在许多实际问题中，常常面临这类情况：仅仅知道函数$y = f(x)$在连续等距区间上的积分值，而不是函数在某些离散点处的函数值。如何利用已知函数在连续等距区间上的积分值来解决函数重构是一个有意义的问题。

将区间$\left[{a, b} \right]$等分为$n$个子区间$\left[{{x_i}, {x_{i + 1}}} \right], i = 0, 1, \cdots, n -1, a = {x_0} < {x_1} < \cdots < {x_{n -1}} < {x_n} = b, {x_i} = a + ih, i = 0, 1, \cdots, n$且$h = \left( {b-a} \right)/n$。

假设函数值${y_i} = f({x_i})$未知，而函数$f(x)$在$n$个子区间$[{x_i}, {x_{i + 1}}]$上的积分值${I_i}$事先给定。不妨将该积分值记为${I_i}$，即

$ {I_i} = \int_{{x_i}}^{{x_{i + 1}}} {f\left( x \right){\rm{d}}x,\;i = 0,1, \cdots ,n - 1} $

(1)

现在的问题是，如何利用信息式(1) 去重构具有良好性质的函数去逼近$f(x)$及其导函数。该问题不仅广泛出现在数值分析、散乱数据插值与逼近、图形处理、数理统计、环境科学、力学、气候学、海洋学等领域，并且具有重要的理论研究意义^[1-4]。这是一个非常有趣的问题并且在过去的十年里备受关注。

基于等距区间上的积分值进行插值方法得到的样条函数通常被称为积分值样条插值函数。从2006年，Behforooz ^[5]首先运用样条方法和$f(x)$的积分值来构建三次样条插值函数方法至今，许多学者都致力于研究积分值样条函数插值方法^[5-13]。众所周知，不同次数的样条函数均可以成功解决此类问题，并且具有满意的整体逼近效果(虽然它往往需要添加额外的边界条件)。更为有趣的是，样条插值函数在结点处往往具有超收敛性^[8-13]。然而，所有这些方法都需要求解大型线性方程组，并且包含了相对复杂的推导过程。

众所周知, 样条拟插值是一类有效和实用的逼近算子。它具有很多优点，比如良好的保形性质、多项式再生性、易于计算性和良好的逼近阶等。特别是，Sablonnière^[14]提出具有不同光滑度的离散单变量样条拟插值，并且它在计算几何和数值逼近方面得到了广泛地应用。Boujraf等人^[15]提出了一种基于三次B-样条函数构造积分值样条拟插值的方法。与传统插值方法不同的是，这是直接构造方法。当然，它不需要求解任何线性方程组。不得不顺带提一下，Multiquadric拟插值也是一类非常有效的拟插值算子，已经成为逼近论和微分方程数值解中的热点。2012年，高文武等人^[16]给出了线性泛函数据的拟插值方法。有理由相信，Multiquadric拟插值也可以应用到积分值的函数重构上，我们将在后期给予关注和研究。

多层插值与逼近技术同样受到了很多学者的关注。例如，Narcowich等人^[17]基于逼近速度提出了多层方法的理论基础，并且给出了能够快速插值于成千上万结点的一个数值稳定性方法。2004年，Ling^[18]讨论了一种多层Multiquadric拟插值算子。2010年，李彩云等人^[19]研究了一类多层单变量样条拟插值算子并将它成功应用到数值积分的计算上。2014年，吴金明等人^[20]提出了一种多层二元四次样条拟插值算子，并将它运用到2维奇异积分的数值计算上。

本文基于多层技术和三次B-样条函数，提出了基于连续等距区间上积分值的多层拟插值方法。该方法称为多层积分值三次样条拟插值方法。数值实验表明该方法可以在整体上很好地逼近函数值、一阶导数值和二阶导数值。与已有方法^[15]相比，该方法具有相对更好的逼近效果和数值收敛阶。

首先回顾一下积分值三次样条拟插值算子。由于函数值${f_i} = f({x_i})$未知，可以利用积分值${I_i}, i = 0, 1, \ldots, n-1$的线性组合来逼近它，并且具有$O(h4)$收敛阶。

命题1^[15]对$i = 2, 4, \ldots, n-2$，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde f}_i}:\; = \frac{1}{{12h}}\left( { - {I_{i - 2}} + 7{I_{i - 1}} + 7{I_i} - {I_{i + 1}}} \right) = }\\ {{f_i} + O\left( {{h^4}} \right)} \end{array} $

(2)

