0 引言

1 格子玻尔兹曼方法在图像处理中的物理解释

1.1 流体力学中的格子玻尔兹曼方法

LB方法将流体看成由大量离散粒子组成的时空离散系统，这些粒子比分子大，在宏观上又无限小，粒子在2维空间节点中随机运动，节点内的粒子互相碰撞(图 1(a))并改变运动方向，一部分粒子从当前节点移动到相邻节点(图 1(b))，直到达到平衡态，节点中粒子的密度代表节点的状态。图像处理中常用的格子${\rm{D}}n{\rm{Q}}b$^{[2, 13]}如图 1(c)—(e)所示(一个格子对应一个节点，$n$表示维数，$b$表示粒子运动方向数)。描述粒子碰撞和迁移的不含源项和含源项的演化方程分别为

图 1 格子玻尔兹曼方法中粒子的碰撞扩散以及3种常用格子结构

Fig. 1 Collision and streaming of particles in the nodes and the lattice structures of lattice Boltzmann method ((a) collision; (b) streaming; (c) D2Q5; (d) D2Q9; (e) D3Q19)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_\alpha }\left( {r + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }\Delta t,t + \Delta t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right) = } \\ {\frac{1}{\tau }\left[ {f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right)} \right]} \end{array}$

(1)

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_\alpha }\left( {r + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }\Delta t,t + \Delta t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right) = } \\ {\frac{1}{\tau }\left[ {f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right)} \right] + \Delta t \cdot {F_\alpha }} \end{array}$

(2)

式中，Δ$t$为时间步长，$\tau $为无量纲松弛时间，表示粒子趋于平衡态的快慢，${{f_\alpha }\left( {r,t} \right)}$和${f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right)}$分别表示$t$时刻节点$r$处${{\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }}$方向上的粒子分布函数和局部平衡态分布函数。${f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right)}$是${{f_\alpha }\left( {r,t} \right)}$的预测值且等于${\omega _\alpha }f\left( {r,t} \right),f\left( {r,t} \right)$表示$t$时刻节点$r$处的粒子密度，${\omega _\alpha }$为平衡态分布函数权重系数，其取值一般沿用流体力学中的定义并满足$\sum\limits_\alpha {{\omega _\alpha }} = 1$。根据守恒定律，$t$时刻节点$r$处的粒子密度值$f\left( {r,t} \right) = \sum\limits_\alpha {{f_\alpha }\left( {r,t} \right)} = \sum\limits_\alpha {f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right)} $。${\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }\left( {\alpha = 0, \cdots ,b - 1} \right)$为取决于格子结构的离散速度，D2Q5和D2Q9格子的${{\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }}$为

${e_\alpha } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \left( {0,0} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \alpha = 0 \end{array}\\ \begin{array}{l} c\left( {{\rm{cos}}\left[ {\left( {\alpha - 1} \right)\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right],{\rm{sin}}\left[ {\left( {\alpha - 1} \right)\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right]} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \alpha = 1,2,3,4 \end{array}\\ \begin{array}{l} \sqrt 2 c\left( {{\rm{cos}}\left[ {\left( {2\alpha - 1} \right)\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right],{\rm{sin}}\left[ {\left( {2\alpha - 1} \right)\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \right]} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \alpha = 5,6,7,8 \end{array} \end{array}} \right.$

(3)

式中，$c = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}}$(Δ$x$和Δ$y$为网格步长且相等，下文中均设$\Delta x = \Delta y = 1,\Delta t = 1,c = 1$)。

值得注意的是，$\Delta x = c\Delta t$，即粒子在一个时间步之内恰好从一个节点移动到相邻节点，并在该节点上与其他粒子碰撞，根据这一特征可以将式(1)所示的演化方程改写为如式(4)所示的碰撞过程和式(5)所示的迁移过程。碰撞过程可以被描述为：粒子在节点中运动并碰撞，随后粒子运动方向发生改变，一部分粒子保留在原来的节点中，另一部分粒子进入相邻节点，节点中的粒子密度${f_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right)$发生改变，${\frac{1}{\tau }\left[ {f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right)} \right]}$为碰撞项。迁移过程可以被描述为碰撞后粒子向相邻节点的移动。

