在计算机辅助几何设计(CAGD)的实践中，经常遇到要求构造插值曲线与插值曲面，以用于已有曲线曲面的形状表示。即使对于形状设计，插值方法仍然有其实际意义。显然大致给定位于曲线上的一些点，要比直接给出不位于曲线上的控制顶点，更加符合设计人员的意愿，也更容易给出。因为在设计人员头脑里直接考虑的是曲线的大致形状，而并非控制多边形的形状特征^[1]。

以曲线为例，点数据插值问题通常描述为：从数据点P_i以及相应的参数值u_i出发，寻找一条曲线在u_i处经过点P_i。解决这个问题较传统的方式之一是寻找一个经过这些点的插值多项式^[2]。尽管插值多项式总是存在，例如Lagrange插值，但高次多项式插值可能会出现震荡，即产生龙格现象。另外，多项式插值不具备CAGD中较为重要的局部形状控制能力。为了避免这些不足，采用分段低次多项式插值是一个较好的选择。在CAGD中最常用的3次B样条曲线，具有许多利于形状设计的优良性质，例如局部控制性、自动光滑性，但遗憾的是它不经过任何控制顶点。为了寻找插值给定点集的3次B样条曲线，需要解方程组来反求控制顶点。这种方法不仅计算复杂，而且一个数据点的变动就会造成反求过程的重新进行，导致整条B样条曲线的全局改变。换句话说，虽然B样条曲线具有的良好局部性、逼近性，但基于它的插值曲线却不再具备相应于数据点的局部形状控制性。

除了多项式插值以外，也有学者提出了一些非多项式插值方法，例如插值细分方案^[3-6]以及插值型几何迭代法^[7-9]。细分方法适用于任意拓扑结构，几何迭代法具有明确的几何意义，这两种方法都具有数值计算稳定、易于编程实现等优点。然而美中不足的是，在细分方法和几何迭代法中，极限曲线曲面的显式表达式难以给出。还有学者通过构造有理插值样条来实现插值^[10-14]，并对插值曲线的保形性进行分析。另外还有一些文献直接构造端点性质特殊的调配函数^[15-18]，称为插值基函数，以待插值数据点为控制顶点与基函数做线性组合来生成插值曲线和插值曲面。构造有理插值样条和插值基函数的方法都可以有效防止龙格现象的发生，并且可以避免反求控制顶点的运算。

在采用构造插值基函数来定义插值曲线曲面的方法中，很多插值基函数都含形状参数，这为最终的插值曲线曲面提供了形状调整的能力。但注意到大多数插值基函数中的参数都是全局参数，这导致插值曲线曲面的形状无法进行局部调整。另外，当插值曲线曲面形状可调时，到底选择什么参数才能获得形状较为理想的曲线曲面呢?对于这个问题，很少有文献展开讨论。

为此本文提出一种构造含局部形状调整参数的插值曲线和插值曲面的方法，同时给出形状参数的选取准则，以保证插值曲线曲面的形状不仅局部可调，而且有实用的参照标准用以控制曲线曲面的形状。

在众多函数类型中，多项式函数计算最简单，但在CAGD中，用三角函数作为基函数可以扩大曲线曲面的形状表示范围，因此本文考虑用三角函数来构造插值曲线曲面。

文献^[19]构造了一种带一个形状参数的3次三角多项式曲线，作为其特例，该文献还给出了一种3次三角Bézier曲线，其基函数为

$\left\{ \begin{align} & {{T}_{0}}\left( t \right)={{\left( 1-s \right)}^{2}}\left( 1-\lambda s \right) \\ & {{T}_{1}}\left( t \right)=s\left( 1-s \right)\left( 2+\lambda -\lambda s \right) \\ & {{T}_{2}}\left( t \right)=c\left( 1-c \right)\left( 2+\lambda -\lambda c \right) \\ & {{T}_{3}}\left( t \right)={{\left( 1-c \right)}^{2}}(1-\lambda c) \\ \end{align} \right.$

(1)

式中，s:=sin(t)，c:=cos(t)，t∈[0,$\frac{\pi }{2}$]，λ∈[-1,1]。文献^[20]将式(1) 中T₂(t)和T₃(t)表达式中的参数λ改为μ，从而将式(1) 扩展为含两个参数的基函数。文献^[21]证明了当λ,μ∈(－2,1]时，扩展后的基函数形成三角函数空间T_λ,μ:=Span{1,s²,(1－s)²(1－λs),(1－c)²(1－μc)}中的最优规范全正基。

对于式(1) 所给基函数，λ的取值决定其次数，当λ=0时次数最低，计算最简单。在式(1) 中取λ=0，得到一组固定的2次三角基函数

$\left\{ \begin{align} & {{T}_{0}}\left( t \right)={{\left( 1-s \right)}^{2}} \\ & {{T}_{1}}\left( t \right)=2s\left( 1-s \right) \\ & {{T}_{2}}\left( t \right)=2c\left( 1-c \right) \\ & {{T}_{3}}\left( t \right)={{\left( 1-c \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$

(2)

为了方便，将式(2) 所给基函数称为T-Bézier基。

T-Bézier基具有非负性、规范性、对称性，其在定义区间端点处的函数值、导数值为

$\eqalign{ & {T_i}\left( 0 \right) = \left\{ {\matrix{ 1 & {i = 0} \cr 0 & {i = 1,2,3} \cr } } \right. \cr & {T_i}\left( {{\pi \over 2}} \right) = \left\{ {\matrix{ 0 & {i = 0,1,2} \cr 1 & {i = 3} \cr } } \right. \cr & T{\prime _i}\left( 0 \right) = \left\{ {\matrix{ { - 2} & {i = 0} \cr 2 & {i = 1} \cr 0 & {i = 2,3} \cr } } \right. \cr & T{\prime _i}\left( {{\pi \over 2}} \right) = \left\{ {\matrix{ 0 & {i = 0,1} \cr { - 2} & {i = 2} \cr 2 & {i = 3} \cr } } \right.{\rm{ }} \cr} $

