0 引言

在计算机辅助设计中，构造整体曲线曲面时常会产生冗余数据。如图 1所示，使用有理二次Bézier模型^[1]画圆时，至少需要6个控制顶点。而在数学中，不共线的3点就可以确定一个圆，可见该造型中存在冗余数据。

图 1 冗余数据的例子

Fig. 1 Example for redundant data

事实上，在构造整条曲线过程中，不同段的控制顶点之间可能存在某种联系。因此，如果知道某段的控制顶点和一些形状参数，就能得到整条曲线而且可以减少冗余数据，所以要研究整体曲线。

整体曲线包括两个部分：传统有限闭区间上的曲线段(在本文称之为内部段)及该区间外的延拓段。例如Bézier曲线，区间[0, 1]上是内部段，区间之外是延拓段。要想减少整体曲线的冗余数据，就需要知道这两部分间的关系，并要判断它们是否在同一曲线上。据此，提出以下问题：

1) 给定曲线的内部段，当其参数区间在$ {\boldsymbol{\rm{R}}} $上运动时，控制顶点的变动情况。

2) 判定两条相邻C-Bézier曲线是否在同一整体曲线上。

对上述问题，在文献[1]中，采用开花算法将任意区间[$a$, $b$]上的Bézier曲线定义到[0, 1]上后，重新计算了控制顶点。在这里，选择对空间$ {\mathit{\Gamma }_n} = {\rm{span}}\left\{ {1, t, \cdots {t^n}, \sin \left( t \right), \cos \left( t \right)} \right\} $上的C-Bézier曲线进行研究。原因如下：

1) C-Bézier曲线具有良好的几何性质，它可以扩展为整体曲线^[2-3]。

2) C-Bézier曲线可以塑造一些不含有理形式的经典曲线，其参数区间不会由于分母的零点导致无法延伸。

C-Bézier曲线始于$n$ = 1^[4]，并扩展到任意的 $n$^[5]。它具有许多类似Bézier的性质，包括唯一的规范化B基^[6]、具有最优保形性^[7]，它还可以用来替代有理Bézier模型^[8]。此外，其基函数的定义方法可以扩展到一般的拟Bézier模型^[9]，如AH-Bézier^[10]、AHT-Bézier^[11]和$ \omega $-Bézier^[12]。因此C-Bézier曲线被广泛应用于几何造型中^[13-20]。

对于C-Bézier曲线，本文将会对上述两个问题进行解答。若其参数区间在(0, ${\rm{ \mathsf{ π} }}$)内，则可将整体C-Bézier曲线的任一分段表示为内部形式。其新的控制顶点可由旧控制顶点的线性组合或线性内插(外插)表示。通过这些控制顶点，便可判断出两个内部C-Bézier曲线是否在同一整体曲线上。

1 整体C-Bézier曲线

整体C-Bézier曲线定义类似于内部曲线的定义^[21]，唯一的区别是参数不再局限于区间[0, $\alpha$]内。

$ \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 2} {C_i^{n + 2}\left( {t;\alpha } \right){\mathit{\boldsymbol{P}}_i}} $

(1)

式中，$ \alpha \in \left( {0, {\rm{ \mathsf{ π} }}} \right) $是给定的形状参数，$ t \in \left( { - \infty, \infty } \right), {\mathit{\boldsymbol{P}}_i}, i = 0, 1, \cdots, n + 2 $是控制顶点，$ C_i^{n + 2}\left( {t;\alpha } \right), i = 0, 1, \cdots, n + 2 $是由下列公式递归生成的C-Bézier基函数

