0 引 言

1 传统的振铃效应抑制方法

1.1 循环边界法

循环边界法是将原图按照反射对称方式延拓，使原图大小由M×N变成2M×2N，其延拓方式如图 1所示。该方法通过对称延拓使得图像的边缘部分不会出现灰度的跳变，从而可以消除因边界截断而产生振铃效应的因素，但是却极大的增加了计算量。对于恢复过程中有迭代的方法时，计算量更是成倍增长的。

图 1 循环边界法延拓图像形式

Fig. 1 Image extension mode of cyclic boundary algorithm

1.2 最优窗法

2 基于正弦积分的振铃效应抑制

2.1 图像延展

设待复原运动模糊图像大小为M×N像素，模糊核的大小为m×n像素。其中，模糊核的估计分成模糊角度估计和模糊长度估计两个部分。由于傅里叶频谱图的倾斜角度和模糊角度正交，所以将模糊图像转换到频域上，通过计算傅里叶频谱图的倾斜角度即可获取模糊角度。模糊长度的估计建立在计算出的模糊角度的基础上。首先，将模糊图像以模糊角度反方向旋转，转化成水平方向运动的模糊图像；然后，对水平方向运动的模糊图像进行水平方向微分，并对微分后的图像进行水平方向的自相关运算；最后，根据自相关运算结果所作曲线得到模糊长度。模糊核由模糊角度和模糊长度合成得到。进而，根据模糊核的大小对图像进行延展，在图像的上下边界处分别延展m-1行像素，图像的左右边界处分别延展n-1列像素。这样，图像被划分为9个部分，如图 2所示。图 2中，区域18为图像的延展部分，区域9是原始图像。延展后的图像每个区域都有各自独立的边界，各个区域的范围如表 1所示。

图 2 区域划分图

Fig. 2 Diagram of region division

表 1 区域划分范围
Table 1 Range of region division

下载CSV

区域编号	所属列范围
1、2、3	[1,(n-1)]
4、8	[n,(N+n-1)]
5、6、7	[(N+n),(N+2n-2)]
1、8、7	[1,(m-1)]
2、6	[m,(M+m-1)]
3、4、5	[(M+m),(M+2m-2)]

对于图像的延展使用对称的镜像延展方式，如图 3所示。延展部分的A′和待处理图像A处由于两点距图像边界的距离均L个像素，故两点处的像素值相同。

图 3 图像延展示意图

Fig. 3 Diagram of image extension

图 4是对模糊图像进行延展的效果图。图 4中，框内的部分为原始待处理图像，周围为该图像的延展效果。

图 4 图像延展结果

Fig. 4 Image extension result

2.2 窗函数计算

2.2.1 单向过渡区域

为了达到抑制振铃效应的目的，需要使图像边缘处的像素值逐步过渡。如图 5所示，由于正弦函数满足渐变的特点，采用正弦函数的积分形式合成窗函数。以区域2和区域8为例对图 2中的区域2、4、6、8进行描述。计算该部分窗函数的值，即

${{S}_{2}}(:,j)=\int\limits_{0}^{A(j)}{sin(x)dx}$

(1)

${{S}_{8}}(i,:)=\int\limits_{0}^{A(i)}{sin(x)dx}$

(2)

图 5 窗函数计算示意图

Fig. 5 Diagram of window function computation

式中，S₂表示区域2，该区域有n₂列，A是将0到π/2划分为n₂+2个数的等差数列，A(j)是等差数列中的第j+1项的值(j代表S₂区域的列号)。

S₈表示区域8，该区域有n₈行，A是将0到π/2划分为n₈+2个数的等差数列，A(i)是等差数列中的第i+1项的值(i代表S₈区域的行号)。A(i)和A(j)为

$A(i)=\frac{\pi }{2({{n}_{r}}+1)}\times i$

(3)

$A(j)=\frac{\pi }{2({{n}_{c}}+1)}\times j$

(4)