(3)

由文献^[21]中的结论可以推知T-Bézier基为函数空间

$T: = Span\{ 1,{s^2},{\left( {1 - s} \right)^2},{\left( {1 - c} \right)^2}\} $

中的最优规范全正基。因此由T-Bézier基定义的曲线和Bézier曲线一样具有较好的保形性，可以很好的模拟控制多边形的形态。

经典的3次Hermite插值不仅可以插值点数据，而且还可以插值数据点处的导向量数据。先考虑最简单的情形，给定两个点P₀和P₁，两个导向量D₀和D₁，设置t₀=0和t₁=1，可以找到一条3次多项式曲线r(t)插值这些数据，即满足r(0) =P₀,r(1) =P₁,r'(0) =D₀,r'(1) =D₁，曲线r(t)可以写成3次Bézier曲线形式

$\eqalign{ & r\left( t \right) = {P_0}B_0^3\left( t \right) + \left( {{P_0} + {1 \over 3}{D_0}} \right)B_1^3\left( t \right) + \cr & \left( {{P_1} - {1 \over 3}{D_1}} \right)B_2^3\left( t \right) + {P_1}B_3^3(t) \cr} $

(4)

式中，$B_i^3\left( t \right) = {{3!} \over {i!\left( {3 - i} \right)!}}{t^i}{\left( {1 - t} \right)^{3 - i}}\left( {i = 0,1,2,3} \right)$ 为3次Bernstein基函数。

注意到T-Bézier基和3次Bernstein基函数在性质上的相似性，考虑将式(4) 中的基函数换成T-Bézier基，用三角函数来构造插值曲线。

同样考虑两个点P₀和P₁，两个导向量D₀和D₁，设置t₀=0和t₁=${\pi \over 2}$。由式(3) 所给T-Bézier基的端点信息可知，曲线

$\eqalign{ & p\left( t \right) = {P_0}{T_0}\left( t \right) + \left( {{P_0} + {1 \over 2}{D_0}} \right){T_1}\left( t \right) + \cr & \left( {{P_1} - {1 \over 2}{D_1}} \right){T_2}\left( t \right) + {P_1}{T_3}(t) \cr} $

(5)

满足p(0) =P₀,p(${\pi \over 2}$) =P₁,p'(0) =D₀,p'(${\pi \over 2}$) =D₁，即p(t)插值于点数据以及对应的导向量数据。

现在考虑一般情形。给定点数据P_j，导向量数据D_j，以及对应的参数数据u_j，其中j=1,2,…,n。将式(5) 扩展，可得插值于以上数据的分段曲线的第i段为

$\eqalign{ & {q^*}\left( u \right) = p_i^*\left( t \right) = {P_i}{T_0}\left( t \right) + ({P_i} + {{{h_i}} \over \pi }{D_i}){T_1}\left( t \right) + \cr & ({P_{i + 1}} - {{{h_i}} \over \pi }{D_{i + 1}}){T_2}\left( t \right) + {P_{i + 1}}{T_3}(t) \cr} $

(6)

式中，$u \in \left[ {{u_i},{u_{i + 1}}} \right],t = {\pi \over 2}\cdot{{u - {u_i}} \over {{h_i}}},{h_i} = {u_{i + 1}} - {u_i},i = 1,2, \ldots ,n - 1$。容易验证曲线q^*(u)整体C¹连续。

曲线q^*(u)的位置、形状是固定的，若希望其形状可调，则需要在其中加入调节参数。加入参数的途径可以是在端点位置、端点切向量处加入。但要想使曲线无论怎样调节，都具有插值性，则曲线的端点位置必须固定，因此只能考虑在端点切向量处加入调节参数。

当曲线中含有调节参数时，通常希望可以依据一些准则来帮助确定比较合适的参数。由于插值曲线是分段构造的，为了方便，希望准则也是分段给出的。而准则依赖于各段控制顶点的坐标，这样一来，不同段计算出的参数一般不一样，因此曲线中的调节参数必须是局部的。若希望含有局部调节参数的插值曲线依然整体C¹连续，则每一段中至少应包含两个参数。以第i段为例，该段涉及两个决定切向量的数据D_i和D_i+1，若在D_i中加入了局部调节参数α_i，则D_i+1中必须加入参数α_i+1。但注意到准则的局部性，第i段计算出的α_i+1可能与第i+1段计算出的α_i+1并不相同，所以依据准则分段确定参数取值的方式往往无法保证曲线整体C¹连续(更高阶的参数连续性也是如此)，因此只能将参数连续松弛为几何连续。

根据上述分析，同时考虑到计算的方便性，在每一段中设置一个局部形状参数，保持插值曲线整体G¹连续。为此，最简单有效的方式是在第i段插值曲线中将D_i和D_i+1分别设置为α_i(P_i+1-P_i－1)和α_i(P_i+2-P_i)，其中参数α_i>0。由于是几何连续，所以不用考虑整体参数与局部参数之间的变换带来的系数，因此可以将式(6) 中D_i和D_i+1前面的系数改为式(5) 中D₀和D₁前面的系数。即设插值曲线的第i段为

$\eqalign{ & q\left( u \right) = {p_i}\left( t \right) = \cr & {P_i}{T_0}\left( t \right) + \left[ {{P_i} + {1 \over 2}{\alpha _i}\left( {{P_{i + 1}} - {P_{i1}}} \right)} \right]{T_1}\left( t \right) + \cr & \left[ {{P_{i + 1}} - {1 \over 2}{\alpha _i}\left( {{P_{i + 2}} - {P_i}} \right)} \right]{T_2}\left( t \right) + {P_{i + 1}}{T_3}\left( t \right) \cr} $

