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发布时间: 2017-11-16
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DOI: 10.11834/jig.170105
2017 | Volume 22 | Number 11




    图像处理和编码    




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近邻局部OMP稀疏表示图像去噪
expand article info 焦莉娟1, 王文剑2, 赵青杉1, 曹建芳1
1. 忻州师范学院计算机科学与技术系, 忻州 034000;
2. 山西大学计算机与信息技术学院, 太原 030006
收稿日期: 2017-03-27; 修回日期: 2017-08-21
基金项目: 国家自然科学基金项目（61673249，61273291）；山西省回国留学人员科研基金项目（2016-004）；山西省重点实验室开放课题基金项目（2016002）；忻州师范学院科研基金项目（201705）
第一作者简介: 焦莉娟(1978-), 副教授, 2006于山西大学获计算机技术专业硕士学位, 研究方向为智能信息处理、数字图像处理。E-mail:64710993@qq.com.
中图法分类号: TP391
文献标识码: A
文章编号: 1006-8961(2017)11-1486-07

摘要

目的 基于分类的稀疏字典去噪算法改善了字典训练阶段的效率问题，但稀疏分解阶段仍是全字典匹配，影响算法运行速度。为了解决稀疏去噪算法在稀疏分解阶段因复杂矩阵运算及字典全局搜索导致的算法效率低，以及冗余的稀疏字典因无法描述图像具体特征而影响图像去噪效果的问题，提出改进算法。方法 首先稀疏分解阶段，在原正交匹配追踪算法基础上引入字典原子聚类思想，提出局部正交匹配追踪算法，将全局搜索优化为局部搜索；为保证局部搜索仍能保持良好的匹配结果，提出近邻择优策略，计算聚类中心与信号原子的距离，从而按照某一阈值自适应地选择最优的$n $个子字典作为稀疏分解的匹配空间；最后将图像分解为内容簇和背景簇，对内容簇采用基于近邻的局部K奇异值分解（K-SVD）算法去噪，背景簇采用均值滤波方法去噪。结果 对USC标准数据库中大量图像进行去噪实验，本文算法去噪结果的峰值信噪比值比K-SVD算法平均提高了1.53 dB，比2维块匹配（BM3D）算法平均提高了0.72 dB，比聚类的稀疏表示去噪（CSR）算法平均提高了0.5 dB；运行时间比原算法提高了23.2%。结论 本文算法针对灰度图像去噪，在去噪效果及去噪效率方面均有改善，尤其对细节纹理较丰富的灰度图像去噪具有一定的应用价值。

关键词

图像去噪; 稀疏表示; 局部字典; 近邻择优; 近邻局部K奇异值分解

Image denoising based on sparse representation of neighbor local OMP
expand article info Jiao Lijuan1, Wang Wenjian2, Zhao Qingshan1, Cao Jianfang1
1. Department of Computer Science and Technology, Xinzhou Teachers University, Xinzhou 034000, China;
2. School of Computer and Information Technology, Shanxi University, Taiyuan 030006, China
Supported by: National Natural Science Foundation of China (61673249, 61273291); Foundation of Shanxi Scholarship Council of China (2016-004);Open Project Foundation of Intelligent Information Processing Key Laboratory of Shanxi Province, China (2016002)

Abstract

Objective Sparse denoising algorithm is advantageous in optimizing the denoising effect but is inefficient because of its complex matrix operations in the sparse decomposition and dictionary training stages.Although classification is applied in the dictionary training stage, the method can still be enhanced.An improved algorithm is proposed to solve problems of inefficiency caused by complex matrix operations and global searching of the dictionary in the sparse decomposition stage. Method First, a local orthogonal matching pursuit algorithm, which introduces dictionary clustering based on orthogonal matching pursuit to generate sub-dictionaries, is proposed.Another novel element of this work is that a neighbor-prioritizing method, which selects $n $ optimal sub-dictionaries as matching space to sparse decompose, is proposed to optimize the denoising effect.Finally, the content cluster of the noisy image is denoised using the neighbor local K-SVD algorithm based on the clustering-based denoising method. Result Experiments on several images in the USC standard image library show that the proposed method leads to better denoising effect than that of other algorithms.The peak signal-to-noise ratio of the proposed algorithm is 1.53 dB higher than that of the K-SVD algorithm, 0.72 dB higher than that of the BM3D algorithm, and 0.5 dB higher than that of the CSR algorithm on average.The running time of this algorithm is faster than that of the original algorithm. Conclusion The proposed algorithm improves the effect and efficiency of gray image denoising and presents certain popularization value on gray images with much detail and texture.