$\begin{array}{*{20}{c}} {{f_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right) = \frac{1}{\tau }\left[ {f_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right) - {f_\alpha }\left( {r,t} \right)} \right] + } \\ {{f_\alpha }\left( {r,t} \right)} \end{array}$

(4)

${f_\alpha }\left( {r + {\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }\Delta t,t + \Delta t} \right) = {f_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right)$

(5)

可以看到，LB方法中每一个节点在下一时刻的状态仅由当前状态以及相邻节点决定，因此LB方法是局部和并行的。

1.2 图像处理中的格子玻尔兹曼方法

物理上的扩散可以视为介质中某种浓度分布不均匀的杂质从浓度较高区域向浓度较低区域迁移的过程。如果把图像中像素的灰度值看做流体中的粒子密度，把像素灰度值的改变看做粒子重新分布的结果，就可以把LB方法从流体力学领域引入图像处理领域，此时，需要重新定义LB方法的相关变量^[11](以灰度图像为例，具体见表 1)：每个像素点对应一个节点，像素灰度值$I$代替节点粒子密度$f$，每个像素点被分成3行3列的9个“亚像素”，分别对应D2Q9格子的9个方向，每个亚像素又有若干“粒子”组成，“粒子”对应被无限划分的像素的灰度级，${I_\alpha }$和$I_\alpha ^{{\rm{eq}}}$分别表示亚像素的灰度值和灰度预测值，取代分布函数值${f_\alpha }$和平衡态分布函数值$f_\alpha ^{{\rm{eq}}}$。图像处理中的LB方法也可以分为碰撞和迁移两步。碰撞过程中，一部分粒子重新分布，另一部分保留在原来的亚像素中，此比例取决于松弛时间。迁移过程中，每个亚像素的灰度因为相邻亚像素粒子的扩散而更新。图 2中实线框内为一个像素，虚线框内为一个亚像素。碰撞过程如图 2(a)所示，${I_\alpha },{{I'}_\alpha }$和$I_\alpha ^{{\rm{eq}}}$分别表示初始的、迭代中的和最终的亚像素灰度值，${I_\alpha }$有变化为$I_\alpha ^{{\rm{eq}}}$的趋势。迁移过程如图 2(b)所示，像素点$P$左上角亚像素中的一部分粒子与像素点$Q$右下角亚像素中的一部分粒子互相进入对方(同样的过程发生在其他亚像素中)，因此亚像素的值随之改变，由于$I = \sum\limits_\alpha {{I_\alpha }} $，所以像素点$P$的值亦随着碰撞与迁移而更新。

表 1 流体力学和图像处理中格子玻尔兹曼方法参数含义比较
Table 1 Translation of definitions of key Lattice Boltzmann parameters from hydrodynamics to image processing

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流体力学	图像处理
流体节点	像素$P$
粒子密度$f$	灰度值$I$
粒子移动方向${{\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }}$	亚像素的位置${{\mathit{\boldsymbol{e}}_\alpha }}$
$\alpha $方向粒子密度函数	$\alpha $方向亚像素灰度值${I_\alpha }$
平衡态分布函数${f_\alpha ^{{\rm{eq}}}}$	$\alpha $方向亚像素灰度预测值
松弛时间$\tau $	松弛时间$\tau \left( I \right)$
时间$t$和时间步长Δ$t$	时间$t$和时间步长Δ$t$

图 2 图像处理中格子玻尔兹曼方法的碰撞和迁移

Fig. 2 The collision and streaming steps of Lattice Boltzmann method for image processing