(7)

式中，$u \in \left[ {{u_i},{u_{i + 1}}} \right],t = {\pi \over 2}\cdot{{u - {u_i}} \over {{h_i}}},{h_i} = {u_{i + 1}} - {u_i},i = 1,2, \ldots ,n - 1$。

为了便于分析插值曲线性质，将式(7) 整理成插值数据点与插值基函数线性组合的形式，结果为

$\eqalign{ & {p_i}\left( t \right) = {P_{i - 1}}\left[ { - {1 \over 2}{\alpha _i}{T_1}\left( t \right)} \right] + \cr & {P_i}\left[ {{T_0}\left( t \right) + {T_1}\left( t \right) + {1 \over 2}{\alpha _i}{T_2}\left( t \right)} \right] + \cr & {P_{i + 1}}\left[ {{1 \over 2}{\alpha _i}{T_1}\left( t \right) + {T_2}\left( t \right) + {T_3}\left( t \right)} \right] + \cr & {P_{i + 2}}\left[ { - {1 \over 2}{\alpha _i}{T_2}\left( t \right)} \right] \buildrel \Delta \over = {P_{i - 1}}{N_{i,0}}\left( t \right) + {P_i}{N_{i,1}}\left( t \right) + \cr & {P_{i + 1}}{N_{i,2}}\left( t \right) + {P_{i + 2}}{N_{i,3}}(t) \cr} $

(8)

式中，函数组{N_i,0(t),N_i,1(t),N_i,2(t),N_i,3(t)}称为α插值基函数。由式(2) (8) 可得α插值基函数的表达式为

$\left\{ \matrix{ {N_{i,0}}\left( t \right) = - {\alpha _i}s\left( {1 - s} \right) \hfill \cr {N_{i,1}}\left( t \right) = {c^2} + {\alpha _i}c\left( {1 - c} \right) \hfill \cr {N_{i,2}}\left( t \right) = {s^2} + {\alpha _i}s\left( {1 - s} \right) \hfill \cr {N_{i,3}}\left( t \right) = - {\alpha _i}c(1 - c) \hfill \cr} \right.$

(9)

式中，s:=sin(t)，c:=cos(t)，t∈[0,${\pi \over 2}$]，α_i>0。

易知α插值基函数具有以下性质：

1) 规范性，$\sum\limits_{j = 0}^3 {{N_{i,j}}\left( t \right) = 1} $。

2) 对称性，${N_{i,j}}({\pi \over 2} - t) = {N_{i,3 - j}}\left( t \right),j = 0,1,2,3$。

3) 端点性质，在定义区间的端点处，有

$\eqalign{ & {N_{i,j}}\left( 0 \right) = \left\{ {\matrix{ 1 & {j = 1} \cr 0 & {j = 0,2,3} \cr } } \right. \cr & {N_{i,j}}\left( {{\pi \over 2}} \right) = \left\{ {\matrix{ 0 & {j = 0,1,3} \cr 1 & {j = 2} \cr } } \right. \cr & N{\prime _{i,j}}\left( 0 \right) = \left\{ {\matrix{ { - {\alpha _i}} & {j = 0} \cr {{\alpha _i}} & {j = 2} \cr 0 & {j = 1,3} \cr } } \right. \cr & N{\prime _{i,j}}\left( {{\pi \over 2}} \right) = \left\{ {\matrix{ 0 & {j = 0,2} \cr { - {\alpha _i}} & {j = 1} \cr {{\alpha _i}} & {j = 3} \cr } } \right. \cr} $

(10)

在第1节中，基于3次Hermite插值曲线的构造方法，借助T-Bézier基给出了一种具有插值性质的曲线，如式(7) 或式(8) 所示。由第1节的分析可知

${p_i}\left( 0 \right) = {P_i},{p_i}\left( {{\pi \over 2}} \right) = {P_{i + 1}}$

即曲线段p_i(t)插值于两个内控制顶点，而整条曲线q(u)则经过除首末点以外的所有控制点。

根据以上结论，分析如何解决点数据插值问题。

给定2维或3维空间中待插值数据点P_j以及对应的参数值u_j，其中j=1,2,…,n，u₁<u₂<…<u_n，并且P₁≠P_n。要想构造一条光滑曲线顺序通过所有数据点(在参数u_j处经过点P_j)，可以先添加两个辅助点P₀和P_n+1，然后以点P_j(j=0,1,…,n+1) 为控制顶点定义n－1条曲线段

${p_i}\left( t \right) = \sum\limits_{j = 0}^3 {{N_{i,j}}} \left( t \right){P_{i + j - 1}}$

(11)

式中，t∈[0,${{\pi \over 2}}$]，i=1,2,…,n－1，N_i,j(t)(j=0,1,2,3) 为α插值基函数。所有曲线段形成一条分段组合曲线

$q\left( u \right) = {p_i}\left( {{\pi \over 2}\cdot{{u - {u_i}} \over {{u_{i + 1}} - {u_i}}}} \right)$

(12)

式中，u∈[u_i,u_i+1]，i=1,2,…,n－1。显然曲线q(u)满足插值目标q(u_j)=P_j，j=1,2,…,n。将式(11) 所给曲线p_i(t)称为α插值曲线段，式(12) 所给曲线q(u)称为α插值曲线。

当所给数据点P_j(j=1,2,…,n)形成封闭多边形，即P₁=P_n时，按照上面在首、末位置各加一个辅助点的方法将产生一条封闭的插值曲线，但该曲线在闭合点处通常只有位置连续，并不光滑。在此情形下，若希望产生封闭且光滑的插值曲线，应该在最后一个数据点之后添加两个辅助点P_n+1、P_n+2，并使P_n+1=P₂，P_n+2=P₃。