式中，n_r代表区域8的行数，n_c代表区域2的列数。

正弦函数积分情况如图 5中阴影面积所示，区域行(列)的取值情况如图 6所示。

图 6 窗函数行(列)的值

Fig. 6 Row(column) value of window function

2.2.2 双向过渡区域

图 2中的区域1、3、5、7则是一个双向(如区域1是向下向右)过渡的一个过程，因此采用双正弦函数积分的形式拟合这些区域的窗函数，如图 7所示。图 7描述了区域1列方向和行方向的正弦函数取值。从横向角度来看，区域1中的每一行是从0向与区域8这一行对应的值过渡的过程，纵向角度也是同样的。因此，区域1中每行的积分上限最大值为区域8中对应该行的积分上限值；区域1中每列的积分上限最大值为区域2中对应该列的积分上限值。

区域8中该行的积分上限值为

$\alpha =arccos(1-{{S}_{8}}(i,:))$

(5)

$\begin{align} & {{S}_{8}}(i:1)=\int\limits_{0}^{\alpha }{sin(x)dx}=-cos(x)|_{0}^{\alpha }= \\ & -cos(\alpha )-(-cos(0))=1-cos(\alpha ) \\ \end{align}$

(6)

图 7 区域1窗函数计算示意图

Fig. 7 Diagram of window function computation in region 1

同理可得区域2的第j列积分上限值为arccos(1-S₂(:,j))。

进而计算出横向S_r和纵向S_c的值，通过求取两者的均值得到该点的窗函数值

$\begin{array}{l} {S_1} = \frac{1}{2} \times \left( {{S_c} + {S_r}} \right) = \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\frac{1}{2}} \end{array} \times \left( {\int\limits_0^{{A_2}(j)} {sin(x)dx} + \int\limits_0^{{A_1}(i)} {sin(x)dx} } \right) \end{array}$

(7)

分别用a和b表示区域1的行数和列数，则对于区域1的第j列来说，A₁是将0到arccos(1-S₂(:,j))划分为a+2个数的等差数列，A₁(i)是等差数列中的第i+1项的值，即

${{A}_{1}}(i)=\frac{\arccos (1-{{S}_{2}}(:,j))}{(a+1)}\times i$

(8)

对于区域1的第i行来说，A₂是将0到arccos(1-S₈(i,:))划分为b+2个数的等差数列，A₂(j)是等差数列中的第j+1项的值，即

${{A}_{2}}(j)=\frac{\arccos (1-{{S}_{8}}(i,:))}{(b+1)}\times j$

(9)

由于窗函数呈现对称趋势，可以利用已计算出的区域1、2、8得到区域3、4、5、6、7的值，完成对窗函数的构造。

2.3 延展图像合成与图像复原

得到延展图像和窗函数后，合成新的延展图像，即

${g}'(x,y)=g(x,y)\times w(x,y)$

(10)

式中，g(x,y)表示延展图像，w(x,y)表示正弦积分得到的窗函数，g′(x,y)是合成的新的延展图像。

在此基础上，利用图像复原算法对延展图像g′(x,y)进行恢复，并提取如图 8所示的恢复结果图像中间区域9的部分作为最终恢复的结果。

图 8 图像边界过渡示意图

Fig. 8 Transition diagram of image border

由图 8可以看出，使用本文方法会使图像具有中间信息不变、四周易受影响的区域呈现出灰度的逐渐过渡的特点，从而可以对图像恢复过程中由于边界截断而产生的振铃效应进行抑制。

3 实验与分析

3.1 待处理的模糊图像

选取如图 9(a)(b)所示的两幅模糊图像计算参数合成模糊核，为后续的图像恢复以及抑制振铃效应做准备。其中，图 9(a)的大小是258×259像素，图 9(b)的大小是451×433像素。合成的图 9(a)的模糊核大小是5×11像素，图 9(b)的模糊核大小是11×29像素。

图 9 待处理的模糊图像

Fig. 9 Blurred images to be processed

3.2 去除振铃效应的视觉效果

在合成了模糊核的基础上，我们先使用传统的维纳滤波法和RL复原法对模糊图像进行复原，然后使用几种振铃效应抑制算法对图像进行处理，并比较各种算法抑制振铃效应的效果，结果分别如图 10、图 11所示。