同样的，利用积分值${I_0}, {I_1}, {I_2}, {I_3}$的线性组合去逼近函数值${f_0}, {f_1}$, 并且具有$O(h4)$的误差。相应的方法可以去逼近${f_{n-1}}, {f_n}$。

命题2^{[12, 15]}

$ \begin{array}{l} {{\tilde f}_0}:\; = \frac{1}{{12h}}\left( {25{I_0} - 23{I_1} + 13{I_2} - 3{I_3}} \right) = \\ \;\;{f_0} + O\left( {{h^4}} \right)\\ {{\tilde f}_1}:\; = \frac{1}{{12h}}\left( {3{I_{n - 1}} + 13{I_1} - 5{I_2} + {I_3}} \right) = \\ \;\;{f_1} + O\left( {{h^4}} \right)\\ {{\tilde f}_{n - 1}}:\; = \frac{1}{{12h}}\left( {3{I_{n - 1}} + 13{I_{n - 2}} - 5{I_{n - 3}} + {I_{n - 4}}} \right) = \\ \;\;{f_{n - 1}} + O\left( {{h^4}} \right)\\ {{\tilde f}_n}:\; = \frac{1}{{12h}}\left( {25{I_{n - 1}} - 23{I_{n - 2}} + 13{I_{n - 3}} - {I_{n - 4}}} \right) = \\ \;\;{f_n} + O\left( {{h^4}} \right) \end{array} $

(3)

为了使用三次准均匀B-样条，用重结点技术在区间$\left[{a, b} \right]$的端点处进行延拓，即

$ \begin{array}{l} {x_{ - 3}} = {x_{ - 2}} = {x_{ - 1}} = {x_0} = a\\ b = {x_n} = {x_{n + 1}} = {x_{n + 2}} = {x_{n + 3}} \end{array} $

假设${B_{i, 3}}(x)$是三次准均匀B-样条基函数并且其局部支集为$[{x_{i-4}}, {x_i}]$。

积分值三次样条拟插值算子定义为^[15]

$ {Q_3}\tilde f:\; = \sum\limits_{i = 1}^{n + 3} {{v_i}\left( {\tilde f} \right){B_{i,3}}\left( x \right)} $

(4)

式中，系数${v_i}(\tilde f)$的定义为

$ \begin{array}{l} {v_1}\left( {\tilde f} \right) = {{\tilde f}_0}\\ {v_2}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{{\tilde f}_0} + 18{{\tilde f}_1} - 9{{\tilde f}_2} + 2{{\tilde f}_3}} \right)\\ {v_j}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{6}\left( { - {{\tilde f}_{j - 3}} + 8{{\tilde f}_{j - 2}} - {{\tilde f}_{j - 1}}} \right),j = 3, \cdots ,n + 1\\ {v_{n + 2}}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{{\tilde f}_n} + 18{{\tilde f}_{n - 1}} - 9{{\tilde f}_{n - 2}} + 2{{\tilde f}_{n - 3}}} \right)\\ {v_{n + 3}}\left( {\tilde f} \right) = {{\tilde f}_n} \end{array} $

此处，记号${{\tilde f}_0}, {{\tilde f}_1}, \ldots, {{\tilde f}_n}$与式(2)和式(3)相同。显然，系数${v_i}(\tilde f)$由积分值${I_i}, i = 0, 1, \ldots, n-1$的线性组合决定, 此处省略。详细表达式可见文献[15]。

注意到，由于${{\tilde Q}_3}f$最终完全由式(1) 积分值${I_j}, {\rm{ }}j = 0, 1, \ldots, n-1$所确定，所以${{\tilde Q}_3}f$是由积分值完全决定的一类拟插值算子。我们称之为积分值三次样条拟插值。该积分值样条拟插值函数具有如下的整体误差估计。

定理1^[15]对任意函数$f\left( x \right) \in ℂ^4[a, b]$和$k$=0, 1, 2, 存在常数$C_k$，使得

$ {\left\| {Q_3^{\left( k \right)}\tilde f - {f^{\left( k \right)}}} \right\|_\infty } \le {C_k}{h^{4 - k}} $

式中，${\left\| \cdot \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[{a, b} \right]} | \cdot |$。

首先给出一种两层积分值三次样条拟插值方法。根据式(2) 和式(3)，假设${{\tilde f}_1}, {{\tilde f}_2}, \ldots, {{\tilde f}_n}$是由积分值${I_i}, i = 0, 1, \ldots, n-1$的线性组合逼近得到。为了以后叙述方便，${{\tilde f}_i}$也可以理解为某个函数$\tilde f\left( x \right)$在结点$x_i$的函数值，并且$\tilde f\left( x \right)$逼近$f(x)$时具有逼近阶$O(h4)$。当然，并不需要知道$\tilde f\left( x \right)$的具体表达式。