由α插值基函数的性质，可以推出α插值曲线具有以下性质：

1) 几何不变性与仿射不变性。由于α插值基函数具有规范性，故α插值曲线的形状与坐标系的选取无关；欲获得经仿射变换后的α插值曲线，只需对控制多边形执行相同变换再定义曲线即可。

2) 对称性。由于α插值基函数具有对称性，故当辅助点和参数α_i都保持不变时，将数据点的顺序取反，并不会改变插值曲线的形状，改变的只是曲线的走向。

3) 局部控制性。由于α插值曲线具有与3次B样条曲线相同的结构，故改变一个数据点，至多只有改变4条曲线段的形状。

4) 局部形状可调性。参数α_i可用于在不改变插值数据点和辅助点的情况下改变插值曲线的形状。改变参数α_i的值，只有第i段插值曲线的形状会发生改变。

5) 连续性。由α插值基函数的端点性质式(10) ，以及α插值曲线的表达式(12) 可以推出

$\eqalign{ & q\left( {u_i^ + } \right) = q\left( {u_i^ - } \right),q\prime \left( {u_i^ + } \right) = \cr & {{\left( {{u_i} - {u_{i - 1}}} \right){\alpha _i}} \over {\left( {{u_{i + 1}} - {u_i}} \right){\alpha _{i - 1}}}}q\prime (u_i^ - ) \cr} $

这表明α插值曲线整体G¹连续。

理论上讲，无论参数α_i取何值，都能保证α插值曲线的插值目标。但如果希望精确控制插值曲线的形状，则需要根据某种准则来计算α_i的值。因为α_i是局部参数，所以可以分段确定其值，这一特点简化了参数的选择问题。

由于平面曲线可以看做空间曲线的特例，因此下面将以空间插值曲线为例来给出参数选取准则。

将式(11) 所给α插值曲线段记做p_i(t)=[p_i^x(t),p_i^y(t),p_i^z(t)]^T，设其控制顶点坐标为P_j=(x_j,y_j,z_j)，j=i－1,i,i+1,i+2，记

$\left\{ \matrix{ {X_i} = {\left[ {{x_{i - 1}},{x_i},{x_{i + 1}},{x_{i + 2}}} \right]^T} \hfill \cr {Y_i} = {\left[ {{y_{i - 1}},{y_i},{y_{i + 1}},{y_{i + 2}}} \right]^T} \hfill \cr {Z_i} = {\left[ {{z_{i - 1}},{z_i},{z_{i + 1}},{z_{i + 2}}} \right]^T} \hfill \cr} \right.$

(13)

为了确定合适的参数α_i，下面给出3个准则。

准则1 (近似最短弧长)，建立目标函数

${f_i} = \int_0^1 {\left\{ {{{\left[ {p_i^{x\prime }\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {p_i^{y\prime }\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {p_i^{z\prime }\left( t \right)} \right]}^2}} \right\}} dt$

将使f_i获得最小值的参数取为α_i。直接计算得出

${\alpha _i} = {{{f_1}} \over {{f_2} + {f_3}}}$

(14)

式中

$\left\{ \matrix{ {f_1} = (3\pi - 8)(X_i^TA{X_i} + Y_i^TA{Y_i} + Z_i^TA{Z_i}) \hfill \cr {f_2} = 2(3\pi - 8)(X_i^TB{X_i} + Y_i^TB{Y_i} + Z_i^TB{Z_i}) \hfill \cr {f_3} = 2(3\pi - 10)(X_i^TC{X_i} + Y_i^TC{Y_i} + Z_i^TC{Z_i}) \hfill \cr} \right.$

f_j(j=1,2,3) 表达式中的X_i、Y_i和Z_i由式(13) 给出，矩阵A、B和C分别为

$\eqalign{ & \cr & A = \left( {\matrix{ 0 & 1 & { - 1} & 0 \cr 0 & 1 & { - 2} & { - 1} \cr 0 & 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr } } \right) \cr & B = \left( {\matrix{ 1 & 0 & { - 2} & 0 \cr 0 & 1 & 0 & { - 2} \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr } } \right) \cr & C = \left( {\matrix{ 0 & 1 & 0 & { - 1} \cr 0 & 0 & { - 1} & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr } } \right) \cr} $

准则2 (近似最小能量)，建立目标函数

${g_i} = \int_0^1 {\left\{ {{{\left[ {p_i^{x''}\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {p_i^{y''}\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {p_i^{z''}\left( t \right)} \right]}^2}} \right\}dt} $

将使g_i获得最小值的参数取为α_i。直接计算得出

${\alpha _i} = {{{g_1}} \over {{g_2} + {g_3}}}$

(15)

式中

$\left\{ \begin{align} & {{g}_{1}}=4(3\pi -2)(X_{i}^{T}A{{X}_{i}}+Y_{i}^{T}A{{Y}_{i}}+Z_{i}^{T}A{{Z}_{i}}) \\ & {{g}_{2}}=(15\pi -16)(X_{i}^{T}B{{X}_{i}}+Y_{i}^{T}B{{Y}_{i}}+Z_{i}^{T}B{{Z}_{i}}) \\ & {{g}_{3}}=4(6\pi -11)(X_{i}^{T}C{{X}_{i}}+Y_{i}^{T}C{{Y}_{i}}+Z_{i}^{T}C{{Z}_{i}}) \\ \end{align} \right.$

g_j(j=1,2,3) 表达式中的X_i、Y_i和Z_i由式(13) 给出，矩阵A、B和C与式(14) 中相同。

准则3 (两种准则综合)。将准则1和准则2给出的参数分别记作α_i¹和α_i²，将式

${\alpha ^3}_i = k_i^1\alpha _i^1 + k_i^2\alpha _i^2$

(16)

给出的参数取为α_i，式中组合系数k_i^j≥0，j=1,2。

按准则1所给参数绘制的插值曲线偏向紧绷，按准则2绘制的曲线相对松弛，式(16) 中系数k_i¹和k_i²的作用就是调节曲线的平滑度，对准则1和准则2的结果做进一步的修正与改善。