图 10 对图 9使用维纳滤波复原和振铃效应抑制结果

Fig. 10 Restoration results of Fig. 9 by Wiener filtering and border ringing effects reduction methods combined with Wiener filtering ((a)Wiener filtering directly； (b) cyclic boundary algorithm； (c) optimal window algorithm； (d) our proposed method)

图 11 对图 9使用RL复原和振铃效应抑制结果

Fig. 11 Restoration results of Fig. 9 by RL algorithm and border ringing effects reduction methods combined with RL algorithm ((a) RL algorithm directly; (b) cyclic boundary algorithm; (c) optimal window algorithm; (d) our proposed method)

从实验结果可以直观看出，对于不同模糊图像的直接复原，复原图像的周围在不同程度上存在着一些振铃效应；分别采用3种抑制振铃效应方法后，振铃效应不同程度上减弱。从计算角度，相对于最优窗算法，循环边界法在抑制振铃效应时过多拓展图像；但是从视觉角度，最优窗法忽略了图像边缘信息。本文算法在没有大幅拓展图像的同时在一定程度上抑制了振铃效应，而且保存了边缘信息，提升了图像的复原质量。

3.3 复原质量评价

使用峰值信噪比(PSNR)、归一化均方误差(NMSE)以及图像质量指数(Q)^[16]来衡量图像的复原质量。其中Q为

$Q = \frac{{{\sigma _{xy}}}}{{{\sigma _x}{\sigma _y}}} \times \frac{{2\overline {xy} }}{{{{(\bar x)}^2} + {{(\bar y)}^2}}} \times \frac{{2{\sigma _x}{\sigma _y}}}{{{\sigma _x}^2 + {\sigma _y}^2}}$

(11)

式中，x和y分别代表原始图像和测试图像的像素值；和分别表示像素的平均值；σ_x²、σ_y²以及σ_xy为

$\sigma _{x}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}$

(12)

$\sigma _{y}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}^{2}}$

(13)

${{\sigma }_{xy}}=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)$

(14)

式中，N为像素个数。

使用维纳滤波和RL复原算法对图 9(a)(b)所示的两幅图像进行直接恢复，利用循环边界法进行振铃效应抑制，利用最优窗法进行振铃效应抑制以及利用本文方法进行振铃效应抑制的结果分别如表 2所示。

表 2 使用不同算法对图 9的复原质量比较
Table 2 Restoration quality comparison for Fig. 9

下载CSV

复原算法	振铃效应抑制算法	图 9(a)				图 9(b)
		PSNR/dB	NMSE	Q		PSNR/dB	NMSE	Q
维纳滤波	直接恢复	21.874 4	0.023 7	0.402 3		21.083 9	0.034 1	0.602 9
	循环边界	28.040 4	0.005 7	0.585 8		24.473 3	0.015 6	0.648 3
	最优窗	29.602 6	0.003 9	0.522 3		24.521 1	0.015 4	0.642 3
	本文方法	30.365 8	0.003 4	0.545 5		24.714 3	0.014 8	0.671 8
RL算法	直接恢复	23.514 4	0.016 3	0.511 4		20.347 1	0.040 4	0.667 3
	循环边界	28.057 3	0.005 7	0.587 3		24.984 7	0.013 9	0.717 9
	最优窗	28.250 4	0.005 5	0.583 7		24.047 2	0.017 2	0.620 1
	本文方法	28.805 2	0.004 8	0.608 2		24.218 8	0.016 5	0.649 4