2 格子玻尔兹曼方法在图像处理中的研究现状

2.1 图像去噪

2.1.1 自上而下

2.1.2 自下而上

2.2 图像修复

2.3 图像分割

2.3.1 自上而下

2.3.2 自下而上

2.3.3 与其他方法的结合

2.4 格子玻尔兹曼方法的加速方法研究

2.5 3维医学图像处理

2.6 小结

3 格子玻尔兹曼模型的分类

3.1 宏观角度

3.2 微观角度

LB扩散模型中${{D_{ij}}}$的具体形式为$\sum\limits_{\alpha = 0}^{b - 1} {\left( {{\tau _\alpha }\left( I \right) - \frac{1}{2}} \right){c_{\alpha i}}{c_{\alpha j}}{\omega _\alpha }} $^[15]，式中, ${{\tau _\alpha }\left( I \right)}$表示$\alpha $方向上的松弛时间，D2Q5和D2Q9的${{\omega _\alpha }}$可分别取为1/5和1/9。在考虑格子对称性的前提下松弛时间可设置为${\tau _\alpha }{\left( I \right)_{{\rm{D}}2{\rm{Q5}}}} = {\tau _{\alpha + 2}}{\left( I \right)_{{\rm{D}}2{\rm{Q5}}}}\left( {\alpha = 1,2} \right)$，${\tau _\alpha }{\left( I \right)_{{\rm{D}}2{\rm{Q9}}}} = {\tau _{\alpha + 2}}{\left( I \right)_{{\rm{D}}2{\rm{Q9}}}}\left( {\alpha = 1,2,5,6} \right)$，其中D2Q5格子中${D_{xx}} = \frac{2}{5}\left( {{\tau _1} - \frac{1}{2}} \right)$，${D_{yy}} = \frac{2}{5}\left( {{\tau _2} - \frac{1}{2}} \right)$，${D_{xy}} = {D_{yx}} = 0$，D2Q9格子中${D_{xx}} = \frac{1}{9}\left( {2{\tau _1} + 2{\tau _5} + 2{\tau _6} - 3} \right)$，${D_{yy}} = \frac{1}{9}\left( {2{\tau _2} + 2{\tau _5} + 2{\tau _6} - 3} \right)$，${D_{xy}} = {D_{yx}} = \frac{2}{9}\left( {{\tau _5} - {\tau _6}} \right)$。可以看到，若在同一像素点上${\tau _\alpha }$不尽相同，则对应的扩散模型为ADM；若$\tau $相同且为图像信息的函数，则模型为NLDM；若$\tau $相同且为常数，则模型为LDM；若${F_\alpha }$不为零，则模型为FLDM、FNLDM或者FADM。即不同扩散模型之间的本质区别在于演化方程中${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$的差异，以上两个参数会造成算法时间复杂度和图像处理效果两方面的差异，前者的差异由其计算方法造成，而后者是因为${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$会影响粒子的碰撞和迁移，进而对粒子的分布结果产生影响，最终产生不同的图像处理效果。不同扩散模型的具体形式如图 3所示。

图 3 图像扩散格子玻尔兹曼宏观模型分类

Fig. 3 Classification of image diffusion Lattice Boltzmann macro models

4 算法

4.1 标准格子玻尔兹曼算法

结合图像去噪的NLDM说明LB算法应用于图像处理的具体流程。

NLDM图像去噪算法:

1) 预计算，输入原始图像$I\left( {r,0} \right)$；

2) 迭代计算，计算松弛时间$\tau \left( I \right)$；

3) 计算平衡态分布函数：$I_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,0} \right) = {\omega _\alpha }I\left( {r,0} \right)$；

4) 碰撞过程${I_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right) - {I_\alpha }\left( {r,t} \right) = \frac{1}{{\tau \left( I \right)}}\left[ {I_\alpha ^{{\rm{eq}}}\left( {r,t} \right) - {I_\alpha }\left( {r,t} \right)} \right]$；

5) 扩散过程，${I_\alpha }\left( {r + {e_\alpha }\Delta t,t + \Delta t} \right) = {I_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right)$；

6) 更新节点质量，$I\left( {r,t + \Delta t} \right) = \sum\limits_\alpha {{I_\alpha }\left( {r,t + \Delta t} \right)} $；

7) 确定迭代是否达到PSNR，如果是执行步骤8)，否则转到步骤2)并依次执行步骤2)—7)直至满足终止条件；

8) 输出，$I\left( r \right)$。

标准LB算法流程图如图 4所示。首先将图像像素值分配到节点中，对应NLDM算法的第1)步；接下来初始化用于限制粒子扩散的$\tau \left( {\tau = g\left( {{I_0}} \right)r} \right)$，${{I_0}}$代表原始图像)，对应第2)步；初始化用于表示亚像素预测值的平衡态分布函数${\omega _\alpha }\left( {{I_0}} \right)r$，对应第3)步；以上两项的计算皆是为第4)步的碰撞和第5)步的迁移作准备，将以上两项带入演化方程式(1)即可得到新的分布函数值；对不同方向的分布函数值求和即得新的节点值(即像素值)，对应第6)步；根据计算得到的像素值计算整幅图像的峰值信噪比(PSNR)，如果达到最高，则终止迭代过程并输出去噪后的图像，对应第7)8)步；否则，根据新的像素值重新计算$\tau $以及平衡态分布函数，随后重复碰撞、迁移过程并更新像素值，计算PSNR，即重复第2)—7)步，直到满足迭代终止条件。