对于空间插值曲线而言，可直接使用式(14) —(16) 。对于平面插值曲线而言，因为数据点不存在竖坐标，所以在使用式(14) —(16) 时，需将式中的Z_i取为0，也就是略去所有含Z_i的项。

给定平面上7个待插值的数据点(3,${5 \over 2}$) ，(${1 \over 2}$,4) ，(－1,${4 \over 5}$) ，(1,0) ，(3,1) ，(1,2) ，(0,1) ，取辅助点(3,2) ，(1,${1 \over 2}$) 。由式(14) 得出$\left\{ {\alpha _i^1} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{949} \over {3{\rm{ }}009}},{{2{\rm{ }}207} \over {6{\rm{ }}239}},{{713} \over {3767}},{{577} \over {2{\rm{ }}249}},{4 \over {13}},{1 \over 5}} \right\}$；由式(15) 得出$\left\{ {\alpha _i^2} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{913} \over {2051}},{{948} \over {1691}},{{785} \over {2289}},{{239} \over {502}},{{744} \over {1267}},{{913} \over {2392}}} \right\}$；取$k_i^1 = {1 \over 3},k_i^1 = {2 \over 3},i = 1,2, \ldots ,6$，由式(16) 得出$\left\{ {\alpha _i^3} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{1{\rm{ }}315} \over {3{\rm{ }}272}},{{442} \over {899}},{{222} \over {761}},{{525} \over {1{\rm{ }}303}},{{373} \over {755}},{{1{\rm{ }}175} \over {3{\rm{ }}659}}} \right\}$。相应于这3种结果的α插值曲线如图 1所示。

给定空间中形成封闭多边形的待插值数据点(0,0,6) ，(－${1 \over 2}$,0,${5 \over 3}$) ，(－2,0,1) ，(－2,－5,0) ，(2,－5,0) ，(${9 \over 2}$,0,1) ，(2,0,${5 \over 3}$) ，(0,0,6) ，取辅助点(－${1 \over 2}$,0,${5 \over 3}$) ，(－2,0,1) 。由式(14) 计算出$\left\{ {\alpha _i^1} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{184} \over {2{\rm{ }}067}},{{631} \over {1{\rm{ }}526}},{4 \over {21}},{{799} \over {1{\rm{ }}977}},{{204} \over {1{\rm{ }}811}},{{1{\rm{ }}562} \over {4{\rm{ }}113}},{{579} \over {1{\rm{ }}609}}} \right\}$；由式(15) 得出$\left\{ {\alpha _i^2} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{415} \over {3{\rm{ }}161}},{{599} \over {1{\rm{ }}107}},{{269} \over {740}},{{269} \over {740}},{{1{\rm{ }}385} \over {2{\rm{ }}589}},{{361} \over {1{\rm{ }}963}},{{1{\rm{ }}363} \over {2{\rm{ }}517}},{{529} \over {934}}} \right\}$；取$k_i^1 = {1 \over 3},k_i^2 = {1 \over 2},i = 1,2, \ldots ,7,$，由式(16) 得出$\left\{ {\alpha _i^3} \right\}_{i = 1}^6 = \left\{ {{{116} \over {1217}},{{604} \over {1{\rm{ }}479}},{{271} \over {1{\rm{ }}105}},{{220} \over {547}},{{313} \over {2{\rm{ }}417}},{{1{\rm{ }}589} \over {3{\rm{ }}999}},{{77} \over {191}}} \right\}$。图 2为相应于这3种结果的α插值曲线。

在椭圆${{{x^2}} \over {2{a^2}}} + {{{y^2}} \over {2{b^2}}} = 1\left( {a,b > 0} \right)$上均匀地取4个数据点P_i－1=(－a,－b)，P_i=(－a,b)，P_i+1=(a,b)，P_i+2=(a,－b)，以它们作为待插值数据点，并取α_i=${1 \over 2}$来构造α插值曲线，由式(9) (11) 计算可得

${p_i}\left( t \right) = \left( {\matrix{ {p_i^x\left( t \right)} \cr {p_i^y\left( t \right)} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {a\left( {s - c} \right)} \cr {b(s + c)} \cr } } \right)$

式中,t∈[0,${\pi \over 2}$]，这表明此时的α插值曲线段p_i(t)为一段椭圆弧。

将椭圆上的4点扩展至5点使首、末点相重，即取点P₁=(－a,－b)，P₂=(－a,b)，P₃=(a,b)，P₄=(a,－b)，P₅=P₁，再添加辅助点P₆=P₂，P₇=P₃，并取参数α_i=${\pi \over 2}$(i=1,2,3,4) ，以这些数据构造的α插值曲线恰为一个完整的椭圆，当a=b时则为整圆。这说明α插值曲线具有重构椭圆(圆)的能力。

图 3为取a=2和b=1时，利用α插值曲线重构的椭圆${{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 2}$=1。

由上文介绍可知α插值曲线的结构与3次B样条曲线相同。B样条曲面是B样条曲线的张量积扩展，采用类似的方式也可以将α插值曲线扩展至α插值曲面。

由α插值曲线的性质，可以推知α插值曲面的一些特征：α插值曲面由若干曲面片组成; 每张曲面片由4×4个呈矩形阵列的数据点确定；每张曲面片插值于4个内数据点；整张α插值曲面经过除位于4条边界上以外的所有数据点；每张曲面片在两个参数方向各含一个形状参数，这两个参数可以取不同值；为了确保位置连续，相邻曲面片沿公共边方向的参数必须取相同值。