$ \left\{ \begin{array}{l} C_0^{n + 2}\left( {t;\alpha } \right) = 1 - \frac{{\int_0^t {C_0^{n + 1}\left( {s;\alpha } \right){\rm{d}}s} }}{{\delta _{0,\alpha }^{n + 1}}}\\ C_i^{n + 2}\left( {t;\alpha } \right) = \frac{{\int_0^t {C_{i - 1}^{n + 1}\left( {s;\alpha } \right){\rm{d}}s} }}{{\delta _{i - 1,\alpha }^{n + 1}}} - \\ \frac{{\int_0^t {C_i^{n + 1}\left( {s;\alpha } \right){\rm{d}}s} }}{{\delta _{i,\alpha }^{n + 1}}};\;\;\;\;1 \le i \le n + 1\\ C_{n + 2}^{n + 2}\left( {t;\alpha } \right) = \frac{{\int_0^t {C_{i + 1}^{n + 1}\left( {s;\alpha } \right){\rm{d}}s} }}{{\delta _{n + 1,\alpha }^{n + 1}}} \end{array} \right. $

(2)

$ \delta _{i,\alpha }^{n + 1} = \int_0^\alpha {C_i^{n + 1}\left( {s;\alpha } \right){\rm{d}}s} ;\;\;\;\;0 \le i \le n + 2 $

(3)

上述基函数可由以下线性p-Bézier基递推得到^[22]，即

$ \left\{ \begin{array}{l} C_0^2\left( {t;\alpha } \right) = \frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{\alpha - t}}{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ C_1^2\left( {t;\alpha } \right) = \frac{{2cos\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\alpha - t}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{t}{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ C_2^2\left( {t;\alpha } \right) = \frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{t}{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}} \end{array} \right. $

(4)

图 2为(-∞, ∞)上的整体C-Bézier曲线造型的一个例子。图 2(a)为基函数，虚线框内是传统的C-Bézier基；图 2(b)是相应的曲线，黑色较细的是整体曲线，蓝色较粗的是内部曲线，其控制顶点由蓝色圆圈表示。从图 2中可以看出，整体曲线是内部曲线的自然延拓。

图 2 $ \left( { - \infty, \infty } \right) $上的整体C-Bézier造型

Fig. 2 Example for integral C-Bézier model

((a) basis functions; (b) corresponding curve)

2 沿整体C-Bézier曲线的运动

2.1 直接形式

2.2 细分形式

在2.1节中，若 $λ$ =0， $λ$ + $μ$ ∈[0, $α$ ]，或者 $λ$ ∈[0, $α$ ]， $λ$ + $μ$ = $α$ ，则表示区间[0, $λ$ ]或[ $λ$ , $α$ ]区间上的曲线。它可以认为是原内部段的C-Bézier曲线，细分成两段相邻的子曲线的情况。

假设

$ \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)\;\;\;\;t \in \left[ {0,\lambda } \right]\\ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( t \right)\;\;\;\;t \in \left[ {\lambda ,\alpha } \right] \end{array} \right. $

(12)

$ \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 2} {C_i^{n + 2}\left( {t;\lambda } \right){\mathit{\boldsymbol{Q}}_i}} $

(13)

$ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 2} {C_i^{n + 2}\left( {t - \lambda ;\alpha - \lambda } \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_i}} $

(14)

与定理2.1类似，有如下细分定理成立。

定理 2 C-Bézier细分。令 $λ$ ∈[0, $α$ ]，[0, $α$ ]上的任意内部C-Bézier曲线式(1)可以在点$\mathit{\boldsymbol{P}}$( $λ$ )处分为两段C-Bézier曲线式(13) (14)，其控制顶点分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_i} = \sum\limits_{j = 0}^i {a_{i,j}^{n + 2}{\mathit{\boldsymbol{P}}_j}} $

(15)

且

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = \sum\limits_{j = i}^{n + 2} {b_{i,j}^{n + 2}{\mathit{\boldsymbol{P}}_j}} $

(16)

式中，系数$ a_{i, j}^{n + 2} $为

$ a_{00}^{n + 2} = 1,\;\;\;\forall n $

(17)

$ a_{j,i}^{n + 2} = a_{j + 1,i}^{n + 2} + \frac{{\delta _{j - 1,\lambda }^{n + 1}}}{{\delta _{i - 1,\alpha }^{n + 1}}}a_{j - 1,i - 1}^{n + 1} - \frac{{\delta _{j - 1,\lambda }^{n + 1}}}{{\delta _{i,\alpha }^{n + 1}}}a_{j - 1,i}^{n + 1} $