不失一般性，令$n$为偶数并且记$m = \frac{n}{2}$。定义两个结点集，即

$ \begin{array}{l} \Delta :\; = \left\{ {{x_0},{x_1}, \cdots ,{x_n}} \right\}\\ Y:\; = \left\{ {{x_0},{x_2}, \cdots ,{x_{2m}}} \right\} \end{array} $

首先，对相对粗糙的数据点集

$ \left\{ {\left( {{x_{2j}},{{\tilde f}_{2j}}} \right)} \right\},j = 0,1, \cdots ,m $

(5)

构造三次样条拟插值算子

$ \begin{array}{l} {Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{m + 3} {{{\hat v}_i}\left( {\tilde f} \right){{\hat B}_{i,3}}\left( x \right)} \\ {{\hat v}_1}\left( {\tilde f} \right) = {{\tilde f}_0}\\ {{\hat v}_2}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{{\tilde f}_0} + 18{{\tilde f}_2} - 9{{\tilde f}_4} + 2{{\tilde f}_6}} \right)\\ {{\hat v}_j}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{6}\left( { - {{\tilde f}_{2\left( {j - 3} \right)}} + 8{{\tilde f}_{2\left( {j - 2} \right)}} - {{\tilde f}_{2\left( {j - 1} \right)}}} \right)\\ \;\;\;j = 3, \cdots ,m + 1\\ {{\hat v}_{m + 2}}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{{\tilde f}_{2m}} + 18{{\tilde f}_{2\left( {m - 1} \right)}} - 9{{\tilde f}_{2\left( {m - 2} \right)}} + 2{{\tilde f}_{2\left( {m - 3} \right)}}} \right)\\ {{\hat v}_{m + 3}}\left( {\tilde f} \right) = {{\tilde f}_{2m}} \end{array} $

并且$\left\{ {{{\hat B}_{i, 3}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{m + 3}$是定义在结点集$\{ {x_0}, {x_0}, {x_0}, {x_0}, {x_2}, \ldots, {x_{2m-2}}, {x_{2m}}, {x_{2m}}, {x_{2m}}, {x_{2m}}\} $上的三次准均匀B-样条基函数。

事实上，所有的${{\hat v}_i}\left( {\tilde f} \right)$都可以用积分值${I_i}$，$i$=0, 1, …, $n$-1来表示，即

$ \begin{array}{l} {{\hat v}_1}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{12h}}\left( {25{I_0} - 23{I_{\rm{1}}} + 13{I_2} - 3{I_3}} \right)\\ {{\hat v}_2}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{216h}}\left( {157{I_0} - 35{I_{\rm{1}}} + 226{I_2} - 102{I_3} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {65{I_4} + 23{I_5} + 14{I_6} - 2{I_7}} \right)\\ {{\hat v}_3}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{72h}}\left( { - 33{I_0} + 79{I_1} + 44{I_2} - 12{I_3} - 7{I_4} + {I_5}} \right)\\ {{\hat v}_4}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{72h}}\left( {{I_0} - 7{I_1} - 15{I_2} + 57{I_3} + 57{I_4} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {15{I_5} - 7{I_6} + {I_7}} \right)\\ {{\hat v}_j}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{72h}}\left( {{I_{2j - 8}} - 7{I_{2j - 7}} - 15{I_{2j - 6}} + 57{I_{2j - 5}} + 57{I_{2j - 4}} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {15{I_{2j - 3}} - 7{I_{2j - 2}} + {I_{2j - 1}}} \right),5 \le j \le m - 1\\ {{\hat v}_m}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{72h}}\left( {{I_{2m - 1}} - 7{I_{2m - 2}} - 15{I_{2m - 3}} + 57{I_{2m - 4}} + } \right.\\ \;\;\;\;57{I_{2m - 5}} - 15{I_{2m - 5}} - 7{I_{2m - 7}} + {I_{2m - 8}}\\ {{\hat v}_{m + 1}}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{72h}}\left( { - 33{I_{2m - 1}} + 79{I_{2m - 2}} + 44{I_{2m - 3}} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {12{I_{2m - 4}} - 7{I_{2m - 5}} + {I_{2m - 6}}} \right)\\ {{\hat v}_{m + 2}}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{216h}}\left( {157{I_{2m - 1}} - 35{I_{2m - 2}} + 226{I_{2m - 3}} - } \right.\\ \;\;\;\;\left. {102{I_{2m - 4}} - 65{I_{2m - 5}} + 23{I_{2m - 6}} + 14{I_{2m - 7}} - 2{I_{2m - 8}}} \right)\\ {{\hat v}_{m + 3}}\left( {\tilde f} \right) = \frac{1}{{12h}}\left( {25{I_{2m - 1}} - 23{I_{2m - 2}} + 13{I_{2m - 3}} - 3{I_{2m - 4}}} \right) \end{array} $

