图像分割是指按照某种特征(如灰度、纹理等)将图像划分为一些有意义的区域，在这些区域内部，其特征往往是相近的，而不同区域间的特征是不同的。图像分割是图像处理的重要步骤，其精度直接影响后续图像处理的质量^[1]。随着遥感图像分辨率的提高，几何噪声也会随之增加。几何噪声，即较大的主同质区域内存在的较小的次同质区域，例如，道路与道路中心线，此类较小的次同质区域往往归属于主同质区域或不足以被单独视为一类，因此，较好的处理方法就是将其忽略。但是，传统的图像分割算法，如基于阈值选取、区域和边缘检测方法等，均不能描述噪声引起的不确定性问题，往往导致分割效果差。

目前，基于模糊聚类的图像分割方法被认为是遥感图像处理中的有效方法之一^[2]。模糊聚类方法是一种基于目标函数迭代优化的无监督聚类方法，其主要特点是允许某个样本以不同的模糊隶属度同时归属于所有聚类，真实反映了图像的模糊性和不确定性，因此其性能优于传统方法^[3]。在众多模糊聚类算法中，模糊C均值(FCM)算法由于其简单、灵活等特点已被广泛应用。FCM算法主要是利用隶属度来表示像素与聚类的关系，用隶属度的指数形式作为像素与聚类间距离的加权来定义目标函数，通过最小化目标函数来获得最优的聚类中心和隶属度，最后反模糊化隶属度得到每个像素所属的类别^[4-6]。由于FCM算法抗噪性能较差，对此，有人提出了一些改进的算法：如Chuang等人^[7]提出隶属度空间域法，该算法在获取图像隶属度后，对邻域像素点的隶属度进行空域处理，以减少噪声对分割结果的影响；Tolias等人^[8]考虑隶属度的空间限制，对像素点的隶属度添加或减去某一较小常数，进行ad-hoc修正，控制噪声对隶属度的影响；彭代强等人^[9]提出基于模糊隶属度空间约束的FCM算法，该算法在FCM的基础上考虑了像素邻域信息，使得中心点的类别受邻域像素点类别的影响，减小噪声对分割结果的影响；康家银^[10]提出了一种改进的顾及像素空间信息的FCM聚类算法，该算法在引入邻域像素信息的同时，考虑了邻域像素对中心像素的不同影响，邻域内各像素对中心像素的不同影响，使得该算法对噪声更具有鲁棒性；Krinidis等人^[11]提出了模糊局部C均值(FLICM)算法，该算法定义一个包含空间信息和邻域信息的变量以控制图像噪声和细节平衡，无需人为选择参数，从而得到较好的分割结果。虽然上述方法能够对部分含有噪声的图像进行较好的分割，但是对于含有几何噪声的图像，上述方法均不能有效克服几何噪声，而是将几何噪声单独视为一类，严重影响分割精度。所以，无论是传统图像分割方法还是模糊聚类图像分割方法均不能有效分割含有几何噪声的图像。

为了解决上述问题，提出一种利用包含度和隶属度的遥感图像模糊分割算法，相对于传统模糊聚类算法，引用包含度表示聚类对像素的包含性，并且以包含性与传统隶属度相结合共同作用于分割模型，最后，采用二者之积作为类属判定准则，能够得到更好地分割效果，使其可以有效抵抗几何噪声对图像分割的影响，提高图像分割的精度。

给定一幅图像$\mathit{\boldsymbol{X}} = \left\{ {{x_k}:k = 1, \cdots, n} \right\} $，其中，$ k$为像素索引，${x_k} $是第$k $个像素的灰度值，$n $是像素总数。传统上，模糊分割由隶属度矩阵表征，即$ \mathit{\boldsymbol{U}} = {\left[{{u_{ik}}} \right]_{c \times n}}$，并以此作为分割判据，式中，$i = 1, \cdots, c $是聚类索引，$c $为聚类数，${u_{ik}} $表示第$k $个像素属于第$i $类的隶属度，满足$ \sum\limits_{i = 1}^c {{u_{ik}} = 1} $且$0 < {u_{ik}} < 1 $。FCM算法是通过最小化目标函数实现分割，即

式中，$m $是模糊因子，控制模糊程度，${D_{ik}} = {\left\| {{x_k}-{v_i}} \right\|_2} $，表示第$k $个像素${x_k} $与第$i $类聚类中心${v_i} $的欧氏距离，$\mathit{\boldsymbol{V}} = \left\{ {{v_i}:i = 1, \cdots, c} \right\} $是聚类中心的集合，可以看出，传统FCM算法中，聚类是用聚类中心表征，任意像素隶属于所有的聚类，其隶属程度为${u_{ik}} $^[12-13]。

