图像的边缘轮廓上有着许多图像特征信息，例如角点、拐点。而角点是图像非常重要的特征，它往往被定义为图像边界曲线的曲率极大值点或者多个区域边界交汇点。图像的角点检测在机器视觉以及图像处理领域中有着极其重要的作用，它的应用已经遍及到许多领域。例如目标识别^[1]、图像配准^[2]、视觉跟踪^[3]、模式匹配^[4]等领域。现有的角点检测算法大致可以分为3类：基于灰度强度的角点检测、基于模型的角点检测、基于边缘轮廓的角点检测。基于灰度强度的最经典检测算法是Harris和Stephens^[5]在1988年提出的Harris角点检测算法，后面的许多基于灰度强度的角点检测算法都是基于Harris角点检测器的框架。基于模型的角点检测算法通过对不同的角点进行表征，建立数学模型，然后对目标图像进行滤波，从而检测角点。

本文在文献[6]的基础之上，提出了一种基于图像边缘轮廓的自适应阈值的角点检测算法。基于边缘轮廓的角点检测算法首先利用一些边缘检测算法来检测图像的边缘映射，然后将边缘轮廓曲线提取出来，最后通过计算每个像素点的曲率值以及梯度变化，找出极大值点，从而提取出目标图像的角点。1998年，Mokhtarian和Suomela^[7]提出了一种基于曲率尺度空间(CSS)的角点检测算法，该算法把图像边缘点的曲率绝对值极大值点定义为角点。CSS算法首先使用边缘检测器来提取图像的边缘轮廓，接着提取边缘轮廓并填充边缘之间的间隙，找到T型角点，然后在大尺度下计算边缘点的曲率值，如果边缘点的曲率值为极大值点且大于给定的阈值，那么就将其作为候选角点，最后通过在多个小尺度下追踪角点来提高定位。2001年，Han和Poston^[8]先设定一个弦的长度，然后通过移动弦来获得弦到点的累加距离(CPDA)，从而得到边缘点的离散曲率。随后，Awrangmad和Lu^[9]在此基础上提出了CPDA角点检测算法。CPDA算法首先用一个小尺度高斯函数平滑提取后的边缘，以去除噪声的影响，接着通过CPDA来计算3个不同长度弦下的离散曲率，然后对3个不同的离散曲率值进行归一化相乘，使得强角点与弱角点更容易被区分开来，最后通过寻找曲率积的局部极大值点来获得候选角点，并通过曲率阈值和角度阈值来去除弱角点和假角点。CPDA角点检测算法没有使用任何的一阶与二阶导数信息，因此其对噪声以及局部变化有着非常好的稳健性。2007年, Zhang等人^[10]在曲率尺度空间(CSS)的框架上提出了一个利用不同尺度乘积的多尺度算法来提高角点检测的性能，该算法利用尺度积作为角点测度，因而不需要用小的尺度来进行角点跟踪，减少了计算量，同时也有效地抑制了虚假角点的产生。2008年，He和Yung^[11]提出基于全局与局部曲率特性的角点检测算法，并且使用自适应曲率阈值从候选角点集中去除圆角点以及在一个动态支撑区域内计算候选角点的角度来去除量化噪声以及琐碎细节产生的错误角点。2010年，Zhang等人^[12]在图像边缘轮廓的动态支撑区域内，利用边缘的梯度特征分布构建梯度自相关矩阵来改善角点的检测与定位性能。2012年，Rimon和Robert^[13]提出利用梯度方向变化信息来检测角点，值得一提的是该算法使用了两个边缘图像B和B⁺，其中B是通过阈值化处理得到的粗边缘，B⁺是通过对B进行非极大值抑制获得的细边缘。2013年Shui和Zhang^[6]提出了利用各向异性高斯方向导数(ANDDs)对角点进行提取与分类。2014年，Zhang等人^[14]利用Gabor滤波器平滑边缘像素来检测角点。2015年, Zhang等人^[15]在一个连续的空间内用切尔雪夫多项式拟合来计算边缘像素的曲率，从而达到检测角点的目的。