同时，定义误差函数

$ \varepsilon \left( x \right) = \bar f\left( x \right) - {Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right) $

(6)

注意到由于${Q_{3, Y}}\tilde f(x)$是一个已知的三次样条函数，而${{\tilde f}_i} = \tilde f\left( {{x_i}} \right)$也是已知的(虽然$\tilde f\left( x \right)$是未知的)，因此$\varepsilon \left( {{x_i}} \right) = {{\tilde f}_i}-{Q_{3, \Upsilon }}\tilde f({x_i})$容易计算。

其次，对于所有数据点集

$ \left\{ {\left( {{x_i},\varepsilon \left( {{x_i}} \right)} \right)} \right\},i = 0,1, \cdots ,n $

(7)

构造三次样条拟插值算子

$ \begin{array}{l} {Q_{3,\Delta }}\varepsilon \left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n + 3} {{v_i}\left( \varepsilon \right){B_{i,3}}\left( x \right)} \\ {v_1}\left( \varepsilon \right) = {\varepsilon _0}\\ {v_2}\left( \varepsilon \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{\varepsilon _0} + 18{\varepsilon _1} - 9{\varepsilon _2} + 2{\varepsilon _3}} \right)\\ {v_j}\left( \varepsilon \right) = \frac{1}{6}\left( { - {\varepsilon _{j - 3}} + 8{\varepsilon _{j - 2}} - {\varepsilon _{j - 1}}} \right)\\ \;\;\;j = 3, \cdots ,n + 1\\ {v_{n + 2}}\left( \varepsilon \right) = \frac{1}{{18}}\left( {7{\varepsilon _n} + 18{\varepsilon _{n - 1}} - 9{\varepsilon _{n - 2}} + 2{\varepsilon _{n - 3}}} \right)\\ {v_{n + 3}}\left( \varepsilon \right) = {\varepsilon _n} \end{array} $

此处，B-样条基函数$\left\{ {{B_{i, 3}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{n + 3}$的定义与式(4) 相同并且${\varepsilon _i} = \varepsilon ({x_i})$。

最后，给出两层三次样条拟插值

$ L{Q_3}\bar f\left( x \right):\; = {Q_{3,Y}}\bar f\left( x \right) + {Q_{3,\Delta }}\varepsilon \left( x \right) $

(8)

$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$的两个部分可以理解为：

${Q_{3, Y}}\tilde f\left( x \right)$是对原始数据一个整体的逼近，占主要部分；${Q_{3, \Delta }}\varepsilon (x)$是对原始数据一个局部的修正，占次要部分。

注意到由于$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$也完全由式(1) 中积分值${I_j}, j = 0, 1, \ldots, n-1$所确定，所以$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$是由积分值决定的一种两层三次样条拟插值方法，该方法称之为两层积分值三次样条拟插值。显然，该方法可以推广到多层情形。

简要介绍两层积分值三次样条拟插值的一些性质，如多项式再生性和逼近阶。

引理1  记${P_3}[x]$为所有次数≤3的一元多项式集合，则${Q_3}\tilde f\left( x \right)$满足三次多项式再生性。即

$ {Q_3}\bar f\left( x \right) = f\left( x \right),\forall f\left( x \right) \in {P_3}\left[ x \right] $

证明:如果$f\left( x \right) \in {P_3}[x]$，那么${{\tilde f}_i}$精确逼近$f_i$，即

$ {{\tilde f}_i} = {f_i},i = 0,1, \cdots ,n. $

因此，${Q_3}\tilde f$恰好就是经典的三次样条拟插值算子${Q_3}f$，而${Q_3}\tilde f$具有三次多项式再生性^[14]。也就是说，${Q_3}\tilde f\left( x \right) = f(x), \forall f\left( x \right) \in {P_3}[x]$。证毕。

定理1  $L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$具有三次多项式再生性。即

$ L{Q_3}\bar f\left( x \right) = f\left( x \right),\forall f\left( x \right) \in {P_3}\left[ x \right] $

