作为一种简单有效的曲线曲面表示方法，B样条已在几何造型工业中被广泛使用。由于B样条具有较强的局部性、较高的连续性、较为简单的方程结构等数学特性，因此目前绝大部分CAD/CAM系统都将其作为重要的组成模块。然而，随着几何造型工业的发展，人们往往需要灵活地修改曲线曲面的形状以满足实际工程的需要，但当节点矢量与控制顶点保持不变时，B样条的形状却无法进行调整,这无疑在一定程度上影响了其在实际工程中的应用。非均匀有理B样条(NURBS)方法虽然解决了B样条在形状调整方面的不足，且已成为CAD/CAM系统中一种常见曲线曲面表示方法，但NURBS方法采用了有理形式，这样不仅使得曲线曲面的方程结构变得复杂，而且其权因子问题至今也未完全得到解决。

为了缓解B样条方法在形状调整方面的不足，许多学者开始对其形式进行扩展，构造许多带参数的B样条模型。例如，带参数的多项式B样条^[1-3]、带参数的三角B样条^[4-7]、带参数的双曲B样条^[8-9],等。这些B样条模型的共同点是均含有形状参数，通过修改形状参数的取值可实现形状的调整。为了同时解决3次B样条在局部性与光滑性不能同时提高的问题，严兰兰等人^[10]借助B样条方法的组合思想,采用不同的组合方式构造了一种形状及光滑度可调的有理组合样条；刘华勇等人^[11-12]将这一思想推广到三角函数空间，分别构造了形状可调的三角组合样条与有理三角组合样条。注意到，文献[10-12]方法虽然在很大程度上改进了3次B样条所存在的不足，但由于采用了有理形式和三角形式，因此增加了样条模型的复杂度。另外，由于目前绝大多数CAD/CAM系统都将Bézier方法、B样条方法以及NURBS方法作为常用的几何造型手段，而文献[10-12]中构造的有理组合样条与三角组合样条同这些常用方法融合后仍为三角或有理模型，不具有封闭性，需要事后进行转换，故构造可使得曲线曲面能保持封闭性的多项式组合样条显得更有必要。 为此，本文首先构造了一组带参数的5次基函数，然后由此定义了带参数的5次组合样条曲线，并研究了该样条曲线的参数选择问题，最后将所提出的方法推广到曲面形式。

定义1 对于0≤t≤1，0≤α_i≤1，称下列4个关于t的函数为带参数α_i的5次基函数，即

$\left\{ \begin{align} & {{b}_{i,0}}(t)=\frac{1}{4}{{(1-t)}^{3}}\left( 2+(6-4{{\alpha }_{i}})t+(12-13{{\alpha }_{i}}){{t}^{2}} \right)\\ & {{b}_{i,1}}(t)=\frac{1}{4}{{(1-t)}^{3}}\left( 2+(6+4{{\alpha }_{i}})t+(12+13{{\alpha }_{i}}){{t}^{2}} \right)\\ & {{b}_{i,2}}(t)=\frac{1}{4}{{t}^{3}}\left( (20+15{{\alpha }_{i}})-(30+26{{\alpha }_{i}})t+(12+11{{\alpha }_{i}}){{t}^{2}} \right)\\ & {{b}_{i,3}}(t)=\frac{1}{4}{{t}^{3}}\left( (20-15{{\alpha }_{i}})-(30-26{{\alpha }_{i}})t+(12-11{{\alpha }_{i}}){{t}^{2}} \right)\\ \end{align} \right.$

(1)

