^2}{u^3}\\ {B_{5,4}}\left( u \right) = 2\alpha \left( {1 - u} \right){u^3}\\ {B_{5,5}}\left( u \right) = {u^2}\left( {1 + 2\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - u} \right)} \right) \end{array} \right. $

根据定理1，利用数学归纳法可证明任意 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基亦具有如下性质;

1) 非负性： ${B_{n,i}}\left( u \right) \ge 0\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ 。

2) 单位分解性： $\sum\limits_{i = 0}^n {{B_{n,i}}\left( u \right)} \equiv 1$ 。

3) 对称性： ${B_{n,i}}\left( u \right) = {B_{n,n - i}}\left( {1 - u} \right)\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ 。

4) 单峰性： ${B_{n,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ 在区间[0, 1]上仅有一个最大值。

5) 关于参数 $\alpha $ 的单调性：固定变量 $u$ 时， ${B_{n,0}}\left( u \right)$ 与 ${B_{n,n}}\left( u \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递减， ${B_{n,j}}\left( u \right)\left( {j = 1,2, \ldots ,n - 1} \right)$ 关于参数 $\alpha $ 单调递增。

6) 端点性：在端点处有

$ {B_{n,i}}\left( 0 \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;i = 0\\ 0\;\;\;i \ne 0 \end{array} \right. $

$ {B_{n,i}}\left( 1 \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;i = n\\ 0\;\;\;i \ne n \end{array} \right. $

$ {{B'}_{n,i}}\left( 0 \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2\alpha \;\;\;\;i = 0\\ 2\alpha \;\;\;\;\;\;i = 1\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;i \ne 0,1 \end{array} \right. $

$ {{B'}_{n,i}}\left( 1 \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;i = n\\ - 2\alpha \;\;\;\;\;\;i = n - 1\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i \ne n - 1,n \end{array} \right. $

基于 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基，可定义如下一种带参数 $\alpha $ 的 $n(n≥4)$ 次Ball曲线。

定义4    给定 $\mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{R}^3$ 中的 $n+1$ 个控制顶点 ${\mathit{\boldsymbol{p}}_i}\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ ，对于 $0≤u≤1$ ， $0<\alpha ≤1$ ，称曲线

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_n}\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{B_{n,i}}\left( u \right){\mathit{\boldsymbol{p}}_n}} $

(29)

为带形状参数 $\alpha $ 的 $n(n≥4)$ 次Ball曲线，简称为 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball曲线，式中 ${B_{n,i}}\left( u \right)\left( {i = 0,1, \ldots ,n} \right)$ 为式(27)与式(28)表示的 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基。

由 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基的性质，不难可得 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball曲线与三次 $\alpha $ -Ball曲线具有相同的性质，即

1) 凸包性。

2) 对称性。

3) 几何不变性与仿射不变性。

4) 形状可调性。

5) 变差缩减性与保凸性。

6) 端点性。曲线在端点处满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_n}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}\\ {\mathit{\boldsymbol{R}}_n}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{p}}_n}\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_n}\left( 0 \right) = 2\alpha \left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_0}} \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{R'}}}_n}\left( 1 \right) = 2\alpha \left( {{\mathit{\boldsymbol{p}}_n} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{n - 1}}} \right) \end{array} \right. $

与三次 $\alpha $ -Ball曲线类似，也可讨论 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball曲线的拼接、参数对曲线形状的影响以及参数的选取准则等问题，这里不再赘述。

图 8为当参数 $\alpha $ 取不同值时，分别利用四次与五次 $\alpha $ -Ball曲线生成的不同图形，其中参数 $\alpha $ 由内到外分别取为0.2，0.4，0.6，0.8，1.0。

为了构造出带参数的同次Ball基，首先将三次Ball基的定义区间由[0, 1]扩展为 $[0, \alpha ] (0<\alpha ≤1)$ 构造出一种带参数 $\alpha $ 的三次Ball基，并称之为三次 $\alpha $ -Ball基，然后在此基础上借助高次Ball基的递推性构造了任意 $n(n≥4)$ 次 $\alpha $ -Ball基。基于 $\alpha $ -Ball基定义的 $\alpha $ -Ball曲线是Ball曲线的一种同次扩展，该曲线不仅保留了Ball曲线的诸多性质，而且还可通过所带的参数 $\alpha $ 使得曲线具有更强的表现能力。进一步地，可运用张量积将 $\alpha $ -Ball曲线推广到曲面形式，也可继续探讨 $\alpha $ -Ball曲线与曲面在图像处理、虚拟现实等实际工程中的应用，这些将是下一步需要研究的问题。