(18)

且矩阵($\mathit{\boldsymbol{a}}_{j, i}^2$)是

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}}&{\frac{{\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}}&0\\ {C_0^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)}&{C_1^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)}&{C_2^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)} \end{array}} \right) $

(19)

$ b_{n + 2,n + 2}^{n + 2} = 1,\forall n $

(20)

$ b_{j,i}^{n + 2} = b_{j + 1,i}^{n + 2} + \frac{{\delta _{j,\alpha - \lambda }^{n + 1}}}{{\delta _{i,\alpha }^{n + 1}}}b_{j,i}^{n + 1} - \frac{{\delta _{j,\alpha - \lambda }^{n + 1}}}{{\delta _{i - 1,\alpha }^{n + 1}}}b_{j,i - 1}^{n + 1} $

(21)

且

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{b}}_{j,i}^2 = }\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {C_0^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)}&{C_1^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)}&{C_2^2\left( {\lambda ;\alpha } \right)}\\ 0&{\frac{{\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}}&{\frac{{\sin \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}}\\ 0&0&1 \end{array}} \right)} \end{array} $

(22)

细分方案对任意 $n$ 均成立。它包括 $n$ =2^[21]和 $n$ =3^[23]的情况。图 3给出了细分的实例，其中 $α$ =2， $λ$ =1.2。

图 3 内部C-Bézier曲线细分的例子

Fig. 3 Example for subdividing an inner C-Bézier curve

根据定理2，可以给出以下细分形式的运动。

定理 3 以细分形式沿整体C-Bézier曲线的运动。如果 $μ$ ∈[0, ${\rm{ \mathsf{ π} }}$)，那么参数为[ $λ$ , $λ$ + $μ$ ]的整体C-Bézier曲线式(1)的任意段都可表示为内部C-Bézier曲线式(5)的形式，{$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_i} $, $i$ =0, 1, …, $n$ +2}计算步骤为

1) 由式(20)—式(22)及式(16)可得

$ \left\{ {{\mathit{\boldsymbol{R}}_i},i = 0,1, \cdots ,n + 2} \right\} $

2) 由式(17)—式(19)可得

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_i} = \sum\limits_{j = i}^{n + 2} {a_{i,j}^{n + 2}{\mathit{\boldsymbol{R}}_j}} $

(23)

式中， $α$ - $λ$ , $μ$ 分别代替 $α$ , $λ$ 。

2.3 线性插值形式

线性插值形式表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[ k \right]} = \left( {1 - r_{i,k}^{n + 2}} \right)\mathit{\boldsymbol{P}}_{i - 1}^{\left[ {k - 1} \right]} + }\\ {r_{i,k}^{n + 2}\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[ {k - 1} \right]};i = k,k + 1, \cdots ,n + 2} \end{array} $

(24)

式中，$ \left\{ {\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[k \right]}} \right\} $是第 $k$ 次插值生成的点, $ r_{i, k}^{n + 2} $为$ \mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[{k-1} \right]} $的组合系数，且

$ \mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[ 0 \right]} = {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} $

(25)

先考虑特殊的细分情况下线性插值形式。

令{$ C_{i, k}^{n + 2} $( $t$ ), $i$ =0, 1, …, $n$+2+$k$}是在原始区间[0, $α$ ]上用 $n$ +2重节点0和 $α$ 插值 $k$ 次节点 $λ$ ∈[0, $α$ ]后所生成的NUAT-B样条基。线性插值形式可通过插节点过程获得^[24]。然而，由于$ C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right) $是分段的并且有支撑区间，所以它并不能适应整体情况。为了解决这一问题，递归过程中不能出现$ C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right) $。所以使用$ C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right) $和 $t$ 轴之间区域的面积取代它，即