Key words

image denoising; sparse representation; local dictionary; neighbor prioritizing; NLK-SVD

0 引言

传统的基于滤波技术的去噪方法[1-3]因存在图像噪声与信号频带重叠问题而导致去噪效果不理想。针对这一问题，近年来提出了基于压缩感知[4-5]和字典训练[6]的稀疏去噪[7]方法，如Aharon等人[8-10]提出的K奇异值分解(K-SVD)去噪算法，该算法充分利用了稀疏表示的优势，通过贪婪算法进行稀疏分解并在误差最小化原则上训练字典，因而在去噪同时很好地保留了图像的细节部分。但因稀疏系数分解阶段引入的正交匹配追踪(OMP)[11-12]算法以及字典训练阶段的矩阵奇异值分解等运算严重影响了算法的效率。且字典单一性导致原子间存在较强的相关性，影响了其表示的稀疏性。针对字典训练阶段，Dong、Ram等人[13-14]提出分类字典的思想，因子字典具有较少的原子数目缩小了搜索空间而提高了算法效率。在此基础上文献[15]进一步将分簇思想引入K-SVD去噪过程，通过缩减字典原子规模进一步提高了去噪效率。针对稀疏分解阶段，Needell等人[16]提出的正则化正交匹配追踪(ROMP)算法通过每次迭代引入多列原子提高算法效率。在此基础上文献[17]提出的压缩采样匹配追踪(CoSaMP)算法引入回溯思想优化了重构精度。Donoho等人[18]提出的分段正交匹配追踪(StOMP)算法通过自适应选取原子优化了稀疏构建精度。

分类字典仅优化了字典训练过程，在稀疏分解阶段仍需对每个子字典逐一训练，其搜索空间并未得到优化，且每个子字典仅保留了图像的某一局部特征，当图像块具有多种特征时其表示受到了限制，从而影响去噪效果。而上述对贪婪算法的一系列改进仅仅针对原子选择策略进行了优化，其搜索空间仍是全局搜索。

针对以上问题，为解决稀疏分解阶段搜索空间过大以及子字典对具有多特征的图像块表示不充分的问题，本文在现有贪婪算法基础上提出一种基于近邻分级训练的局部OMP稀疏表示图像去噪方法。该方法将分类思想提前到稀疏分解阶段，先将初始过完备字典原子按图像局部特征分类，训练稀疏系数时，提出基于分级迭代策略的局部OMP方法，减小搜索空间提高算法效率。同时将近邻思想引入类别字典的匹配过程，进一步保留了图像多特征的信息，改善去噪效果。

1 基于近邻局部OMP的K-SVD图像去噪

在文献[15]分簇快速K-SVD去噪算法(SK-SVD)的基础上，提出分级局部训练的算法，并将该算法以及近邻匹配思想引入稀疏分解阶段提出基于近邻局部K-SVD图像去噪算法(NLK-SVD)。为充分说明本文算法原理，首先概要介绍原算法思想，然后详细说明NLK-SVD算法思路。

1.1 分簇K-SVD去噪算法介绍

作为一种自适应算法，K-SVD首先对噪声图像重叠分块后产生过完备字典D0，在系数训练阶段用OMP产生稀疏系数α后，进入字典训练阶段。这一阶段依据的是误差最小化原则，目标函数为