然而，像素与聚类的关系可以从两方面考虑，除了像素对聚类的隶属性，即$\mathit{\boldsymbol{U}} = {\left[{{u_{ik}}} \right]_{c \times n}} $，还可以从聚类对像素的包含性角度考虑。原则上，每个聚类对像素都有包含性，只是包含程度不一，这类关系可以表示为$\mathit{\boldsymbol{T}} = {\left[{{t_{ik}}} \right]_{c \times n}} $，式中，${t_{ik}} $为包含度，表示第$i $类聚类对第$k $个像素的包含度，并满足$\sum\limits_{k = 1}^n {{t_{ik}}} = 1 $且$0 < {t_{ik}} < 1 $^[14-16]。结合隶属度和包含度能够更好地刻画像素与聚类的关系^[17]，为此，定义目标函数为

约束隶属度${u_{ik}} $和包含度${t_{ik}} $，并求得最优解，使目标函数达到最小值，式中，$\eta $是包含因子，控制包含度的权重。然而，由于聚类数$c $和像素总数$n $的量级差距很大，导致约束条件中的${u_{ik}} $与${t_{ik}} $的数量级差距很大，所以为了与${u_{ik}} $数量级相一致，重新对${t_{ik}} $进行约束，即，$\sum\limits_{k = 1}^n {{t_{ik}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_{ik}}} $。为了求目标函数的最小值，利用拉格朗日乘数法，对${u_{ik}} $和${t_{ik}} $进行约束，得

对式(3) 中${u_{ik}} $求偏导，令$\frac{{\partial L}}{{\partial {u_{ik}}}} = 0 $并结合约束条件$\sum\limits_{i = 1}^c {{u_{ik}} = 1} $，得

对式(3) 中$ {t_{ik}}$求偏导，令$\frac{{\partial L}}{{\partial {t_{ik}}}} = 0 $并结合约束条件$\sum\limits_{k = 1}^n {{t_{ik}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{u_{ik}}} $，得

对式(3) 中${v_i} $求偏导，并令$\frac{{\partial L}}{{\partial {v_i}}} = 0 $，可以得到聚类中心的表达式，即

对于像素$k $，由于${u_{ik}} $表示像素对聚类的隶属度，${t_{ik}} $表示聚类对像素的包含度，二者对于类别归属均有影响，因此文中采用二者的共同作用${u_{ik}} \times {t_{ik}} $作为像素$k $最终类数判别准则。

综上所述，提出算法流程可总结如下：

1) 设定初始隶属度矩阵$\mathit{\boldsymbol{U}}\left( 0 \right) $，初始包含度矩阵$\mathit{\boldsymbol{T}}\left( 0 \right) $，迭代次数$z = 0 $，阈值$\varepsilon > 0 $，聚类数$c $；

2) 利用式(6) 计算聚类中心$ {v_i}$；

3) 利用式(4) 计算隶属度矩阵$\mathit{\boldsymbol{U}}\left( z \right) = {\left[{{u_{ik}}\left( z \right)} \right]_{c \times n}} $；

4) 利用式(5) 计算包含度矩阵$\mathit{\boldsymbol{T}}\left( z \right) = {\left[{{t_{ik}}\left( z \right)} \right]_{c \times n}} $；

5) 如果${\left\| {\mathit{\boldsymbol{U}}\left( z \right)-\mathit{\boldsymbol{U}}\left( {z + 1} \right)} \right\|_\infty } < \varepsilon $并且${\left\| {\mathit{\boldsymbol{T}}\left( z \right)-\mathit{\boldsymbol{T}}\left( {z + 1} \right)} \right\|_\infty } < \varepsilon $，则结束迭代；否则令$z = z + 1 $，返回至步骤2)；

6) 当$k $一定时，令${x_k} $归属于${u_{ik}} \times {t_{ik}} $最大的那一类。

首先，采用数据点模拟图像中的聚类和几何噪声，以分析提出算法及传统FCM算法中几何噪声对图像分割的影响。此外，分别基于提出算法及传统FCM算法和FLICM算法两种对比算法对合成图像和Worldview-2遥感影像进行分割。通过对分割结果的定性、定量分析进一步验证了提出算法的有效性。在本文实验过程中，模糊因子$m$和包含因子$\eta $的取值范围均应大于1，两者均设为2.0，阈值$\varepsilon $=0.01时，实验结果最优。