下面分析如何解决曲面插值问题。

给定3维空间中m×n个呈矩形阵列的待插值数据点P_i,j以及对应的参数值(u_i,v_j)，其中i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，u₁<u₂<…<u_m，v₁<v₂<…<v_n，这些数据点形成的网格在两个参数方向上都非封闭。要想构造在参数(u_i,v_j)处经过点P_i,j的光滑曲面，可以先添加辅助点P_i,j(i=0,m+1; j=0,1,…,n+1) 及P_i,j(i=1,2,…,m; m; j=0,n+1) 一共2(m+n+2) 个，它们分布在给定数据点的4条边界之外(如图 4(a)所示)，与原始数据点一起形成(m+2) ×(n+2) 的控制网格P_i,j(i=0,1,…,m+1;j=0,1,…,n+1) 。然后由所有数据点定义(m－1) ×(n－1) 张曲面片，即

$\eqalign{ & {p_{i,j}}\left( {r,t} \right) = \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{l = 0}^3 {({N_{i,k}}\left( {r;\alpha _i^u} \right)} } \cr & {N_{j,l}}\left( {t;\alpha _i^v} \right){P_{i + k - 1,j + l - 1}}) \cr} $

(17)

式中，r,t∈[0,${{\pi \over 2}}$]，i=1,2,…,m－1，j=1,2,…,n－1，N_i,k(r;α_i^u)和N_j,l(t;α_j^v)为参数分别取α_i^u和α_j^v的α插值基函数。所有曲面片形成分片组合曲面

$q\left( {u,v} \right) = {p_{i,j}}({\pi \over 2}\cdot{{u - {u_i}} \over {{u_{i + 1}} - {u_i}}},{\pi \over 2}\cdot{{v - {v_j}} \over {{v_{j + 1}} - {v_j}}})$

(18)

式中，u∈[u_i,u_i+1]，v∈[v_j,v_j+1]，i=1,2,…,m－1，j=1,2,…,n－1。

由式(10) (17) 可以得到p_ij(0,0) =P_i,j，p_ij(0,${{\pi \over 2}}$) =P_i,j+1，p_ij(${{\pi \over 2}}$,0) =P_i+1,j，p_ij(${{\pi \over 2}}$,${{\pi \over 2}}$) =P_i+1,j+1。进一步地，由式(18) 可以推出q(u,v)满足插值目标q(u_i,v_j)=P_i,j，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。将式(17) 所给曲面p_ij(r,t)称为α插值曲面片，式(18) 所给曲面q(u,v)称为α插值曲面。

当所给数据P_i,j(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)形成的网格在某个方向上封闭，例如当P_i,1=P_i,n(i=1,2,…,m)时，按照上面所述在4条边界以外各加一行或一列辅助点的方法将产生一张在网格封闭方向封闭的曲面，但该曲面在闭合边处通常只满足位置连续，并不光滑。在这种情形下，若希望产生封闭且光滑的插值曲面，应添加辅助点P_i,j(i=0,m+1;j=1,2,…,n+2) 以及P_i,j(i=1,2,…,m;j=n+1,n+2) 共2(m+n+2) 个，并使它们满足P_i,n+1=P_i,2，P_i,n+2=P_i,3，i=1,2,…,m(如图 4(b)所示)。

图 4给出了构造插值曲面时辅助点与原始待插值数据点在排序上的相对位置关系。图 4(b)中有红、蓝、紫3种彩色标记的点，颜色相同的那两列点取值对应相等。

归因于张量积的构造方式，α插值曲面具有与α插值曲线类似的性质，例如：几何不变性与仿射不变性，对称性、局部控制性、局部形状可调性，即改变参数α_i^u的值只会影响行标为i的那些曲面片，改变α_j^v的值只会影响列标为j的那些曲面片；整体G¹连续性，即关于u、v方向均G¹连续。

对于α插值曲面，可以根据2.2节中的方案对每张曲面片的边界曲线确定合适的参数。

假设控制点P_i,j=(x_i,j,y_i,j,z_i,j)(i=0,1,…,m+1;j=0,1,…,n+1) 形成m+2行n+2列矩阵，则相应的α插值曲面包含(m－1) ×(n－1) 张曲面片。设沿列的方向为u向，沿行的方向为v向。则u向边界曲线的数量为(m－1) ×n条，它们是由控制点P_i－1,j、P_i,j、P_i+1,j、P_i+2,j(i=1,2,…,m－1;j=1,2,…,n)定义的α插值曲线。v向有m×(n－1) 条边界曲线，它们是由控制点P_i,j－1、P_i,j、P_i,j+1、P_i,j+2(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n－1) 定义的插值曲线。

根据2.2节中给出的方案，可以计算出u向的(m－1) ×n个α值，将它们记作α_i,j^u*(i=1,2,…, m－1;j=1,2,…,n)；也可计算出v向的m×(n－1) 个α值，将它们记作α_i,j^v*(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n－1) 。设α_i,j^u和α_i,j^v为第(i,j)张α插值曲面片在两个不同方向的参数，i=1,2,…,m－1，j=1,2,…,n－1。注意到为了保证相邻曲面片之间位置连续，参数之间必须满足关系

$\left\{ \matrix{ \alpha _{i,1}^u = \alpha _{i,2}^u = \ldots = \alpha _{i,n}^u \buildrel \Delta \over = \alpha _i^u,i = 1,2, \ldots ,m - 1 \hfill \cr \alpha _{1,j}^u = \alpha _{2,j}^u = \ldots = \alpha _{m,j}^u \buildrel \Delta \over = \alpha _j^v,j = 1,2, \ldots ,n - 1 \hfill \cr} \right.$

为此，取

$\left\{ \matrix{ \alpha _i^u = {1 \over n}\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{i,j}^{u*}} \hfill \cr {\alpha ^v}_j = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _{i,j}^{v*}} \hfill \cr} \right.$

(19)