$ \left\{ {\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}, \mathit{\boldsymbol{\tilde \alpha }}} \right\} = \arg \;\min \left\{ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}-\mathit{\boldsymbol{D\alpha }}} \right\|_2^2 + \mu {{\left\| \mathit{\boldsymbol{\alpha }} \right\|}_0}} \right\} $ (1)

式中，X为原始信号，D是过完备字典，α为满足一定稀疏度的稀疏系数，$μ$为调节参数。误差最小化原则下，每一列字典原子$ {\mathit{\boldsymbol{d}}_i}$的更新目标函数为

$ \begin{array}{l} \left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}-\mathit{\boldsymbol{D\alpha }}} \right\|_{\rm{F}}^2 = \left\| {\left( {\mathit{\boldsymbol{X-}}\sum\limits_{i \ne k} {\mathit{\boldsymbol{d\alpha }}_i^{\rm{T}}} } \right)-{\mathit{\boldsymbol{d}}_k}\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k^{\rm{T}}} \right\|_{\rm{F}}^2 = \\ \left\| {{\mathit{\boldsymbol{E}}_k} - {\mathit{\boldsymbol{d}}_k}\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k^{\rm{T}}} \right\|_{\rm{F}}^2 \end{array} $ (2)

$ {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_i^{\rm{T}}} $对应的系数矩阵α中第$ i $行向量，$ {{\mathit{\boldsymbol{E}}_k}} $为去掉$ {{\mathit{\boldsymbol{d}}_k}} $行后X的稀疏分解。对每次迭代得到的${{\mathit{\boldsymbol{E}}_k}} $进行奇异值分解运算

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_k} = \mathit{\boldsymbol{U}}\Delta {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}} $ (3)

取U的第1列为$ \widetilde {{\mathit{\boldsymbol{d}}_k}} $，V的第1列为$ \widetilde {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k^{\rm{T}}} $，Δ为奇异值对角方阵。

分簇的SK-SVD思想是将噪声图像按灰度方差分为背景簇和内容簇两部分分别处理。分簇使算法在效率上有所提高，但在稀疏分解阶段仍是全字典搜索。

1.2 改进后的近邻局部K-SVD图像去噪

稀疏分解、字典训练和稀疏去噪组成了K-SVD算法的去噪过程。本文基于SK-SVD在字典训练阶段进行字典划分思想的基础上，将分类思想引入到稀疏分解阶段，提出局部正交匹配追踪(LOMP)算法。另外考虑到过早引入分类策略可能导致子字典表示不完备的问题，本文进一步将近邻思想应用到LOMP的择优过程中。

1.2.1 局部正交匹配追踪算法

在原SK-SVD去噪过程稀疏分解阶段的OMP算法中内积计算需遍历字典原子N次，因此N值的大小是衡量算法效率的重要参数。减小字典原子数目会提高算法效率，但同时也会影响到字典表示的稀疏性，从而影响去噪效果。

针对这一问题，本文提出局部正交匹配追踪LOMP算法。该算法在原子匹配运算之前先用K均值算法[19]将字典原子聚为K类。然后再用分级方法匹配原子。第1级匹配时信号仅与K个聚类中心做运算，找到最相关的一类子字典$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} $后，进入第2级匹配。第2级匹配中仅在由第1级确定的第$i $类子字典中迭代。LOMP算法步骤描述如下：

输入：过完备字典D(M×N)，已知信号X。

输出：α的稀疏逼近$ {\mathit{\boldsymbol{\tilde \alpha }}} $。

初始化：残差$ {\mathit{\boldsymbol{r}}^0} = \mathit{\boldsymbol{X}} $，索引集Λ0= Φ，J=1。

1) 用k均值方法将D的原子聚为K类，$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_i} $为第$ i $类聚类中心。

2) 第1级匹配，找最佳子类

$ i = \arg \;\min \left| { < {\mathit{\boldsymbol{r}}^{\left( {\mathit{\boldsymbol{J-1}}} \right)}}, {\mathit{\boldsymbol{C}}_i} > } \right| $