定理1 由式(1)定义的5次基函数具有下列性质：

1) 归一性，$\sum\limits_{j=0}^{3}{{{b}_{i,j}}(t)\equiv 1}$。

2) 非负性，b_i,j(t)≥0(j=0,1,2,3)。

3) 端点性

$\left\{ \begin{align} & \begin{matrix} {{b}_{i,0}}(0)=\frac{1}{2}, & {{b}_{i,1}}(0)=\frac{1}{2}, & {{b}_{i,2}}(0)={{b}_{i,3}}(0)=0 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {{b}_{i,0}}(1)={{b}_{i,1}}(1)=0, & {{b}_{i,2}}(1)=\frac{1}{2}, & {{b}_{i,3}}(1)=\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \begin{matrix} {{{{b}'}}_{i,0}}(0)=-{{\alpha }_{i}}, & {{{{b}'}}_{i,1}}(0)={{\alpha }_{i}}, & {} \\ \end{matrix} \\ & {{{{b}'}}_{i,2}}(0)={{{{b}'}}_{i,3}}(0)=0 \\ & \begin{matrix} {{{{b}'}}_{i,0}}(1)={{{{b}'}}_{i,1}}(1)=0, & {} & {} \\ \end{matrix} \\ & {{{{b}'}}_{i,2}}(1)=-{{\alpha }_{i}},{{{{b}'}}_{i,3}}(1)={{\alpha }_{i}} \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \begin{matrix} {{{{b}''}}_{i,0}}(0)=-\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}}, & {{{{b}''}}_{i,1}}(0)=\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}}, & {} \\ \end{matrix} \\ & {{{{b}''}}_{i,2}}(0)={{{{b}''}}_{i,3}}(0)=0 \\ & \begin{matrix} {{{{b}''}}_{i,0}}(1)={{{{b}''}}_{i,1}}(1)=0, & {{{{b}''}}_{i,2}}(1)=-\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}}, & {} \\ \end{matrix} \\ & {{{{b}''}}_{i,3}}(1)=\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}} \\ \end{align} \right.$

证明 归一性与端点性经简单推导即可证明。 下面仅证非负性。

令f(t)=2+(6-4α_i)t+(12-13α_i)t²，则

${{b}_{i,0}}(t)=\frac{1}{4}{{(1-t)}^{3}}f(t)$

由于

$\begin{align} & {f}'(t)=(6-4{{\alpha }_{i}})+2(12-13{{\alpha }_{i}})t \\ & {f}'(0)=6-4{{\alpha }_{i}},{f}'(1)=30-30{{\alpha }_{i}} \\ \end{align}$

故当0≤t≤1，0≤α_i≤1时，恒有f′(t)≥0。又由于f(0)=2>0，故当0≤t≤1，0≤α_i≤1时，有f(t)>0，从而有b_i,0(t)≥0。同理可证b_i,j(t)≥0(j=1,2,3)。证毕。

基于由式(1)定义的5次基函数，可采用与3次B样条曲线相同的组合方式定义如下一类带参数α_i的5次组合样条曲线。

定义2 给定R²或R³中2n(n≥2)个控制顶点p_k(k=0,1,…,2n-1)，对于0≤t≤1，0≤α_i≤1，称分段参数曲线

${{r}_{i}}(t)=\sum\limits_{j=0}^{3}{{{b}_{i,j}}(t){{p}_{2i+j}}},i=0,1,\cdots ,n-2$

(2)

为带参数α_i的5次组合样条曲线，其中b_i,j(t)(j=0,1,2,3)为式(1)定义的5次基函数。

定理2 由式(2)定义的5次组合样条曲线具有以下性质：

1) 几何不变性与仿射不变性。样条曲线的形状仅由控制顶点p_k(k=0,1,…,2n-1)及形状参数α_i(i=0,1,…,n-2)确定，而与所选取的坐标系无关。 对控制多边形进行仿射变换后，所对应的新样条曲线就是相同仿射变换后的样条曲线。

2) 凸包性。样条曲线落在由控制顶点p_k(k=0,1,2,…,2n-1)形成的凸包之中。

3) 几何连续性。样条曲线满足G²连续。特别地，当α_i=α(i=0,1,…,n-2)时，样条曲线满足C²连续。

证明 1)由于样条曲线的方程式(2)为参数形式，故几何不变性与仿射不变性显然成立。

2) 由于样条曲线是控制顶点与5次基函数的加权平均，而5次基函数又满足归一性与非负性，故凸包性与保凸性成立。

3) 由5次基函数的端点性及式(2)，有

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{i}}(0)=\frac{1}{2}\left( {{p}_{2i}}+{{p}_{2i+1}} \right)\\ & {{r}_{i}}(1)=\frac{1}{2}\left( {{p}_{2i+2}}+{{p}_{2i+3}} \right)\\ \end{align} \right.$