记

$\left\{ \matrix{ X_{i,j}^u = {\left[ {{x_{i - 1,j}},{x_{i,j}},{x_{i + 1,j}},{x_{i + 2,j}}} \right]^T} \hfill \cr Y_{i,j}^u = {\left[ {{y_{i - 1,j}},{y_{i,j}},{y_{i + 1,j}},{y_{i + 2,j}}} \right]^T} \hfill \cr Z_{i,j}^u = {\left[ {{z_{i - 1,j}},{z_{i,j}},{z_{i + 1,j}},{z_{i + 2,j}}} \right]^T} \hfill \cr X_{i,j}^v = {\left[ {{x_{i,j - 1}},{x_{i,j}},{x_{i,j + 1}},{x_{i,j + 2}}} \right]^T} \hfill \cr Y_{i,j}^v = {\left[ {{y_{i,j - 1}},{y_{i,j}},{y_{i,j + 1}},{y_{i,j + 2}}} \right]^T} \hfill \cr Z_{i,j}^v = {\left[ {{z_{i,j - 1}},{z_{i,j}},{z_{i,j + 1}},{z_{i,j + 2}}} \right]^T} \hfill \cr} \right.$

由2.2节中的准则1可得

$\left\{ \matrix{ \alpha _{i,j}^{u*} = {{f_1^u} \over {f_2^u + f_3^u}} \hfill \cr \alpha _{i,j}^{u*} = {{f_1^v} \over {f_2^v + f_3^v}} \hfill \cr} \right.$

(20)

式中

$\left\{ {\matrix{ {f_1^u = (3\pi - 8)(X{{_{i,j}^u}^T}AX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}AY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}AZ_{i,j}^u)} \cr {f_2^u = 2(3\pi - 8)(X{{_{i,j}^u}^T}BX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}BY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}BZ_{i,j}^u)} \cr {f_3^u = 2(3\pi - 10)(X{{_{i,j}^u}^T}CX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}CY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}CZ_{i,j}^u)} \cr {f_1^v = (3\pi - 8)(X{{_{i,j}^v}^T}TAX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}AY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}AZ_{i,j}^v)} \cr {f_2^v = 2(3\pi - 8)(X{{_{i,j}^v}^T}BX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}BY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}BZ_{i,j}^v)} \cr {f_3^v = 2(3\pi - 10)(X{{_{i,j}^v}^T}CX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}CY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}CZ_{i,j}^v)} \cr } } \right.$

由2.2节中的准则2可得

$\left\{ \matrix{ \alpha _{i,j}^{u*} = {{g_1^u} \over {g_2^u + g_3^u}} \hfill \cr \alpha _{i,j}^{u*} = {{g_1^v} \over {g_2^v + g_3^v}} \hfill \cr} \right.$

(21)

式中

$\left\{ {\matrix{ {g_1^u = 4(3\pi - 2)(X{{_{i,j}^u}^T}AX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}AY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}AZ_{i,j}^u)} \cr {g_2^u = (15\pi - 16)(X{{_{i,j}^u}^T}BX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}BY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}BZ_{i,j}^u)} \cr {g_3^u = 4(6\pi - 11)(X{{_{i,j}^u}^T}CX_{i,j}^u + Y{{_{i,j}^u}^T}CY_{i,j}^u + Z{{_{i,j}^u}^T}CZ_{i,j}^u)} \cr {g_1^v = 4(3\pi - 2)(X{{_{i,j}^v}^T}TAX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}AY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}AZ_{i,j}^v)} \cr {g_2^v = (15\pi - 16)(X{{_{i,j}^v}^T}TBX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}BY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}BZ_{i,j}^v)} \cr {g_3^v = 4(6\pi - 11)(X{{_{i,j}^v}^T}TCX_{i,j}^v + Y{{_{i,j}^v}^T}CY_{i,j}^v + Z{{_{i,j}^v}^T}CZ_{i,j}^v)} \cr } } \right.$

可以选择由式(19) (20) 确定的参数(记做α_i^u1和α_j^v1)或由式(19) (21) 确定的参数(记做α_i^u2和α_j^v2)作为α插值曲面的参数，也可以选择用这两种结果的线性组合，即

$\left\{ \matrix{ \alpha _i^{u3} = k_i^{u1}\alpha _i^{u1} + k_i^{u2}\alpha _i^{u2} \hfill \cr \alpha _j^{v3} = k_j^{v1}\alpha _j^{v1} + k_j^{v2}\alpha _j^{v2} \hfill \cr} \right.$

(22)

确定的参数作为α插值曲面的参数，组合系数k_i^ua、k_j^va≥0(a=1,2) 。

给定单向封闭的待插值数据点，并选择辅助点，它们共同形成的矩阵为

$\left( {\matrix{ {\left( { - 2, - 2,2} \right)} & {\left( { - 2,2,2} \right)} & {\left( {2,2,2} \right)} & {\left( {2, - 2,2} \right)} & {\left( { - 2, - 2,2} \right)} & {\left( { - 2,2,2} \right)} & {\left( {2,2,2} \right)} \cr {\left( { - 1, - 1,4} \right)} & {\left( { - 1,1,4} \right)} & {\left( {1,1,4} \right)} & {\left( {1, - 1,4} \right)} & {\left( { - 1, - 1,4} \right)} & {\left( { - 1,1,4} \right)} & {\left( {1,1,4} \right)} \cr {\left( { - 1, - 1,1} \right)} & {\left( { - 1,1,1} \right)} & {\left( {1,1,1} \right)} & {\left( {1, - 1,1} \right)} & {\left( { - 1, - 1,1} \right)} & {\left( { - 1,1,1} \right)} & {\left( {1,1,1} \right)} \cr {\left( { - 2, - 2,0} \right)} & {\left( { - 2,2,0} \right)} & {\left( {2,2,0} \right)} & {\left( {2, - 2,0} \right)} & {\left( { - 2, - 2,0} \right)} & {\left( { - 2,2,0} \right)} & {\left( {2,2,0} \right)} \cr {\left( { - 3, - 3,0} \right)} & {\left( { - 3,3,0} \right)} & {\left( {3,3,0} \right)} & {\left( {3, - 3,0} \right)} & {\left( { - 3, - 3,0} \right)} & {\left( { - 3,3,0} \right)} & {\left( {3,3,0} \right)} \cr } } \right)$