证明:由引理1可知，如果$f\left( x \right) \in {P_3}[x]$，那么$\tilde f\left( x \right) = f\left( x \right)$。因此，有${\varepsilon _i} = 0, {\rm{ }}i = 0, 1, \ldots, n$和${Q_{3, \Delta }}\varepsilon \left( x \right) = 0$。从而，$L{Q_3}\tilde f\left( x \right) = {Q_{3, \Upsilon }}\tilde f\left( x \right) = f(x)$。

对于$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$的逼近阶，有以下结论：

定理2  如果$f\left( x \right) \in ℂ^4[a, b]$，那么$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$至少有误差估计${\left\| {f\left( x \right)-L{Q_3}\tilde f\left( x \right)} \right\|_\infty } = O\left( {{h^4}} \right)$。

证明:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {f\left( x \right) - L{Q_3}\bar f\left( x \right)} \right\|}_\infty } = \left\| {f\left( x \right) - } \right.}\\ {{{\left. {{Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right) - {Q_{3,\Delta }}\varepsilon \left( x \right)} \right\|}_\infty } = \left\| {f\left( x \right) - \tilde f\left( x \right) + } \right.}\\ {\tilde f\left( x \right) - {Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right) - {Q_{3,\Delta }}\left( {\tilde f\left( x \right) - {Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right)} \right)\left\| {_\infty } \right. \le }\\ {\left( {1 + \left\| {{Q_{3,\Delta }}} \right\|} \right){{\left\| {f\left( x \right) - \tilde f\left( x \right)} \right\|}_\infty } + }\\ {{{\left\| {f\left( x \right) - {Q_{3,Y}}\tilde f\left( x \right)} \right\|}_\infty } = O\left( {{h^4}} \right)} \end{array} $

式中，$\left\| {{Q_{3, \Delta }}} \right\|$是拟插值算子${{Q_{3, \Delta }}}$的范数。

通过后续的数值例子，不难发现尽管两层积分值三次样条拟插值算子$L{Q_3}\tilde f$和文献[15]给出的积分值三次样条拟插值${Q_3}\tilde f\left( x \right)$具有相同的逼近阶，但是本文的拟插值具有相对更好的逼近误差和数值收敛阶，并且该方法可以推广到多层情形。

借助数值例子的结果论证本文方法是可行和有效的。

考虑测试函数^[12]

$ f\left( x \right) = \exp \left( x \right),g\left( x \right) = \cos \left( {{\rm{\pi }}x} \right) $

记$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$为本文提出的两层积分值三次样条拟插值算子。为了与已有方法进行对比，不妨设${Q_3}\tilde f\left( x \right)$是Boujraf等人^[15]给出的积分值三次样条拟插值算子。对于不同的$n$，分别用$L{Q_3}\tilde f\left( x \right)$和${Q_3}\tilde f\left( x \right)$去逼近$f(x)$，一阶导数和二阶导数，其结果如表 1-表 6所示。

为了揭示数值收敛阶，在表 1-表 6中相应的列出了它们的数值收敛阶($NCO$)，$NCO$的定义为

$ NCO:\; = NCO\left( {n \to 2n} \right) = \frac{{\ln \left( {e\left( n \right)/e\left( {2n} \right)} \right)}}{{\ln 2}} $

式中，$e(n)$表示当给定积分值个数为$n$的条件下得到的样条拟插值函数与测试函数之间的最大误差。同样方式可以理解$e(2n)$。

通过表 1-表 6的对比，不难发现两层积分值三次样条拟插值算子较之文献[15]的单层积分值三次样条插值方法具有相对更好的整体逼近效果和数值收敛阶。

为了更好直观看出整体逼近效果，图 1-图 3分别给出$g(x)$与$L{Q_3}\tilde g(x)、g\prime (x)$与$LQ{'_3}\tilde g(x), g''(x)$与$LQ'{'_3}\tilde g(x)$的图形(此时取$n$=10)。

从上面的图形中，不难看出两层积分值三次样条拟插值可以很好地逼近原始函数、一阶导函数和二阶导函数。显然，当$n$越来越大时，逼近效果就会越来越好。

基于连续等距区间上给定的积分值、三次样条拟插值和分层技术提出了一种函数重构的方法。多层积分值三次样条拟插值具有如下优点：1) 不需要求解任何线性方程组和边界条件；2) 在整体上对函数本身及导函数都具有良好的逼近性质。

该方法适用于已知等距区间上积分值的函数重构问题。存在的主要缺点是本文方法与文献[15]相比具有相对复杂的计算量。当然，与获得更好的逼近效果和数值收敛阶来比，这种牺牲还是值得的。能否直接利用连续等距区间上积分值信息和MQ拟插值算子技巧来解决此类问题将是下一步研究的内容。