(3)

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{i}}^{\prime }(0)={{\alpha }_{i}}\left( {{p}_{2i+1}}-{{p}_{2i}} \right)\\ & {{r}_{i}}^{\prime }(1)={{\alpha }_{i}}\left( {{p}_{2i+3}}-{{p}_{2i+2}} \right)\\ \end{align} \right.$

(4)

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{i}}^{\prime \prime }(0)=\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}}\left( {{p}_{2i+1}}-{{p}_{2i}} \right)\\ & {{r}_{i}}^{\prime \prime }(1)=\frac{1}{2}{{\alpha }_{i}}\left( {{p}_{2i+3}}-{{p}_{2i+2}} \right)\\ \end{align} \right.$

(5)

由式(3)-式(5)分别可得

$\left\{ \begin{align} & {{r}_{i}}(1)={{r}_{i+1}}(0) \\ & {{r}_{i}}^{\prime }(1)={{\beta }_{i}}{{{{r}'}}_{i+1}}(0) \\ & {{r}_{i}}^{\prime \prime }(1)={{\beta }_{i}}{{{{r}''}}_{i+1}}(0) \\ \end{align} \right.$

(6)

式中，${{\beta }_{i}}=\frac{{{\alpha }_{i}}}{{{\alpha }_{i+1}}}$。

式(6)即表明样条曲线满足G²连续。特别地，当α_i=α(i=0,1,…,n-2)时，由式(6)可得

$r_{i}^{(k)}(1)=r_{i+1}^{(k)}(0)(k=0,1,2)$

(7)

式(7)即表明样条曲线满足C²连续。证毕。

5次组合样条曲线继承了3次B样条曲线的一些主要特性：

1) 每段曲线由4个控制顶点定义。

2) 曲线段之间可达到C²连续。

3) 曲线具有局部性。

但是，5次组合样条曲线与3次B样条曲线也有一些不同之处：

1) 改变中间1个控制顶点的位置时，会影响4段3次B样条曲线段的形状，而仅会影响2段5次组合样条曲线的形状，这表明5次组合样条曲线具有更强的局部性。修改1个控制顶点分别对C²连续3次B样条曲线与5次组合样条曲线的影响如图 1所示，其中5次组合样条曲线的参数取为α=0.5。

2) 相邻2段3次B样条曲线之间则有3个相同的控制顶点，而相邻2段组合5次样条曲线之间仅有2个相同的控制顶点，这表明在利用5次组合样条曲线表示相同信息时，所需的曲线段数较少。 例如，在图 1中，对于相同的8个控制顶点，利用3次B样条曲线表示时需要5段曲线段，而利用5次组合样条曲线表示时则只需要3段曲线段。

3) 当控制顶点保持不变时，3次B样条曲线的形状无法修改，而5次组合样条曲线可通过修改所带参数α_i的取值实现对曲线形状的局部或整体调节。图 2为参数对G²连续5次组合样条曲线的局部调节，图 3则为参数对C²连续5次组合样条曲线的整体调节。

4) 为了使3次B样条曲线通过首末控制顶点，往往需要对首末两段曲线设置重节点。而对于组合5次样条曲线而言，只需在控制顶点p_k(k=0,1,…,2n-1)的两侧补充顶点p_-1=p₀与p_2n=p_2n-1即可轻松地使其插值于首末控制顶点。图 4为给定相同控制顶点时的3次B样条曲线与插值于首末控制顶点的C²连续5次组合样条曲线。

与有理组合样条^[10]及三角组合样条^[11-12]相比，本文提出的组合5次样条曲线不仅与它们具有相似的特点，而且仍为一种多项式模型，方程结构相对较为简单，计算量也相对较小。例如，对于图 1中给定的控制顶点，在PC机上(CPU：Intel(R)Core(TM)i5-5200U，RAM：4 GB，OS: WIN8.1，绘图软件：MATLAB R2013a)分别利用有理组合样条^[10]、三角组合样条^[11-12]及本文提出的5次组合样条构造二阶连续曲线的平均耗时对比如表 1所示。