$ \bar \delta _{i,k}^{n + 2}: = \int_0^\alpha {C_{i,k}^{n + 2}\left( t \right){\rm{d}}t} $

这是一个关于 $λ$ 的函数，且可被推广。

首先，给出$ \bar \delta _{i, k}^{n + 2} $的递归。基于文献[24]提出的$ \left\{ {C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right)} \right\} $与 $λ$ ∈[0, $α$ ]处的细分方案间的关系，可得到关于的$ \bar \delta _{i, k}^{n + 2} $引理2。

引理 2 如果 $λ$ ∈[0, $α$ ]，则

$ \bar \delta _{i,k}^{n + 2} = \left\{ \begin{array}{l} \delta _{i,\lambda }^{n + 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = k - 1\\ r_{i,k + 1}^{n + 2}\bar \delta _{i,k + 1}^{n + 2} + \\ \left( {1 - r_{i + 1,k + 1}^{n + 2}} \right)\bar \delta _{i + 1,k + 1}^{n + 2}\;\;\;\;k \le i \le n + 2\\ \delta _{n + 3 - k,\alpha - \lambda }^{n + 2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = n + 3 \end{array} \right. $

(26)

式中， $k$ = $n$ +3, $n$ +2, …, 1。

注意到式(26)中，当 $k$ = $n$ +3时，仅定义了两项$ \bar \delta _{n + 2, n + 3}^{n + 2} $和$ \bar \delta _{n + 3, n + 3}^{n + 2} $。所以如果给定 $n$ 和$ \left\{ {r_{i, k}^{n + 2}} \right\} $，则可得$ \bar \delta _{i, k}^{n + 2} $。当 $k$ =0时，作为边界情况，对任意 $n$ 有

$ \bar \delta _{i,0}^{n + 2} = \delta _{i,\alpha }^{n + 2} $

(27)

下面考虑$ \left\{ {r_{i, k}^{n + 2}} \right\} $的递归。

引理 3 当 $n$ ≥1时，对于 $λ$ ∈[0, $α$ ]有

$ r_{i,k}^{n + 2} = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = k - 1\\ \frac{{\bar \delta _{i - 1,k}^{n + 1}}}{{\bar \delta _{i - 1,k - 1}^{n + 1}}}r_{i - 1,k}^{n + 1}\;\;\;\;\;k \le i \le n + 2\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = n + 3 \end{array} \right. $

(28)

引理可被作为文献[24]所述的$ \left\{ {C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right)} \right\} $的节点插入过程的一种情况，这点不需要证明。由式(28)可得

$ \begin{array}{l} \left( {\mathit{\boldsymbol{r}}_{i,k}^2} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}\\ {\frac{{\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}}&1&{}\\ {\frac{{\sin \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}}&{\frac{{\sin \left( {\frac{\lambda }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \lambda }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)}}}&1\\ 0&0&0 \end{array}} \right) \end{array} $

(29)

式中， $k$ =1, 2, 3且 $i$ = $k$ -1, $k$ , …, 3。

定理 4 线性插值形式的细分。令 $λ$ ∈[0, $α$ ]，则[0, $α$ ]上的任意内部C-Bézier曲线式(1)在点$ \mathit{\boldsymbol{P}}$( $λ$ )处可细分为两个C-Bézier段式(13) (14)，其控制顶点分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_i} = \mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[ i \right]} $

(30)

且

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = \mathit{\boldsymbol{P}}_n^{\left[ {n - i} \right]} $

(31)

式中，$ \left\{ {\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[k \right]}} \right\} $是由式(24) (25)递归生成，且$ \left\{ {r_{i, k}^{n + 2}} \right\} $由式(26)—式(29)得到。

