随着虚拟现实技术发展，出现了多种交互设备，例如数据头盔、数据手套等，可以采集人的行为数据，产生更为逼真的交互。其中，手是最灵活的器官，可以完成各种复杂的动作，是交互活动的重要组成部分。人手和虚拟环境的交互可以分为两类：手势控制，通过识别手势来产生不同指令进行交互^[1]；利用碰触信息，实现抓取、按压等交互，比起手势，这种方式更为自然。

虚拟手抓取的核心问题是姿态和抓取稳定性。结合现实考虑，人手的抓取姿态千变万化，从力学角度分析，都满足合力、合力矩为零。在虚拟场景中进行实时的受力分析，并且用物体重心进行力矩分析，计算复杂度高和运算效率低^[2]。因此，更多学者制定符合生活中手抓取特点的规则，代替复杂的力学计算。

现有的抓取规则很多。最简单的规则是大拇指和另一个手指碰触物体就判定抓取^[3]，和多个手指碰触物体后手指弯曲度足够大就判断抓取^[4]。这两种规则实现了非精确抓取，但因为运动过程中手指难免与物体发生碰撞，极易发生误抓现象。为了减少误抓，新的规则被提出，基于点接触平面的法矢的抓取规则^[5]，和基于有效阈值角度的抓取规则^[6]，以及这些规则的变形^[7-10]。这两种规则需要计算接触点的法矢，或者接触点与体心的连线方向，计算量稍有增加，但极大减少了误抓的可能。这两种方法也存在缺陷：一是没有突出拇指在抓取动作中的作用，几乎所有抓取动作都有拇指参与，这在规则中没有体现；二是没有考虑物体的形状，当物体存在曲面时，即使满足规则，也不一定是稳定抓取的状态。Miller等人^[11]将物体看做基本形状的集合，事先生成预抓取姿态，找出最合适的抓取姿态。这个想法虽然利用了物体的形状信息，但却是去生成抓取动作，而不是根据现在的状态去判断抓取。Prachyabrued等人^[12]利用弹簧模型，着重研究了物体释放的判断，用更为精确的释放条件反过来实现抓取。但是这种方法对设备的精度要求很高，更换设备需要对阈值进行调整。

本文根据物体的形状，用长方体、圆柱体、球等几何体去描述物体的碰撞体外形，以这些几何体的抓取规则为依据，判断对物体的抓取结果。对需要使用多个几何体描述碰撞体外形的复杂物体，先在各几何体上各自判断，然后将这些信息收束到不稳定状态的几何体上，用几何体的判断规则给出整体的抓取结果。

在虚拟空间中，虚拟手和操作对象会发生接触碰撞，为了提高碰撞计算的效率，包围盒法被广泛应用。包围盒法的核心思想是用体积略大的简单几何体来作为复杂几何体的碰撞代理，只需要对简单几何体做相交测试，极大加快了运算。本文使用长方体、圆柱、球等组成物体的基本几何体，根据物体的形状特征产生包围盒，得到包围盒的几何信息。对于特别复杂的物体，采用多个几何体的组合来描述。图 1是一个杯子的模型，它可以看做一个圆柱体和一个长方体的组合。

虚拟手的手指、手掌与物体发生碰撞时，可以看做给予物体一个方向力，而当多个力满足一定规则时，物体就被抓取，就要跟着手一起运动；而当规则不满足时，物体就被释放。现实中的规则是，合力、合力矩为0就能抓取，但是虚拟场景中，无法精确获得各个手指施力的大小，因此采取抓取规则，用方向信息去判断抓取。

现有的规则可以很好地解决长方体的抓取问题，如基于点接触平面法矢的抓取规则^[5]：

1) 有3个或以上的手指与物体触，并且至少3个接触点不在同一条直线上；

2) 两两接触面间的法矢夹角，至少有一个大于临界角度值 (此处设为90°)。

如图 2(a)(b)，大拇指、食指和中指3个手指的指尖与长方体相接触，且不共线；3个接触面的法矢$\boldsymbol{N}$₁，$\boldsymbol{N}$₂和$\boldsymbol{N}$₃(棱法矢假设过质心$G$) 有3个夹角$\theta $₁₂，$\theta $₁₃和$\theta $₂₃，其中$\theta $₁₃大于90°，因此该物体被抓取。

但是长方体规则对曲面物体不完全适用，例如图 2(c)抓取球，接触点都在上半球，并且其中一对法矢$\boldsymbol{N}$₁，$\boldsymbol{N}$₂的夹角$\alpha $很大，也能满足规则1和规则2，但不应判断为抓取的。因此本文从简单几何体出发，推导抓取条件，并提出了新的抓取算法。