由表 1可知，在相同条件下，利用本文提出的5次组合样条构造二阶连续曲线的平均耗时相对较少，当控制顶点的数量越多时，这一优势将越明显。另一方面，相对于有理组合样条曲线^[10]及三角组合样条曲线^[11-12]，由于本文提出的5次组合样条曲线采用了多项式形式，因此与CAD/CAM系统中常见的Bézier曲线、B样条曲线、NURBS曲线融合后能保持封闭性，无需事后转换，这也更加符合实际工程的需要。

由前文可知，当控制顶点保持不变时，可通过修改参数α_i的取值实现对5次组合样条曲线形状的调节，这无疑给曲线的设计带来了较大的便利。 但在一些特定的应用场合，往往只需要确定一条最为“光顺”的曲线，因此，当控制顶点保持不变时，如何选择参数α_i的最佳取值以获得一条最为“光顺”的5次组合样条曲线(不妨称为最佳5次组合样条曲线)也是一个值得讨论的问题。下面给出一种确定C²连续5次组合样条曲线最佳参数取值的方法。

一般地，根据光顺准则^[13]，参数曲线r(t)(0≤t≤1)的光顺程度可近似地由其能量值

$E=\int_{0}^{1}{{{\left| {r}''(t) \right|}^{2}}}\text{d}t$

(8)

决定。能量值越小，则曲线越光顺。

下面考虑C²连续的5次组合样条曲线，即可将各段曲线的参数均取为α。给定控制顶点p_k(k=0,1,…,2n-1)，要使所对应的C²连续5次组合样条曲线r_i(t)(i=0,1,…,n-2)尽可能地光顺，则需要确定参数α的最佳取值以使其能量值取最小。 于是，依据式(8)可得优化模型

$\begin{align} & \begin{matrix} \min & E(\alpha )=\sum\limits_{i=0}^{n-2}{\int_{0}^{1}{{{\left| {{r}_{i}}^{\prime \prime }(t) \right|}^{\text{2}}}}}\text{d}t \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \text{s}\text{.t}. & 0\le \alpha \le 1 \\ \end{matrix} \\ \end{align}$

(9)

令

$\begin{align} & {{L}_{0}}(t)=\frac{1}{2}{{(1-t)}^{3}}(1+3t+6{{t}^{2}}) \\ & {{M}_{0}}(t)=\frac{1}{4}{{(1-t)}^{3}}(4t+13{{t}^{2}}) \\ & {{L}_{1}}(t)=\frac{1}{2}{{t}^{3}}(10-15t+6{{t}^{2}}) \\ & {{M}_{1}}(t)=\frac{1}{4}{{t}^{3}}(15-26t+11{{t}^{2}}) \\ \end{align}$

则式(2)可改写为

${{r}_{i}}(t)={{G}_{i}}(t)+{{H}_{i}}(t)\alpha $

(10)

式中

$\begin{align} & {{G}_{i}}(t)={{L}_{0}}(t)\left( {{p}_{2i}}+{{p}_{2i+1}} \right)+{{L}_{1}}(t)\left( {{p}_{2i+2}}+{{p}_{2i+3}} \right) \\ & {{H}_{i}}(t)={{M}_{0}}(t)\left( {{p}_{2i+1}}-{{p}_{2i}} \right)+{{M}_{1}}(t)\left( {{p}_{2i+2}}-{{p}_{2i+3}} \right) \\ \end{align}$

由式(10),模型式(9)可改写为

$\begin{align} & \begin{matrix} \min & E(\alpha )={{C}_{1}} \\ \end{matrix}+2{{C}_{2}}\alpha +{{C}_{3}}{{\alpha }^{2}} \\ & \begin{matrix} \text{s}\text{.t}. & 0\le \alpha \le 1 \\ \end{matrix} \\ \end{align}$

(11)