再考虑一般情况下沿整体C-Bézier曲线运动的线性插值形式。由于引理2和引理3用一些$ \delta _{i, \lambda }^{n + 2}, \delta _{i, \alpha - \lambda }^{n + 2} $和$ \delta _{i, \alpha }^{n + 2} $的组合去替代分段多项式$ \left\{ {C_{i, k}^{n + 2}\left( t \right)} \right\} $。所以，引理也适用于区间[0, $α$ ]外的 $λ$ 。然而内部C-Bézier曲线的参数区间的长度需要小于 ${\rm{ \mathsf{ π} }}$ ，定理4不能直接推广。不过随着内部C-Bézier曲线参数区间的变化，尽管内部形式可能不存在，整体曲线上每个点的位置却不会改变。针对这点，可使用递归求值。

像Bézier曲线一样，定理4也给出$ \mathit{\boldsymbol{P}}\left( \lambda \right) $递归求值过程

$ \mathit{\boldsymbol{P}}\left( \lambda \right) = \mathit{\boldsymbol{P}}_{n + 2}^{\left[ {n + 2} \right]} $

(32)

且

$ {{\mathit{\boldsymbol{P'}}}_n}\left( \lambda \right)\left\| {\mathit{\boldsymbol{P}}_{n + 1}^{\left[ {n + 1} \right]}\mathit{\boldsymbol{P}}_{n + 2}^{\left[ {n + 1} \right]}} \right. $

(33)

式中， $λ$ ∈[0, $α$ ]。对于任意 $λ$ 和任意 $μ$ ∈(0, ${\rm{ \mathsf{ π} }}$ )，在[ $λ$ , $λ$ + $μ$ ]上的C-Bézier曲线段用两次递归求值表示，由此可产生线性插值(包括内插和外插)形式。最后，有定理5。

定理 5 以线性插值形式沿整体C-Bézier曲线的运动。如果 $μ$ ∈[0, ${\rm{ \mathsf{ π} }}$ )，则参数为[ $λ$ , $λ$ + $μ$ ]上的整体C-Bézier曲线式(1)的任意段可表为形如式(5)的C-Bézier形式，式中控制顶点为

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_i} = \mathit{\boldsymbol{\bar P}}_i^{\left[ i \right]} $

(34)

其计算步骤为：

1) 由式(24)—式(29)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{P}}_i^{\left[ k \right]};k = 0,1, \cdots ,n + 2;\\ i = k,k + 1, \cdots ,n + 2 \end{array} \right\} $

2) 令

$ \mathit{\boldsymbol{\bar P}}_i^{\left[ 0 \right]} = \mathit{\boldsymbol{P}}_n^{\left[ {n - i} \right]} $

(35)

由式(24), 式(26)—式(29)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\bar P}}_i^{\left[ k \right]};k = 1,2, \cdots ,n + 2;\\ i = k,k + 1, \cdots ,n + 2 \end{array} \right\} $

式中， $\mathit{\boldsymbol{\bar P}}$ , $α$ - $λ$ , $μ$ 分别取代 $\mathit{\boldsymbol{P}}$ , $α$ , $λ$ 。

图 4给出了一个沿整体曲线运动的示例，其中 $α$ =1， $λ$ =1.2和 $μ$ =0.5。在所有的子图中，末尾红色星号标记的控制顶点是相同的，它们对应的红色曲线都在黑色整体曲线上，这与公式相吻合。

图 4 沿整体C-Bézier曲线运动的例子

Fig. 4 Example for movement along an inner C-Bézier curve

((a) direct form; (b) subdivision form; (c) line interpolation form)

2.4 两条给定内部C-Bézier曲线是否在同一整体曲线上的判断

3 应用

1) 沿整体C-Bézier曲线的运动可用于放缩给定C-Bézier曲线的参数区间, 缩放后的控制顶点可由直接形式、细分形式或线性插值形式计算得到，如图 5所示。当参数区间长度增加或减小时，黑色的整体曲线保持不变。