其中第24行，第15列交叉位置的数据为初始待插值数据。由式(19) (20) 得出$\alpha _1^{u1} = {{2{\rm{ }}428} \over {6{\rm{ }}537}},\alpha _2^{u1} = {{929} \over {4{\rm{ }}015}},\alpha _j^{v1} = {1 \over 4}\left( {j = 1,2,3,4} \right)$；由式(19) (21) 得出$\alpha _1^{u2} = {{837} \over {1{\rm{ }}346}},\alpha _2^{u2} = {{3{\rm{ }}441} \over {11{\rm{ }}497}},\alpha _j^{v2} = {{469} \over {983}}\left( {j = 1,2,3,4} \right)$；取$k_i^{u1} = k_i^{u2} = 13,i = 1,2,k_j^{v1} = 2,k_j^{v2} = 0,j = 1,2,3,4$，由式(22) 计算出$\alpha _1^{u3} = {{295} \over {891}},\alpha _2^{u3} = {{222} \over {1{\rm{ }}255}},\alpha _j^{v3} = {1 \over 2}\left( {j = 1,2,3,4} \right)$。相应于这3种不同结果的α插值曲面如图 5所示。

在图 1、图 2与图 5这3个数值实例中，按准则给出的形状参数都是由Matlab编程计算出的近似值，存在少量误差。如针对图 5中的数据有

$\eqalign{ & k_1^{u1}\alpha _1^{u1} + k_1^{u2}\alpha _1^{u2} - \alpha _1^{u3} = \cr & \left( {{{2{\rm{ }}428} \over {6{\rm{ }}537}} + {{837} \over {1{\rm{ }}346}}} \right) \times {1 \over 3} - {{295} \over {891}} \approx 2.345{\rm{ }}7 \times {10^{ - 7}} \cr} $

在2.3节中给出了用α插值曲线重构椭圆、圆的方法。α插值曲面是α插值曲线的张量积扩展，由此推想α插值曲面应该可以重构椭球面、球面。

在椭球面${{{x^2}} \over {b_1^2}} + {{{y^2}} \over {b_2^2}} + {{{z^2}} \over {b_3^2}} = 1$(b₁,b₂,b₃>0) 上取6个点P₁=(0,b₂,0) ，P₂=(－b₁,0,0) ，P₃=(0,－b₂,0) ，P₄=(b₁,0,0) ，P₅=(0,0,b₃)，P₆=(0,0,－b₃)，将它们排成列阵

$\left( {\matrix{ {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} & {{P_4}} \cr {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} \cr {{P_3}} & {{P_4}} & {{P_1}} & {{P_2}} \cr {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} \cr } } \right)$

以其作为待插值数据点，并取参数α_i^u=α_j^v=${1 \over 2}$来构造α插值曲面，由式(9) (17) 计算可得

${p_{i,j}}\left( {r,t} \right) = \left( {\matrix{ {x\left( {t,r} \right)} \cr {y\left( {t,r} \right)} \cr {z\left( {t,r} \right)} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{b_1}sin r cos t} \cr {{b_2}sin r sin t} \cr {{b_3}cos r} \cr } } \right)$

式中，r∈[0,${\pi \over 2}$]，t∈[0,${\pi \over 2}$]，这表明此时的α插值曲面为一片椭球面。若将数据增加至

$\left( {\matrix{ {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} & {{P_4}} & {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} \cr {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} & {{P_5}} \cr P & {{P_4}} & {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} & {{P_4}} & {{P_1}} \cr {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} & {{P_6}} \cr {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} & {{P_4}} & {{P_1}} & {{P_2}} & {{P_3}} \cr } } \right)$

则可得到整个椭球面，当b₁=b₂=b₃时则为球面。这说明α插值曲面具有重构椭球面(球面)的能力。

图 6为取b₁=b₂=3和b₃=4时，利用α插值曲面重构的椭球面${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 9} + {{{z^2}} \over {16}}$=1的四分之一部分，它包含两张曲面片。

本文详细阐述了插值基函数的构造思路，按照该思路可以构造出一大批性质类似的插值基，这使得本文方法具有普适性。文中所给插值曲线曲面具有和3次B样条曲线曲面相同的结构，它们都具有局部形状控制性，一个数据点的改动只会影响有限的曲线段或曲面片的形状。插值曲线曲面中还含有局部形状调整参数，改变其值，只有一条曲线段、一行或一列曲面片的形状会发生改变。针对插值曲线和曲面，分别给出了3种用于确定形状参数取值的准则，这些准则都以便于编程、计算的公式形式给出，为曲线曲面的形状控制提供了方便。归功于插值基取自于三角函数空间，因此插值曲线曲面还可以精确重构椭圆、椭球面，这进一步增强了本文所给插值方法的实用性。

与Lagrange插值方法、B样条插值方法相比，本文方法主要优点在于具有局部控制性、可以精确表示椭圆、椭球面，同时本文方法还无需执行B样条插值方法中反求控制顶点的运算。与插值细分方法和插值型几何迭代法相比，本文方法主要优点在于插值曲线曲面具有显式表达式，这为后续计算带来方便。与保形有理插值样条方法相比，本文方法优点在于基函数表达式简单，易于进行性质分析。

本文方法的局限性在于曲线曲面的连续阶偏低，且曲线的保形性未知，下一步的研究计划是构造G²连续的插值曲线曲面，给出不同准则下的参数选取方案，并分析插值曲线的保正性、保单调性、保凸性。