式中

$\begin{align} & {{C}_{1}}=\sum\limits_{i=0}^{n-2}{\int_{0}^{1}{{{\left| {{G}_{i}}^{\prime \prime }(t) \right|}^{2}}}}\text{d}t \\ & {{C}_{2}}=\sum\limits_{i=0}^{n-2}{\int_{0}^{1}{\left( {{G}_{i}}^{\prime \prime }(t)\cdot {{H}_{i}}^{\prime \prime }(t) \right)}}\text{d}t \\ & {{C}_{3}}=\sum\limits_{i=0}^{n-2}{\int_{0}^{1}{{{\left| {{H}_{i}}^{\prime \prime }(t) \right|}^{2}}}}\text{d}t \\ \end{align}$

模型式(11)的解可分为以下2种情况：

1) 当C₃=0时，若C₂>0，则模型式(11)的解为α=0；否则，模型式(11)的解为α=1。

2) 当C₃≠0时，模型式(11)的解可具体分为：

(1) 当$-\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{3}}}<0$或$-\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{3}}}>1$时。若E(0)≤E(1),则模型式(11)的解为α=0；若E(0)≥E(1),则模型式(11)的解为α=1。

(2) 当$0\le -\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}}\le 1$时，若

$E(0)=\min \left\{ E(0),E(1),E\left( -\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{3}}} \right) \right\}$

则模型式(11)的解为α=0；若

$E(1)=\min \left\{ E(0),E(1),E\left( -\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{3}}} \right) \right\}$

则模型式(11)的解为α=1；否则，模型式(11)的解为$\alpha =-\frac{{{C}_{2}}}{{{C}_{3}}}$。

依据模型式(11)求得参数α的最佳取值后，即可由式(2)获得最佳C²连续5次组合样条曲线。例如，对于图 1中给定的控制顶点，利用模型式(11)可求得参数的最佳取值为α=0.908 6。绘制的最佳C²连续5次组合样条曲线如图 5所示，其能量值曲线如图 6所示。

利用张量积，可定义以下一类带参数的5次组合样条曲面。

定义3 给定R³中2m×2n(m,n≥2)个控制顶点p_k,l(k=0,1,…,2m-1;l=0,1,…,2n-1)，对于0≤u,v≤1，0≤α_i,β_i≤1，称分片参数曲面

${{r}_{i,j}}(u,v)=\sum\limits_{k=0}^{3}{\sum\limits_{l=0}^{3}{{{b}_{i,k}}(u){{b}_{j,l}}(v){{p}_{2i+k,2j+l}}}}$

(12)

为带参数α_i与β_i的5次组合样条曲面，其中i=0,1,…,m-2;j=0,1,…,n-2；b_i,k(u)(k=0,1,2,3)与b_j,l(v)(l=0,1,2,3)为参照式(1)定义的5次基函数。

由于5次组合样条曲面是5次组合样条曲线在空间中的直接推广，故5次组合样条曲面与对应的曲线具有相同的特性。例如，当控制顶点保持不变时，可通过修改参数的取值对5次组合样条曲面的形状进行局部或整体调节。图 7为参数对C²连续5次组合样条曲面的整体调节，其中该曲面由4片曲面片组成。

由图 7可知，当参数取为(α,β)=(0.2,0.8)时，整张曲面的中部呈“前后”方向凸起，而当参数取为(α,β)=(0.8,0.2)时，整张曲面的中部则呈“左右”方向凸起，即通过修改参数的取值实现了对曲面形状的调节。

与最佳C²连续5次组合样条曲线的构造类似，为了满足一些特定场合的应用需要，也可通过确定参数的最佳取值获得最为“光顺”的5次组合样条曲面。根据光顺准则^[13],参数曲面r(u,v)(0≤u,v≤1)的光顺程度可近似地由其能量值

$E=\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{[r_{uu}^{\text{2}}(u,v)+2r_{uv}^{\text{2}}(u,v)\text{+}r_{vv}^{\text{2}}(u,v)]}}\text{d}u\text{d}v$

(13)