图 1(a)是含有几何噪声的两类数据点，其中，红色点和绿色点分别代表两类数据点，黑色点代表添加的几何噪声，噪声点数占总点数的10%，横坐标$x $和纵坐标$y $分别代表数据点的两个特征值。图 1(b)是没有添加几何噪声时，利用FCM算法分割两类数据的结果，其中，蓝色实心三角形分别代表两类数据点的聚类中心。可以看出，当没有几何噪声的情况下，传统FCM算法是可以正确分割数据的，聚类中心几乎是各自分布在两类数据点的中心位置。图 1(c)是在有几何噪声情况下，利用传统FCM算法分割数据时聚类中心的变化。可以看到，两类聚类中心都发生变化，其中，一类聚类中心移到噪声点的中心处，另一类移到两类数据点的中间位置。产生这种现象的原因主要是因为传统FCM算法只把隶属度当作分割判据，而隶属度对噪声非常敏感，导致聚类中心出现错误，使得噪声被单独分为一类，而两类数据点被分为一类。图 1(d)是在有几何噪声的情况下，利用本文算法分割数据时聚类中心的变化，可以看到，聚类中心相比图 1(b)没有明显的变化，仍然分别分布在两类数据点的中心位置。通过对比图 1(b)和图 1(c)，可以看出，当数据没有几何噪声时，只利用隶属度${u_{ik}} $作为分割判据的传统FCM算法可以正确地确定聚类中心，正确分割数据，然而，当数据含有噪声时，传统FCM算法却不能够抵抗噪声的影响，使得聚类中心产生与正确位置偏差很大。通过对比图 1(c)和图 1(d)可以看出，在有大量噪声干扰的情况下，相比于传统FCM算法，利用隶属度${u_{ik}} $和包含度${t_{ik}} $作为分割判据时，隶属度和包含度的共同作用大大降低了算法对噪声的敏感程度，使得聚类中心几乎不受几何噪声影响。所以，当影像中的某类地物含有几何噪声时，利用本文算法分割影像会有效地避免几何噪声对聚类中心的影响，正确地分割影像。

图 1 ${u_{ik}} $与${t_{ik}} $对聚类中心的影响

Fig. 1 The influence of ${u_{ik}} $ and ${t_{ik}} $ on the clustering center((a) data points including noises; (b) result by FCM without noises; (c) result by FCM with noises; (d) result by proposed method with noises)

图 2(a)为包括4个同质区域的模板图像，图 2(b)是由Worldview-2遥感影像上截取的4个带有几何噪声的同质区域合成的彩色模拟图像，其中，区域Ⅰ-Ⅳ分别为沙地、草地、荒地、道路。区域Ⅲ中的黑色图斑和区域Ⅳ中的白色图斑分别是这两部分的几何噪声。图 3(a)是本文算法对图 2(b)的分割结果。从分割结果可以看出，虽然图 2(b)中含有几何噪声，但是由于提出算法中包含度的作用，使得噪声属于某一类的隶属度降低，从而在求聚类中心时，几何噪声对聚类中心的影响程度明显降低，使得聚类中心不会发生偏移。所以，提出算法能够克服几何噪声的影响，正确分割图像。用传统FCM算法分割图 2(b)作为对比实验，图 3(b)是FCM算法对图 2(b)的分割结果。可以明显看出，由于传统FCM算法仅利用隶属度作为分割判据，使得该算法对噪声非常敏感，导致该算法把颜色相近的区域分割成一部分，而把几何噪声单独分割出来，说明FCM算法受几何噪声影响严重，导致图像被错误的分割，如区域Ⅲ和Ⅳ。用FLICM算法对图 2(b)进行分割作为对比实验。图 3(c)是FLICM算法对图 2(b)的分割结果。可以看出，相对于传统FCM算法，FLICM考虑邻域像素的空间信息和灰度信息，使得图像能够去除部分噪声，但是仍然不能完全抵抗几何噪声的干扰，所以FLICM算法也会将几何噪声单独地分为一类，错误地分割图像，如区域Ⅳ。

图 2 合成彩色模拟图像

Fig. 2 Simulated image((a) template; (b) simulated image)

图 3 模拟图像分割结果

Fig. 3 Results of simulated image segmentation

((a) segmented image by proposed method; (b) segmentation by FCM; (c) segmentation by FLICM)