由表 2可以看出：1)使用不同方法抑制振铃效应后的图像质量明显好于直接复原的图像质量。2)利用本文提出的正弦积分法进行振铃效应抑制之后的图像PSNR值比使用最优窗法进行振铃效应之后的图像PSNR值提高了约0.17~0.76 dB，利用本文提出的正弦积分法进行振铃效应抑制之后的图像NMSE值比使用最优窗法进行振铃效应之后的图像NMSE值降低了约0.000 5~0.000 7，利用本文提出的正弦积分法进行振铃效应抑制之后的图像Q值比使用最优窗法进行振铃效应之后的图像Q值提高了约0.023~0.029，即利用本文提出的正弦积分法进行振铃效应抑制之后的图像质量优于使用最优窗法进行振铃效应之后的图像质量。3)在多数情况下，利用本文提出的正弦积分法进行振铃效应抑制之后的图像质量优于循环边界法。上述结果的主要原因是在使用本文方法进行振铃效应的抑制过程中没有忽略掉图像的边缘信息，使得图像更加接近于原始图像。

由表 2两幅图像相比较可以得出：1)在维纳滤波复原图像时，使用本文方法进行振铃效应抑制与直接使用维纳滤波进行图像复原相比，图 9(a)的PSNR值提高了8.491 4 dB、NMSE值降低了0.020 3，Q值提高了0.143 2，而图 9(b)的PSNR值提高了3.630 4 dB、NMSE值降低了0.019 3，Q值提高了0.068 9。2)在RL复原算法复原图像时，使用本文方法进行振铃效应抑制与直接使用RL算法进行图像复原相比，图 9(a)的PSNR值提高了5.290 8 dB，NMSE值降低了0.011 5，Q值提高了0.096 8，而图 9(b)的PSNR值提高了3.871 7 dB，NMSE值降低了0.023 9，Q值降低了0.017 9。从大部分指标来看，使用振铃效应抑制方法对图 9(a)复原效果的提升高于图 9(b)，即随着模糊图像和模糊核尺寸的增大，使用振铃效应抑制方法对复原效果的提升性能呈降低趋势。

3.4 复原时间比较

分别使用维纳滤波和RL算法(迭代20次和30次)对图 9(a)(b)所示的模糊图像进行复原，并分别结合循环边界法、最优窗法以及本文方法进行振铃效应的抑制。使用不同算法所需的时间分别如表 3所示。由表 3可以得出：1)循环边界法所用的时间高于最优窗以及本文方法，在相同迭代次数情况下，图像尺寸越大处理时间越长。2)本文方法所耗时间略高于最优窗法但远低于循环边界法,本文方法对非迭代恢复算法的处理时间比循环边界算法降低了约0.0~40.11 s,对迭代恢复算法(迭代次数为20次、30次的情况下)处理时间减少了1.92~7.16 s。3)在使用RL算法进行图像复原时，图像复原质量会随着迭代次数的增加而提升，计算时间会随着迭代次数的增加而增加，迭代次数更多时，处理时间的增加幅度更大。上述结果的主要原因是本文方法为了避免最优窗法恢复时忽略图像边缘信息而对图像边缘部分进行了延展，但没有像循环边界法那样进行较大面积的图像延展，使得计算时间依然在可接受范围之内。

表 3 使用不同算法对图 9的复原时间比较
Table 3 Restoration time comparison for Fig. 9

下载CSV

方法	图 9(a)复原时间/s			图 9(b)复原时间/s
	维纳滤波	RL(20次)	RL(30次)	维纳滤波	RL(20次)	RL(30次)
循环边界	0.517 924	3.427 841	4.965 158	0.613 179	8.512 112	12.844 884
最优窗	0.444 561	1.420 324	1.804 831	0.462 231	3.210 312	4.594 733
本文	0.476 602	1.503 317	1.851 893	0.503 135	4.088 401	5.775 499