图 5 放缩参数区间的例子

Fig. 5 Example for scaling parameter interval

2) 考虑整体曲线，可用于减少冗余数据。图 6给出一个5圈的螺线。如果将整体螺线表示为4阶内部C-Bézier曲线形式，因为后者的参数区间长度小于${\rm{ \mathsf{ π} }}$，所以至少要用11段，其上共有34个控制顶点。但是如果是整体曲线，则它只需4个控制顶点，并将参数域扩展到[0, 10${\rm{ \mathsf{ π} }}$]即可，扩展后的控制顶点由直接形式、细分形式或线性插值形式计算得到。在下图中，蓝色曲线表示该曲线段，圆圈表示其控制顶点。此外，即使圈数增加，也不需要增加控制点的数量，只需要扩展参数的区间。当只关注这整条螺线的其中一段时，该段的内部形式可由运动来得到，这与传统模式相吻合。

图 6 整体曲线减少冗余的例子

Fig. 6 Example for reducing redundancy by considering integral curve

3) 如果两个相邻的内部C-Bézier曲线在同一整体曲线上，那么在存储时可减少冗余数据。如图 7所示，给定两个6阶内部C-Bézier曲线$ \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $和$ \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $。它们的参数分别为 $α$ =2, $β$ =1，在图 7中，圆圈和星号分别代表相应曲线的控制顶点，且两条曲线在点$ \mathit{\boldsymbol{P}}$₅=$ \mathit{\boldsymbol{Q}}$₀处相连。如果 $ε$ =0.5，那么两条曲线在同一整体曲线上，其中之一的数据可以用于保存这条整体曲线。如果 $ε$ =0.1，则它们不在同一整体曲线上，还与原来一样，分两段保存。