为了定量评价图像分割的精度，以图 2(a)所示的模板图像为标准，分别对本文算法、FCM和FLICM算法分割结果进行对比，建立混淆矩阵，并进一步计算图像分割结果的用户精度、产品精度、总精度和Kappa值，各项指标见表 1。其中，用户精度表征对于分类结果中的所有像素，其类型与标准图像的类型相同的概率；产品精度表征对标准图像中的任一像素，分类结果中同一点的类别与其一致的条件概率；总精度表征所有像素的分类结果与标准图像的实际类型相一致的概率。表中各项的数值越大，表明分割精度越高。通过各项指标能够看出本文算法分割结果的每个区域的用户精度、产品精度都高达90%，而且总精度为97.7%。虽然传统FCM算法在一些区域也有较高的精度，但是由于该算法的错误分割，导致Ⅰ、Ⅱ区域的用户精度较低，Ⅲ、Ⅳ区域的产品精度也非常低，并且总精度仅有59%，而FLICM算法相对于FCM算法确实有很大提高，但是仍然有错误分割的区域，Ⅰ区域的用户精度和Ⅳ区域的产品精度都比较低，而且总精度也仅有78.7%，另外，本文算法的Kappa值为0.97，远远高于FCM算法和FLICM算法的0.45和0.71。

表 1 精度统计指标
Table 1 Accuracy of statistical indicators

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精度类型	方法	区域Ⅰ	区域Ⅱ	区域Ⅲ	区域Ⅳ
用户 精度/%	本文算法	92.5	100	99.7	99.1
	FCM	51.3	58.3	100	100
	FLICM	54.1	99.7	96.5	100
产品 精度/%	本文算法	99.9	99.6	91.5	99.8
	FCM	100	99.1	18.7	18.5
	FLICM	99.8	99.9	99.6	18.6
总精度/%	本文算法/FCM/FLICM			97.7/59.0/78.7
Kappa值	本文算法/FCM/FLICM			0.97/0.45/0.71

分别采用本文算法、FCM和FLICM算法对彩色遥感影像进行分割实验。图 4(a)分辨率0.5 m的Worldview-2遥感影像，其中，影像1、影像2、影像3的尺寸为256×256像素，影像4、影像5的尺寸为512×512像素，包括草地、沙地、公路、建筑物等典型地物目标。将图 4(a)中公路上的黑色车痕、公路上的隔离带、草地上的独立树、道路上的车辆、公路上的白色斑马线均看做几何噪声。在本文算法中，各影像分割区域数$c $依次设为2、2、3、2、2。图 4(b)是本文算法对图 4(a)中5幅影像的分割结果。可以看出，虽然待分割影像有几何噪声，但是本文算法几乎没有受到几何噪声的影响，能够正确的分割影像。图 4(c)和图 4(d)分别是FCM算法和FLICM算法对5幅遥感影像分割的结果，从中可以很清晰的看出FCM算法和FLICM算法均受到几何噪声的影响，把影像中的几何噪声的分为独立的一类，说明FCM算法不能实现含有几何噪声的遥感影像的正确分割，FLICM算法的作用是将小的噪声去除掉，前4幅图受到几何噪声的影响导致错误的分割，同样也会将几何噪声单独分为一类，不能完全的去除几何噪声，使得影像分割的精度很低。

图 4 本文算法和对比算法的分割结果

Fig. 4 Segmentation results of real remote sensing images ((a) real remote sensing images; (b) segmentation results by proposed method; (c) segmentation results by FCM; (d) segmentation results by FLICM)

本文在传统隶属度的基础上，引用一种新测度以描述聚类与像素之间的关系，并综合它们各自的优点，提出了利用包含度和隶属度的遥感影像模糊分割算法。提出算法不仅继承了传统FCM算法运算速度快，原理简单等特点，而且由于引入包含度的作用，降低了几何噪声对聚类中心的影响，从而能够有效克服几何噪声对影像分割的影响，提高了影像的分割精度。对于影像中不含几何噪声或几何噪声较小的同质区域，本文算法与FCM及FLICM算法具有相当的分割能力，而对于含有大量几何噪声的同质区域，本文算法分割精度远高于FCM及FLICM算法，因此，提出算法在对含有几何噪声较多的高分辨率遥感影像分割方面有着明显的优势。虽然本文算法有较好的抗几何噪声能力，但是仍有不足之处，在今后的工作中，应引入邻域像素作用，进一步提高算法的抗噪性，使得影像中的细小噪声能够被去除，提高算法的分割精度。