4 结 论

参考文献

[1] Shan Q, Jia J Y, Agarwala A. High-quality motion deblurring from a single image[J]. ACM Transactions on Graphics , 2008, 27 (3) : #73. DOI:10.1145/1360612.1360672
[2] Xiang S M, Meng G F, Wang Y, et al. Image deblurring with matrix regression and gradient evolution[J]. Pattern Recognition , 2012, 45 (6) : 2164–2179. DOI:10.1016/j.patcog.2011.11.026
[3] Zhang X B, Feng X C, Wang W W, et al. Gradient-based wiener filter for image denoising[J]. Computers & Electrical Engineering , 2013, 39 (3) : 934–944. DOI:10.1016/j.compeleceng.2012.07.013
[4] Wang Y. Algorithm research and implementation of image motion deblurring[D]. Chengdu:University of Electronic Science and Technology, 2015. [王宇. 图像去运动模糊算法研究与实现[D]. 成都:电子科技大学, 2015.] http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10614-1015714437.htm
[5] Setzer S. Operator splittings, Bregman methods and frame shrinkage in image processing[J]. International Journal of Computer Vision , 2011, 92 (3) : 265–280. DOI:10.1007/s11263-010-0357-3
[6] Li X C, Song B. Applying the improved regularization model to image restoration[J]. Journal of Image and Graphics , 2014, 19 (12) : 1730–1742. [ 李旭超, 宋博. 改进的正则化模型在图像恢复中的应用[J]. 中国图象图形学报 , 2014, 19 (12) : 1730–1742. DOI:10.11834/jig.20141204 ]
[7] Pan J S, Hu Z, Su Z X, et al. Deblurring text images via L0-regularized intensity and gradient prior[C]//Proceedings of 2014 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. Columbus, OH:IEEE, 2014:2901-2908.DOI:10.1109/CVPR.2014.371
[8] Tzimiropoulos G, Zafeiriou S, Pantic M. Subspace learning from image gradient orientations[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 2012, 34 (12) : 2454–2466. DOI:10.1109/TPAMI.2012.40
[9] Zuo W M, Lin Z C. A generalized accelerated proximal gradient approach for total-variation-based image restoration[J]. IEEE Transactions on Image Processing , 2011, 20 (10) : 2748–2759. DOI:10.1109/TIP.2011.2131665
[10] Cho T S, Joshi N, Zitnick C L, et al. A content-aware image prior[C]//Proceedings of IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. San Francisco, CA, USA:IEEE, 2010:169-176.DOI:10.1109/CVPR.2010.5540214
[11] Yang L, Liu G H, Shi Z Y. Research on suppression algorithms of the ringing effect caused by blind image restoration[C]//Proceedings of the 5th International Conference on Instrumentation and Measurement, Computer, Communication and Control. Qinhuangdao, China:IEEE, 2015:1264-1267.DOI:10.1109/IMCCC.2015.271
[12] Gong M H, Hu Z F. Algorithm on border ringing effects reduction of restored image[J]. Journal of Jiamusi University:Natural Science Edition , 2015, 33 (6) : 864–867. [ 龚梦欢, 胡宗福. 图像复原的边界振铃效应抑制算法[J]. 佳木斯大学学报:自然科学版 , 2015, 33 (6) : 864–867. DOI:10.3969/j.issn.1008-1402.2015.06.022 ]
[13] Zhao Y, Li D X, Xu D. Circulation edge algorithm in frequency domain to suppress the ringing ripples on the restored image[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics , 2006, 32 (11) : 1290–1294. [ 赵剡, 李东兴, 许东. 抑制复原图像振铃波纹的频域循环边界算法[J]. 北京航空航天大学学报 , 2006, 32 (11) : 1290–1294. DOI:10.3969/j.issn.1001-5965.2006.11.007 ]
[14] Zhang H. Research on Total Variation Methods for Restoration of Motion blurred images[D]. Xi'an:Northwestern University, 2009. [张欢. 运动模糊图像复原的全变分方法研究[D]. 西安:西北大学, 2009.DOI:10.7666/d.y1453834] http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10697-2009088123.htm
[15] Whyte O, Sivic J, Zisserman A, et al. Non-uniform deblurring for shaken images[J]. International Journal of Computer Vision , 2012, 98 (2) : 168–186. DOI:10.1007/s11263-011-0502-7
[16] Wang Z, Sheikh H R, Bovik A C, et al. Objective video quality assessment[M]//Furht B, Marqure O. The Handbook of Video Databases:Design and Applications. New York:CRC Press, 2003:1041-1078.