决定。能量值越小，则曲面越光顺。

下面考虑C²连续的5次组合样条曲面，即可将各片曲面的参数均取为α与β。给定控制顶点p_k,l(k=0,1,…,2m-1;l=0,1,…,2n-1)，要使所对应的C²连续5次组合样条曲面r_i,j(u,v)(i=0,1,…,m-2;j=0,1,…,n-2)尽可能地光顺，则需要确定参数α与β的最佳取值以使其能量值取最小。于是，依据式(13)可得优化模型

$\begin{align} & \begin{matrix} \min & E(\alpha ,\beta )=\sum\limits_{i=0}^{m-2}{\sum\limits_{j=0}^{n-2}{\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{\left( {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{r}_{i,j}}(u,v)}{\partial {{u}^{2}}} \right)}^{2}}+ \right.}}}} \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix} & {} & {} & \left. 2{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{r}_{i,j}}(u,v)}{\partial u\partial v} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{r}_{i,j}}(u,v)}{\partial {{v}^{2}}} \right)}^{2}} \right) \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \text{s}\text{.t}. & 0\le \alpha ,\beta \le 1 \\ \end{matrix} \\ \end{align}$

(14)

由于模型(14)中的目标函数为关于α与β的二元4次函数，故本文采用粒子群算法^[14]进行求解，其算法步骤可描述为：

1) 初始化，给定粒子群中粒子个数N，随机给定粒子群中第i个粒子的初始位置x_i,j(0)和速度v_i,j(0)，其中i=1,2,…,N;j=1,2表示优化模型中决策变量的个数。

2) 计算出第i个粒子在当前位置x_i,j(t)的适应度(本文中粒子适应度即粒子所对应的目标函数值)，并将当前各粒子的位置和自适应度存放在个体最优解p_i,j中，并令全局最优为${p_{g,j}} = \mathop {\mathop {\min }\limits^N }\limits_{i = 1} \{ {p_{i,j}}\} $。

3) 根据下面式子更新各个粒子的速度和位移

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{i,j}}\text{(}t+1\text{) =}w{{v}_{i,j}}\text{(}t\text{)}+{{c}_{1}}{{r}_{1}}\left( {{p}_{i,j}}-{{x}_{i,j}}(t) \right)+ \\ & \begin{matrix} {} & {} & {} & {{c}_{2}}{{r}_{2}}\left( {{p}_{g,j}}-{{x}_{i,j}}(t) \right) \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {{x}_{i,j}}\text{(}t+1\text{)}={{x}_{i,j}}\text{(}t\text{)}+{{v}_{i,j}}\text{(}t+1\text{),} & j\text{=1,2,}\cdots ,d \\ \end{matrix}\, \\ \end{align} \right.$

式中，w为惯性权重，c₁和c₂为正学习因子，r₁和r₂为0到1之间的随机数。

4) 如果粒子当前的适应度优于其经历过的最好位置的适应度，则将其作为当前的最好位置。

5) 比较当前所有粒子的p_i,j与p_g,j的值，更新p_g,j。

6) 若满足终止条件，则搜索停止，输出结果；否则返回步骤3)继续搜索。

利用粒子群算法求解模型(11)获得参数α与β的最佳取值后，即可由式(12)获得最佳C²连续5次组合样条曲面。例如，对于图 7中给定的控制顶点，可求得参数的最佳取值为(α,β)=(0.973 8,0.992 1)，绘制的最佳C²连续5次组合样条曲面如图 8所示。

针对3次参数B样条在形状调整与局部性方面的不足，本文首先构造了一组带参数的5次多项式基函数，然后采用与3次B样条相同的组合方式定义了带参数的5次组合样条。所提出的组合样条继承了3次B样条曲线的诸多性质，不仅具有更强的局部性，而且其形状还可通过参数进行局部或整体调节。进一步地，还研究了5次组合样条曲线的参数选择问题，给出了构造最佳5次组合样条的方法。所提出的5次组合样条虽然在形状调整与局部性方面要优于3次B样条，但在连续性方面却并未提高，因此如何构造满足更高阶连续性的多项式组合样条将是下一步需要研究的问题。