图 7 判断是否为同一整体曲线的例子

Fig. 7 Example for judging the same integral

4 结论

参考文献

[1] Farin G E. Curves and Surfaces for CAGD:A Practical Guide[M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2001.
[2] Hoffmann M, Li Y J, Wang G. Paths of C-Bézier and C-B-spline curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23(5): 463–475. [DOI:10.1016/j.cagd.2006.03.001]
[3] Shen W Q, Wang G Z. Geometric shapes of C-Bézier curves[J]. Computer-Aided Design, 2015, 58: 242–247. [DOI:10.1016/j.cad.2014.08.007]
[4] Zhang J W. C-curves:an extension of cubic curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(3): 199–217. [DOI:10.1016/0167-8396(95)00022-4]
[5] Chen Q Y, Wang G Z. A class of Bézier-like curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 29–39. [DOI:10.1016/S0167-8396(03)00003-7]
[6] Wang G Z, Li Y J. Optimal properties of the uniform algebraic trigonometric B-splines[J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23(2): 226–238. [DOI:10.1016/j.cagd.2005.09.002]
[7] Carnicer J M, Peña J M. Totally positive bases for shape preserving curve design and optimality of B-splines[J]. Computer Aided Geometric Design, 1994, 11(6): 635–654. [DOI:10.1016/0167-8396(94)90056-6]
[8] Mainar E, Peña J M. Quadratic-cycloidal curves[J]. Advances in Computational Mathematics, 2004, 20(1-3): 161–175. [DOI:10.1023/A:1025813919473]
[9] Mainar E, Peña J M. A general class of Bernstein-like bases[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2007, 53(11): 1686–1703.
[10] Li Y J, Wang G Z. Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolic space[J]. Journal of Zhejiang University-Science A, 2005, 6(7): 750–759. [DOI:10.1631/jzus.2005.A0750]
[11] Xu G, Wang G Z. AHT Bézier curves and NUAHT B-spline curves[J]. Journal of Computer Science and Technology, 2007, 22(4): 597–607. [DOI:10.1007/s11390-007-9073-z]
[12] Fang M, Wang G Z. ω-Bézier[C]//Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Computer-Aided Design and Computer Graphics. Beijing: IEEE, 2007: 38-42. [DOI:10.1109/CADCG.2007.4407852]
[13] Cai H H, Wang G J. Construction of cubic C-Bézier spiral and its application in highway design[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2010, 44(1): 68–74. [蔡华辉, 王国瑾. 三次C-Bézier螺线构造及其在道路设计中的应用[J]. 浙江大学学报:工学版, 2010, 44(1): 68–74. ] [DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2010.01.013]
[14] Zhao Y L. Study and application of C-Bézier curves and surfaces of degree n[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2005. [赵玉林. 高阶C-Bézier曲线曲面性质研究及其应用[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2005.]
[15] Chen Q Y, Wang G Z. Representation of arc with C-Bézier curve[J]. Journal of Software, 2002, 13(11): 2155–2161. [陈秦玉, 汪国昭. 圆弧的C-Bézier曲线表示[J]. 软件学报, 2002, 13(11): 2155–2161. ]
[16] Long Y T. Continuity conditions for quartic C-Bézier curves with shape parameter[J]. Journal of Shaanxi University of Science & Technology, 2012, 30(5): 113–117. [龙艳婷. 四次C-Bézier曲线的拼接技术研究[J]. 陕西科技大学学报, 2012, 30(5): 113–117. ] [DOI:10.3969/j.issn.1000-5811.2012.05.028]
[17] Chen J L. Biarc approximation of C-Bézier curve[J]. Journal of Hangzhou Dianzi University, 2010, 30(1): 78–80. [陈建兰. C-Bézier曲线的双圆弧逼近[J]. 杭州电子科技大学学报, 2010, 30(1): 78–80. ] [DOI:10.3969/j.issn.1001-9146.2010.01.020]
[18] Cai H H, Wang G J. Approximating logarithmic spiral segments by polynomial and C-Bézier[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2009, 43(6): 999–1004. [蔡华辉, 王国瑾. 对数螺线段的多项式逼近与C-Bézier逼近[J]. 浙江大学学报:工学版, 2009, 43(6): 999–1004. ] [DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2009]
[19] Liu H Y. Joining C-Bézier curves and surfaces with fairing algorithm[J]. Journal of Hebei Polytechnic University:Natural Science Edition, 2008, 30(1): 75–79. [刘华勇. C-Bézier曲线曲面的光顺拼接算法[J]. 河北理工大学学报:自然科学版, 2008, 30(1): 75–79. ] [DOI:10.3969/j.issn.1674-0262.2008.01.018]
[20] Fan J H, Zhang J W, Wu Y J. Shape modification of C-Bézier curves[J]. Journal of Software, 2002, 13(11): 2194–2200. [樊建华, 张纪文, 邬义杰. C-Bézier曲线的形状修改[J]. 软件学报, 2002, 13(11): 2194–2200. ] [DOI:10.13328/j.cnki.jos.2002.11.021]
[21] Chen Q Y, Yang X N, Wang G Z. Properties and applications Of degree 4 C-curve[J]. Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities, 2003, 18(1): 45–50. [陈秦玉, 杨勋年, 汪国昭. 四次C-曲线的性质及其应用[J]. 高校应用数学学报A辑, 2003, 18(1): 45–50. ] [DOI:10.3969/j.issn.1000-4424.2003.01.008]
[22] Sánchez-Reyes J. Harmonic rational Bézier curves, p-Bézier curves and trigonometric polynomials[J]. Computer Aided Geometric Design, 1998, 15(9): 909–923. [DOI:10.1016/S0167-8396(98)00031-4]
[23] He L N, Wang G Z. Subdivision for C-curves of degree five[J]. Journal of Zhejiang University:Science Edition, 2004, 31(2): 125–129. [何玲娜, 汪国昭. 五次C-曲线的细分[J]. 浙江大学学报:理学版, 2004, 31(2): 125–129. ] [DOI:10.3321/j.issn:1008-9497.2004.02.002]
[24] Wang G Z, Chen Q Y, Zhou M H. NUAT B-spline curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21(2): 193–205. [DOI:10.1016/j.cagd.2003.10.002]
[25] Zhang J W, Krause F L, Zhang H Y. Unifying C-curves and H-curves by extending the calculation to complex numbers[J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(9): 865–883. [DOI:10.1016/j.cagd.2005.04.009]