3) 第2级匹配，计算内积

$ {\lambda _J} = \arg \;\min \left| { < {r^{\left( {J-1} \right)}}, {d_{iJ}} > } \right| $

4) 更新索引集$ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\left( \mathit{\boldsymbol{J}} \right)}} = {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}-1} \right)}} \cup {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}_\mathit{\boldsymbol{J}}} $。

5) 计算J阶逼近$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde \alpha }}}^\mathit{\boldsymbol{J}}} = \arg \;\min {\left\| {\mathit{\boldsymbol{X}}-{\mathit{\boldsymbol{D}}^{\left( \mathit{\boldsymbol{J}} \right)}}\tilde \alpha } \right\|_2} $。

6) 更新残差${\mathit{\boldsymbol{r}}^{\left( \mathit{\boldsymbol{J}} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{X}}-{\mathit{\boldsymbol{D}}^{\left( \mathit{\boldsymbol{J}} \right)}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \alpha }}}^\mathit{\boldsymbol{J}}}, J = J + 1 $。

7) 判断是否结束，否则转步骤2)。

其中$ {\mathit{\boldsymbol{d}}_{iJ}} $表示二级训练过程中第$ i $类子字典的第J列。

LOMP算法的搜索空间由原OMP算法中的全局字典D缩小到子字典$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} $，因子字典类别数K值相对于总体迭代次数很小，因此可以忽略不考虑，迭代次数由原来N次减小到$ N_i $次。其中N为字典原子数，$ N_i $为$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} $的原子数，且满足$\sum\limits_{i = 1}^K {{N_i} = N} $。图 1直观地描述了改进前后两种算法中信号$ r $的搜索范围。



图 1 两种算法搜索空间对比图
Fig. 1 Search space of OMP and LOMP
((a) OMP; (b) LOMP)

1.2.2 近邻择优

在上节LOMP算法中，子字典体现了图像的局部特征，因此该方法是建立在图像块只具有一个局部特征基础上的。但事实上，某些图像块可能具有两种或两种以上特征，此时若仅用一个子字典表示，显然会影响其表示精度。因此本文进一步将近邻匹配思想引入LOMP算法中。在第1级匹配训练过程中，假设信号与第$ i $类的聚类中心$ C_i $以及第$j $类聚类中心$ C_j $的距离分别为$ S_i $和$ S_j $，若满足$ \left| {{S_i}-{S_j}} \right| \le \delta $，(其中δ为给定边界阈值)，则将$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} $与${\mathit{\boldsymbol{D}}_j} $同时纳入该信号的搜索空间，使其有更精确的表示结果。

1.2.3 去噪过程

针对原算法中全字典搜索效率低的问题，本文将近邻思想及LOMP分级搜索算法引入到SK-SVD的稀疏分解阶段，提出NLK-SVD图像去噪算法。首先用k均值方法对初始过完备字典的原子聚为K类后生成聚类中心。然后进入分级稀疏分解过程。第一级迭代时，用K个聚类中心依据近邻原则自适应地寻找$ m $个最佳的类别$ {j_1}, {j_2}, \cdots \cdots, {j_m}\left( {m \ge 1} \right) $；第二级迭代用LOMP算法在第一级迭代找出的$ m $个子字典中训练稀疏系数，直至得到一个最优的稀疏初始矩阵$\widetilde {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_0}} $。

接着通过得到的稀疏初始矩阵进入字典训练及稀疏去噪阶段，用分簇的SK-SVD算法将含噪图像去噪得到最终去噪结果。NLK-SVD算法框架见图 2。



图 2 NLK-SVD算法框架
Fig. 2 Framework of NLK-SVD

分类字典表示了图像的一个特征，近邻方法提供了一种自适应的匹配思想，使得每个图像块都能找到最完美表示它的一个或多个子字典，避免了因固定单一字典造成的表示不够精确、去噪效果不好的问题。