很多物体，比如手机、没把儿的杯子等，用一个长方体、圆柱、球就能很好地描述它的碰撞体外形；同时，对复杂物体，也需要从每一个组成部分开始，分析抓取规则。因此需要先对这些单个的几何体分析抓取规则。

长方体由6个平面组成，如果两个平行的面上各受一个力，那么长方体就可以被抓起，此时再有一个力提供稳定，就能够抓取，因此长方体的抓取规则为：

1) 手势上需要符合抓取动作，大拇指和其他手指有向掌心的弯曲；

2) 包含大拇指在内的至少3根手指碰到物体，且碰触点不共线；

3) 接触点法矢间，至少一对的夹角超过90°。

与之前的规则相比，多了一条对大拇指的约束，几乎所有抓取动作都要有大拇指参与，避免大拇指没有接触物体却去进行抓取判断在计算上的浪费，也避免一些误抓的可能。同时，这里的法矢定义略有不同，当接触点在长方体面上时，法矢方向就是面法矢，而在顶点或者棱上时，法矢方向是当前手指瞬时运动方向的反方向，如图 3，法矢$\boldsymbol{N}$₁在棱上，因此方向是速度$\boldsymbol{v}$的反方向。

球的抓取比长方体更复杂，图 4(a)只有3个碰触点不可能抓住球；图 4(b)有4个碰触点，但都在同一个半球，不能抓取；图 4(c)才可以抓取。本文提出判断抓取球的方法是，接触点法矢及其分量能使球向任意方向运动。直接求解这个问题非常困难，因此需要转化。

考虑这样的情况：在有一个接触点$A$后，过球心$O$做垂直法矢$\boldsymbol{OA}$的平面$S_OA$，将球面分成两半$S$₁、$S$₂，见图 5(a)。阴影球面$S$₁上任何一点$B$的法矢$\boldsymbol{OB}$都能由$\boldsymbol{OA}$分量得到，即$S$₁上任意法矢均已得到，只要能得到$S$₂上的全部法矢，就能通过判定。

在此基础上，再有一个接触点$C$，就会把球面分成4个部分，仅$S$₂₁上的法矢未得到，见图 5(b)。此时取球面$S$₂₁上的任意一点$D$，过球心$O$做垂直法矢$\boldsymbol{OD}$的平面$S_OD$，将球面分成两个半球，而$A$，$C$两点都恰好在同一个半球上，如图 5(c)，现有接触点都在平面$S_OD$的同侧，这时无法满足抓取判定。换言之，如果存在过球心O的平面S，接触点都在S的同侧，那么球就不能被抓取，反之则被抓取。$S$=$SOD$可以以$O$为中心转动，在一定幅度内，都不改变$A$，$C$在同侧的结果，直到$S$平面与${{S}_{AOC}}$平面重合，因此对这些结果相同的平面组，只需要计算${{S}_{AOC}}$一个平面。于是问题就可以转化为一个3维空间上的命题：

$\exists S\in ${$O$和任意两个接触点形成的平面}，全部接触点在$S$的同侧。球抓取判断的计算过程如下：

1) 取两个接触点$A$、$B$，计算过$O$，$A$，$B$这3点的平面$Ax$+$By$+$Cz$+$D$=0；

2) 用剩下点的坐标代入$f$($x$，$y$，$z$)=$Ax$+$By$+$Cz$+$D$，统计正负数目；

3) 若结果全非正，或全非负，那么命题成立，判断结束；

4) 取下一对接触点$A$，$C$，回到步骤1)；全部点对都被计算完毕，则命题不成立。

因此，球的判定规则如下：

1) 包含大拇指在内有至少4个接触点。

2) 以下命题不成立：

$\exists S\in ${$O$和任意两个接触点形成的平面}，全部接触点在$S$的同侧。

圆柱体既有长方体的特性，又有球的特性，判断方式是混合的。如果接触点在圆柱的顶面、底面、棱上，可以套用长方体的规则。如图 6，有3个接触点，按照长方体规则判断为抓取；如果顶面、底面上均有接触点，此时这两个力已经可以将圆柱体抓起，只需要柱面上有一个力提供稳定，就能够进入稳定抓取状态。

而如果只在柱面上有接触点，这些接触点的法矢全都是沿径向的。参考球的抓取规则，需要现有法矢及其分量能得到柱面上的全部法矢方向。因为柱面的特点，可以把这些接触点和法矢投影到底面上，只在底平面进行判断。图 7(a)不能抓取，投影后的点都在半圆上；图 7(b)不能抓取，投影后的法矢可以组成全平面向量。因此如果底面圆周的法矢方向全都得到了，那么柱面的法矢方向也全都得到了。这样得到一个平面上的命题：