图 4 标准格子玻尔兹曼算法流程图

Fig. 4 Flow chart of standard Lattice Boltzmann algorithm

4.2 不同模型的实现算法

4.3 不同模型算法时间复杂度的差异

假设：格子结构采用D2Q$b$，图像总像素数为$N$，计算机中存储每个像素值需要$m$位数，${\omega _\alpha }$以及$\tau $均为$m$位数，赋值操作的复杂度为O(1)，加法的复杂度正比于数的长度，即复杂度为${\rm{O}}\left( m \right)$，乘法采用硬乘法，则复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$，开方运算的复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$。

基于以上假设：1)所有算法设定初始条件的复杂度均为O(1)；2)LDM指定$\tau $并且赋值给每个像素耗时O(1)；C为迭代步长，NLDM的$\tau $为$\frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\rm{C}} \cdot g\left( {\left| {\nabla {G_\sigma }*I} \right|} \right)$，其复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$；ADM的${\tau _\alpha }$为$\frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\rm{C}} \cdot g\left( {\left| {{e_a} \cdot \nabla {G_\sigma }*I} \right|} \right)$，复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$；3)计算平衡态分布函数的复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$；4)碰撞过程复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$；5)扩散过程复杂度为O(1)；6)更新节点值复杂度为${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$；7)假设${F_\alpha }$为${F_\alpha }\left( {r,t} \right) = \frac{1}{5}\lambda \left( {f\left( {I\left( {r,t} \right)} \right) - I\left( {r,t} \right)} \right)$，复杂度为${\rm{O}}\left( {{m^3}} \right)$。不同模型对应算法的复杂度见表 2，其中LDM不需计算$\tau $；LDM、NLDM和ADM不需计算外力项。

表 2 不同格子玻尔兹曼扩散模型算法时间复杂度比较
Table 2 Comparison of time complexity of Lattice Boltzmann diffusion models

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模型	第1步	第2步	第3步	第4步	第5步	第6步	第7步	时间复杂度
LDM	O (1)	O(1)		${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$
NLDM	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$		${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$
ADM	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$		${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$
FLDM	O(1)	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m^3}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^3}} \right)$
FNLDM	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^3}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^2}} \right)$	O(1)	${\rm{O}}\left( {{m}} \right)$	${\rm{O}}\left( {{m^3}} \right)$

从表 2可以发现，LDM、NLDM、ADM算法时间复杂度相同，考虑到在计算$\tau $时，LDM只需事先设置并且赋给每个节点的$b$个方向；NLDM每次迭代每个节点都需要计算一次，且对$b$个方向赋值；ADM每次迭代每个节点需要计算$b$-1或者($b$-1)/2次，且对$b$个方向赋值，因此以上几种模型实际耗时依次增高，而FLDM和FNLDM的时间复杂度更大程度上依赖于${F_\alpha }$的设计。为了验证以上推断，利用Matlab在同一台PC上分别记录不同模型耗时随迭代次数的变化情况得到如图 5所示曲线，可以看到实验结果与理论分析相吻合，本实验中的外力项极大地增加了算法时间复杂度。

图 5 不同LB扩散模型耗时与迭代次数的关系

Fig. 5 The computation time corresponding to the iteration step for different LB diffusion model

文献[56]分析了两种格子结构对时间复杂度的影响(如图 6所示)，可以发现D2Q5与D2Q9两种格子的耗时与迭代次数均呈线性关系，且D2Q9耗时大于D2Q5，这是由任何一步中方向数的不同所造成的计算次数不同引起的。

图 6 D2Q5和D2Q9随迭代次数耗时变化(引自文献[56])

Fig. 6 The computation time corresponding to the iteration step for D2Q5 and D2Q9 structure