1.3 算法时间复杂度分析

K-SVD算法稀疏分解阶段的OMP过程的算法复杂度为O(KMN)，其中K为稀疏度。字典训练中逐列更新字典的训练过程时间复杂度为O(MN3)，因此算法总时间复杂度为O(KMN)+ O(MN3)。本文改进的NLK-SVD算法将全局字典减小为子字典$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i}\left( {M \times n} \right) $，时间复杂度降为$ {\rm{O}}\left( {KMn} \right) + {\rm{O}}\left( {M{n^3}} \right) $。因子字典列数$ n $值远小于N，因此算法效率得到提高。

2 实验结果及分析

从USC标准图像库中选取图像并添加高斯加性噪声后产生噪声图像进行去噪实验。实验所用图像均为灰度图像。图像块为8×8像素大小。近邻最佳阈值δ由实验得到，当δ取值在5左右去噪效果最佳，因此本文实验中δ均取为5。本文实验均在CPU为Intel Core(TM)I5，主频2.50 GHz，内存2 GB，Windows7操作系统，MatlabR2011b环境下运行，采用了第三方工具包KSVD_Matlab_ToolBox和Denoise_methods。

2.1 确定k均值算法聚类数目K

k均值聚类算法中不同聚类数K导致不同的去噪效果。选取Barbara图像添加方差σ=25、均值$ \mu =0$的高斯加性噪声后，分别在K为3 7，步长为1，用本文NLK-SVD算法去噪的实验结果显示，随着K值增大，去噪时间整体呈逐渐减小趋势，去噪后图像峰值信噪比(PSNR)值在K为3、4、5时基本相当，PSNR值从K=6时急剧下降。综合考虑，本文后面实验中K值均取为5。

2.2 LOMP算法对去噪效率的影响

实验通过对样本图像添加了σ=25、$ \mu $=0的噪声后，分别用原SK-SVD算法，以及只引入LOMP局部稀疏分解方法后的LK-SVD算法进行去噪。图 3柱状图显示了其中5幅图像用3种方法的去噪效果及去噪效率对比情况。其中蓝色柱形为SK-SVD的去噪情况，绿色柱形为LK-SVD的去噪情况。由图 3可以看到，去噪效果方面，这两种算法的峰值信噪比差别不大，说明即使对字典做了划分，减小了字典原子数的情况下，由于进行了类别择优，去噪效果基本没有受到影响。从图 3(b)可以看到，采用分类的LOMP后的LK-SVD算法的去噪效率比原算法有明显的提升。



图 3 SK-SVD、LK-SVD和NLK-SVD算法去噪情况直方图
Fig. 3 Denoising by SK-SVD, LK-SVD and NLK-SVD histogram((a) denoising effect; (b) denoising efficiency)

2.3 近邻方法对去噪效果的影响

为了验证稀疏分解阶段引入的近邻方法的有效性，在LK-SVD算法基础上引入近邻寻优策略，生成NLK-SVD算法。实验对噪声样本分别用这两种方法去噪，其中5幅样本的去噪效果及去噪时间如图 3所示。

从图 3可以看到，引入近邻择优方法后，大部分样本的去噪效果有明显的改善，去噪效率与LK-SVD算法相比有所降低，但总体比原SK-SVD算法在去噪效果和去噪效率方面均有提高。

2.4 不同噪声方差去噪效果比较

为充分验证本文NLK-SVD算法去噪效果的鲁棒性，实验对Camera图像分别添加方差为5、15、25、35、45、55共6种强度的噪声生成6幅噪声图像，然后分别用SK-SVD和改进后的NLK-SVD算法去噪，去噪结果折线图如图 4所示。



图 4 SK-SVD和NLK-SVD算法在不同噪声方差下去噪结果对比
Fig. 4 Denoising results by SK-SVD and NLK-SVD in different noise rariance((a) denoising effect; (b) denoising efficiency)