$\exists L\in ${过任意接触点的直径}，全部接触点在$L$的同侧。

圆柱抓取判断的计算过程为：

1) 将圆柱体和柱面上的接触点进行旋转，使得圆柱底面垂直$z$轴；

2) 把接触点投影到圆柱底面上，之后只对底面进行计算，因此抛弃$z$轴；

3) 取一个投影后的接触点$A$，计算直径$OA$的直线方程$Ax$+$By$+$C$=0；

4) 用剩下点的坐标代入$f$($x$，$y$)=$Ax$+$By$+$C$，统计正负数目；

5) 若结果全非正，或全非负，那么命题成立，判断结束；

6) 取下一个接触点$B$，回到步骤1)；全部点都被计算完毕，则命题不成立。

因此圆柱体的判定规则如下：

1) 包含大拇指在内有至少3个接触点。

2) 满足以下条件之一：

(1) 顶面、底面各有一个接触点，以及与这两个点不共线的第3点；

(2) 以下命题不成立：

$\exists L\in ${过任意接触点的直径}，全部接触点在$L$的同侧。

对于复杂物体，使用单一的几何体很难准确描述他的形状，这时就需要使用多个几何体的组合来描述。几何体由一个变成多个后，抓取规则也就需要有所修正：

1) 其中一个几何体被抓取，则整体被抓取。因为各部分间是刚体连结，当一个部分被抓取能随手运动后，其余也会运动，换言之，整体也被抓取了。

但是几何体变多以后，接触点会分散在多个几何体上，部分几何体会因为接触点不够多而进入一种不稳定的状态，例如球上只有3个接触点，或者接触点都在同一半球，使得球不满足规则。因为部分间都是刚体连结，其他物体上的力也会传递过来，这些不稳定状态得到新的力后，或许就能进入抓取状态。

2) 对不稳定状态，补偿其他几何体上的力后，再进行判断。

不稳定状态有很多种，这里只取最接近抓取的状态：(1) 图 8(a)相对的面上有接触点的长方体；(2) 图 8(b)有3个不在同平面接触点的长方体；(3) 图 8(c)有3个接触点的球；(4) 图 8(d)顶底面各有接触点的圆柱；(5) 图 8(e)柱面有2个不同法矢方向接触点的圆柱。

对于不稳定状态，把其他几何体上得到的法矢，也作为自身的法矢，重新使用单一几何体的规则进行判定。这些不稳定状态中，图 8(a)(b)(d) 只关心方向，触点仍然是法矢原本的接触点；图 8(c)(e) 需要计算接触点，可以把法矢从体心出发与表面的交点，作为接触点，因为是球和柱面，计算简单。图 9(a)是一个圆柱体和长方体的组合，其中长方体是不稳定状态。计算时把$\boldsymbol{N}$₁也作为长方体表面上的法矢，按照长方体规则判断。

通过法矢计算，可以得到受力平衡的条件，但因为复杂物体上手势复杂，抓取可能性多，与实际还是有所差距。图 10(a)抓取杯子，大拇指和小指碰触到杯把，其余手指碰触到杯身，图 10(b)是受力的俯视图。此时杯把和杯身都是不稳定状态，计算后，长方体的不稳定状态满足了条件，判定为抓取。但是从实际角度来看，这个杯子并不稳定，虽然合力为零，但合力矩不为零。

3) 经过修正2) 计算，符合规则后，需要再次计算合力矩，力矩平衡才能判定抓取。

法矢方向即是受力的反方向，使用法矢方向和径向矢量，可以计算出力矩方向。以其中一个碰触点为基准，计算其他碰触点的力矩方向，得到$\boldsymbol{M}$₁，$\boldsymbol{M}$₂，…，$\boldsymbol{M}$_$n$，是一组3维向量。如图 11，以$\boldsymbol{N}$₅的接触点作为基准点，与其他接触点连线得到径向矢量，根据力矩公式$\boldsymbol{M}$=$\boldsymbol{F}$×$\boldsymbol{L}$，推导出$\boldsymbol{M}$₁=$\boldsymbol{L}$₁×$\boldsymbol{N}$₁，由此计算出4个力矩向量$\boldsymbol{M}$₁，$\boldsymbol{M}$₂，$\boldsymbol{M}$₃，$\boldsymbol{M}$₄。