5 应用

5.1 图像扩散格子玻尔兹曼模型的构建

5.2 模型选择

5.2.1 宏观角度模型选择

5.2.2 微观角度${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$的确定

${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$的确定有自下而上和自上而下两种方法，其中自下而上的方法可根据待处理图像的特点灵活设定，自上而下的方法如图 7所示：1)根据图像处理的目的设计宏观PDE，将PDE转化为“扩散项”与“外力项”之和的形式；2)从LB演化方程出发，得到与图像处理PDE形式类似的LB扩散模型；3)由于LB演化方程的${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$嵌入到了LB扩散模型中，通过对比图像处理的PDE和LB模型，进一步确定演化方程的${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$。比较两种方法可以发现，自下而上的方法更为灵活，而自上而下的方法无疑增加了建模工作量。

图 7 通过PDE的指导确定演化方程的${\tau _\alpha }$和${F_\alpha }$

Fig. 7 Determine ${\tau _\alpha }$ and ${F_\alpha }$ of lattice Boltzmann evolution equation by PDE

5.3 算法输入、输出以及终止条件

图像去噪、修复和分割所对应的LB算法输入、输出以及算法终止条件见表 3。

表 3 图像去噪、修复和分割中的输入、输出和算法终止条件
Table 3 The input, output and termination condition of LB algorithm corresponding to image denoising, inpainting and segmentation

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	算法输入	算法输出	算法终止条件
图像去噪	像素值作为节点值	节点值作为像素值	整幅图像达到PSNR
图像修复	确定待修复区域Ω及其周围区域$\partial $Ω，Ω内像素点对应的节点值被初始化为零，$\partial $Ω内的节点值为相应像素值	未损坏区域内像素值不变，受损区域内像素值随着节点值的更新而改变	受损区域内像素值的改变随迭代的变化小于设定的阈值
图像分割	设定初始曲线$\eta $和水平集函数LSF$\varphi $，计算每个像素点到初始曲线的距离函数作为对应节点的初始值	演化曲线	活动轮廓不再随迭代次数的变化而运动

5.4 细化的“LB核”方法

为了简化LB方法在图像处理中应用，Yan^[11]提出了“LB核”的概念(此处的“LB核”即为LB算法核心步骤)并将之嵌入到图像处理算法中，只需设置不同的初始、终止条件以及输出即可利用“LB核”完成图像去噪、修复和分割，但该文献并未将不同模型所对应“LB核”的区别考虑在内，从而使得算法不够具体，本文对此进行补充。

表 4列出了不同模型所对应“LB核”的计算步骤，第1步到第六步分别对应计算${F_\alpha }$、计算${\tau _\alpha }$、碰撞、扩散、更新节点值、计算新的平衡态分布函数。

表 4 不同扩散模型所对应“LB核”的计算步骤
Table 4 Computational procedure of "LB kernel" corresponding to different diffusion model

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模型	计算步骤
	第1步	第2步	第3步	第4步	第5步	第6步
NLDM	×	√	√	√	√	√
ADM	×	√	√	√	√	√
LDM	×	×	√	√	√	√
FLDM	√	×	√	√	√	√
FNLDM	√	√	√	√	√	√
注：√表示该步骤需要计算，×表示该步骤不需要计算。

文献[11]给出了“LB核”应用于图像去噪、修复和分割的程序流程图，本文进一步给出了其具体实现算法。

5.4.1 图像去噪

图像去噪流程图如图 8(a)所示，算法步骤如下：

图 8 图像处理中的“LB核”方法

Fig. 8 Algorithms of the "LB kernel" and its implementation for image processing. ((a) algorithm for image denoising; (b) algorithm for image inpainting; (c) algorithm for image segmentation)

1) 将像素值代入节点并初始化平衡态分布函数；

2) 进入“LB核”；

3) 更新节点值，判断是否达到PSNR，如果达到PSNR，则输出节点值(即像素值)，否则返回步骤2)直至满足终止条件。

5.4.2 图像修复

5.4.3 图像分割

5.5 小结

6 讨论

6.1 与偏微分方程方法的区别

6.2 存在问题和进一步的研究方向

6.2.1 边界处理问题

6.2.2 运行平台选择及优化

7 结语

参考文献

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