由图 4可以看到，不同强度噪声影响下，本文算法去噪效果和去噪效率均比原算法有所改善。由实验结果可知，本文NLK-SVD算法比原SK-SVD算法在去噪效果和去噪效率上均有提高。

2.5 本文算法与其他去噪算法的综合比较

为了综合验证本文算法在去噪效果方面的有效性，用本文NLK-SVD算法分别与K-SVD[9]、SK-SVD[15]方法以及目前去噪效果较好的BM3D[20]方法和CSR[7]方法进行比较。对原始图像分别添加了σ=25、$ \mu $=0的高斯加性噪声后生成含噪图像，分别用以上5种方法进行去噪，其中10幅图像的去噪效果对比如表 1所示。

表 1 5种算法去噪效果对比
Table 1 Denoising comparison of five algorithms

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样本 PSNRIn/dB PSNROut/dB
K-SVD[9] SK-SVD[15] BM3D[20] CSR[7] 本文算法
Barbara 20.16 29.62 30.13 30.72 30.32 32.75
Lena 20.16 31.30 32.46 32.08 31.86 32.89
House 20.21 32.33 32.62 32.99 32.86 32.84
Birdge 20.18 25.32 26.73 26.23 26.18 27.19
Camera 20.22 28.84 29.80 29.54 30.93 29.88
Boat 20.24 29.32 31.08 29.91 31.38 32.16
Baboo 20.19 25.06 25.91 25.26 25.93 26.33
Couple 20.06 27.98 28.87 29.72 29.80 30.12
Peppers 20.11 29.84 30.46 30.90 30.07 30.39
Man 20.18 29.36 30.62 29.54 29.92 30.45
平均 20.17 28.90 29.87 29.71 29.93 30.43
注：粗体表示最大的峰值信噪比。

由表 1中数据可知，本文算法去噪效果整体比其他4种算法都有提高。其中House、Peppers等平滑图像的去噪效果不如BM3D方法好，而对Barbara、Boat等纹理细节较丰富的图像，本文算法的去噪效果有明显改善，说明本文算法具有良好的细节修复能力。另外在Camera(256×256像素)、House(256×256像素)、Lena (512×512像素)3幅原图上添加了σ=25、$ \mu =0 $的高斯加性噪声后生成的噪声图像。图 5是分别用BM3D、SK-SVD和本文算法对噪声图像去噪的细节对比。



图 5 SK-SVD、BM3D及本文算法的去噪细节图对比
Fig. 5 Denoising details comparson by the SK-SVD、the BM3D and the proposed algorithm
((a)original images; (b) SK-SVD; (c) BM3D;(d)ours)

从图 5 (a) Camera图像的局部去噪中的建筑物边缘去噪效果看，BM3D和本文算法的边缘保留效果较好，但BM3D去噪结果在建筑物上方出现了假纹理现象；由House图像的去噪效果可以看到，这3种算法都有较好的平滑效果，但本文算法更多地保留了墙壁的纹理部分；在Lena去噪细节中，BM3D算法较其余两种稀疏去噪算法具有更好的平滑效果，但本文算法对眼球边缘及鼻孔边缘等边缘部分的恢复更有优势。由此可见，本文算法在细节纹理的恢复方面具有一定的优势。

3 结论

本文针对SK-SVD稀疏去噪模型提出LOMP方法，通过对稀疏字典聚类成子字典，减小了稀疏表示阶段的搜索空间，提高了算法效率；进一步引进近邻择优思想，避免了子字典特征单一影响稀疏表示精度的缺陷，改善了算法的去噪效果。实验结果表明，本文方法在不同噪声强度影响下，以及不同图像特征的含噪灰度图像上都具有较好的去噪效果和更高的去噪效率。尤其针对含丰富纹理及细节的图像去噪，本文算法具有较为明显的优势。但对背景部分去噪时平滑效果不好，另外针对彩色图像去噪，本文算法存在较严重的伪色彩现象。下一步将在如何改善背景部分平滑效果以及彩色图像的去噪方面进行研究。

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