如果通过若干力矩向量的组合，能够得到零向量，那么就认为这些力可以使合力矩为零，即命题

$ \begin{matrix} {{a}_{1}}{{\boldsymbol{M}}_{1}}+{{a}_{2}}{{\boldsymbol{M}}_{2}}+\cdots {{a}_{n}}{{\boldsymbol{M}}_{n}}=0 \\ {{a}_{1}}\ge 0, {{a}_{2}}\ge 0, \cdots, {{a}_{n}}\ge 0, 且不同时为0 \\ \end{matrix} $

如果这个命题成立，那么${{\boldsymbol{M}}_{1}}, {{\boldsymbol{M}}_{2}}, \cdots, {{\boldsymbol{M}}_{n}}$的组合就能够表示全空间的3维向量，或者因为多向量共面导致只能表示全平面向量。为了判断这个命题，进行如下转换，将${{\boldsymbol{M}}_{1}}, {{\boldsymbol{M}}_{2}}, \cdots, {{\boldsymbol{M}}_{n}}$归一化成单位向量，并投影到单位球面上的$n$个点${{\boldsymbol{M}}_{1}}, {{\boldsymbol{M}}_{2}}, \cdots, {{\boldsymbol{M}}_{n}}$，这样就变成了这$n$个点对单位球的抓取判断，即由这$n$个点去判断命题：

$\exists S\in ${$O$和任意两个点形成的平面}，全部接触点在$S$的同侧。

计算过程为：

1) 取两个接触点$\boldsymbol{M}$₁、$\boldsymbol{M}$₂，计算过$\boldsymbol{O}$，$\boldsymbol{M}$₁，$\boldsymbol{M}$₂ 3点的平面公式$Ax$+$By$+$Cz$+$D$=0；

2) 用剩下点的坐标代入$f$($x$，$y$，$z$)=$Ax$+$By$+$Cz$+$D$，统计正负数目；

3) 若结果全非正，或全非负，那么命题成立，判断结束；

4) 取下一对接触点$\boldsymbol{M}$₁、$\boldsymbol{M}$₃，回到步骤1)；全部点对都被计算完毕，则命题不成立。

该命题不成立就表示通过这n个点可以抓取球，合力矩为零的命题成立。

这其中的特例情况有：(1) 有两个法矢在同一直线上，且方向相反；(2) 多个力矩向量投影得到的点共面，此时参照圆柱柱面抓取的推导，点映射到圆后不满足命题：

$\exists L\in $ {过任意点的直径}，全部接触点在$L$的同侧。

同样可以认为合力矩为零，满足抓取判定。

本文使用unity3d构建虚拟场景，并用neuron的数据手套采集人体、手指数据，进行虚拟交互的仿真。

图 12是与使用基于有效阈值角度规则^[6]对比。这个规则适用于带曲面物体的快速判断，但略有不足。当接触点都在球的上半球时，有效阈值角度规则会判定为抓取，球跟着手移动；但根据本文的规则，球没有判断为抓取，并不会移动。当下半球也有碰触点后，两种抓取规则都判断为抓取，并且会跟随手移动。从对比中可以看出，本文的规则在曲面上正确执行，分辨出了能抓取和不能抓取的状态。

进一步做实验，针对长方体、球体、圆柱体进行抓取试验，反复进行抓取动作，得到抓取成功率如表 1。对长方体的判断比较精确，手指的微幅抖动对抓取结果影响很小。对球体和圆柱体，碰触点的稍稍变化容易会改变计算命题的结果，导致抓取失败。

图 13(a)展示了对杯子的抓取，杯子可以看成圆柱和长方体的组合。图 13(b)是法矢的俯视图，5指分别碰触了杯口部分和杯把部分，是圆柱体和长方体的不稳定状态，通过计算满足了长方体的抓取规则，并且计算力矩后平衡，因此判断为抓取状态。

本文结合真实世界中的直观感受，提出了利用简单基本形状分解复杂物体抓取计算的方法，提出了基于物体形状的抓取规则，对长方体，要求有3个接触点，并且接触点的法矢夹角必须有一对超过90°；对球体，要求球面上的接触点不在同一半球上；对圆柱体，要求顶面和底面的接触点满足长方体规则，或者柱面的接触点投影到底面后形成的凸多边形包含底面圆心。提出的球体和圆柱体的判定条件，可以正确有效的处理带曲面物体的抓取。对于复杂物体，本文定义了不稳定状态，计算抓取时，将整体的受力集中到单个不稳定状态的几何体上，使得抓取规则适用于整个复杂物体的抓取计算。同时加入了力矩平衡可能性的计算，通过受力、力矩平衡，更准确的实现了对复杂物体的稳定抓取。但是缺少了物理量的精确计算，本文方法还不够简洁直观。要有更好的方法，就需要结合物理模型进行改进，准确计算各个接触点的受力大小、方向，用力学方法去判断抓取。