虽然基于边缘轮廓的角点检测算法的检测性能相对比较稳定，但是它对边缘轮廓的局部变化敏感，并且不能给予一个确切的门限去提取角点。为了克服上述问题，文献[6]提出了各向异性高斯方向导数(ANDDs)角点检测器，该算法利用ANDDs对边缘和角点模型的表征并分析它们的特性，然后用边缘和角点响应减去一个理想的边缘响应得到响应残差，最后利用经验门限对残差的大小进行判决，残差大的判定为角点。该方法具有稳健的抗噪声性能，但是经验阈值的选取降低了检测性能的稳定性，大阈值减小了伪角点出现的概率但提高了漏检的概率，小阈值减小了漏检的概率但提高了误检的概率。

文献[11]提出了一种自适应阈值角点检测算法，很好地去除了错误角点，受到其启发，本文在文献[6]的基础上，对边缘和角点模型的表征作进一步的探讨，通过分析及推导得到区别边缘和角点的自适应阈值；在此基础上提出了一个新的角点测度和角点检测算法。该算法基于边缘和角点的特性分析，不仅利用了边缘的形状特性及边缘像素和周围像素之间的相关信息，而且具有自适应的全局阈值。与经典的角点检测算法相比(Harris和Stephens^[5]、He & Yung^[11]、ANDDs^[6])，本文算法具有更好的平均重复率、定位误差以及噪声稳健性。

在图像处理中，高斯核函数应用得非常广泛，并且已经被证明在处理许多复杂问题上是非常有用的。近年来，许多学者对于各向异性高斯核产生了浓厚的兴趣，因为它可以对图像中每个像素的所有灰度变化进行检测，不再局限于传统的各向同性高斯核的有限个方向。并且，各向异性高斯核对噪声以及局部变化有着良好的稳健性。同时，各向异性高斯导数滤波器也已经被证明对于处理未知局部结构方向信息的图像是非常有效的^[16]。

首先，用I($\boldsymbol{x}$)来表示输入图像，这里$\boldsymbol{x}$=[$x$, y]^T。文献[17-18]中平滑图像使用的是各向同性高斯核，其函数为

$\begin{align} & {{I}_{\sigma }}\left( \boldsymbol{x} \right)=I*{{G}_{\sigma }}\left( \boldsymbol{x} \right)=\iint{I\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{v} \right){{G}_{\sigma }}\left( \boldsymbol{v} \right)\text{d}\boldsymbol{v}} \\ & {{G}_{\sigma }}\left( \boldsymbol{x} \right)=\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}\boldsymbol{x}}{2{{\sigma }^{2}}} \right),\sigma >0 \\ \end{align}$

(1)

式中，$\boldsymbol{v}={{\left[ {{v}_{x}},{{v}_{y}} \right]}^{\text{T}}}$，$\boldsymbol{\sigma} $表示标准差，即高斯核函数的尺度。

一个扩展的2维高斯核函数可表示为^[19-20]

$\begin{align} & {{G}_{\left[ \sigma ,p \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right)=\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}\boldsymbol{Mx} \right) \\ & \boldsymbol{M}=\left[ \begin{matrix} {{\rho }^{2}} & 0 \\ 0 & {{\rho }^{-2}} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$

(2)

式中，$\rho $≥1, $\sigma $>0, $\rho $表示各向异性因子。各向异性高斯核可以通过旋转2维高斯核函数式(2)得到，其表达式为

$\begin{align} & {{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right)= \\ & \frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}\boldsymbol{T}{{\boldsymbol{r}}_{\left( -\theta \right)}}\boldsymbol{MT}{{\boldsymbol{r}}_{\left( \theta \right)}}\boldsymbol{x} \right) \\ & \boldsymbol{T}{{\boldsymbol{r}}_{\left( \theta \right)}}=\left[ \begin{matrix} \cos \left( \theta \right) & \sin \left( \theta \right) \\ -\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right) \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$

(3)

式中，Tr($\theta $)表示旋转矩阵，$\theta $表示旋转角度。

下面来分析各向异性高斯核函数的导数形式。首先，前面所提到的扩展之后的2维高斯核函数在2维笛卡儿坐标系中的$x$方向的一阶微分算子可以表示为

$\\frac{\partial {{G}_{\left[ \sigma ,p \right]}}}{\partial x}\left( \boldsymbol{x} \right)=-\frac{{{\rho }^{2}}x}{{{\sigma }^{2}}}{{G}_{\left[ \sigma ,p \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right)$

(4)

然后，通过旋转式(4)就可以得到各向异性高斯函数的方向导数，其表达形式为

$\begin{align} & {{\mathit{\Upsilon} }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right)=\frac{\partial {{G}_{\sigma ,p}}}{\partial \theta }\left( \boldsymbol{T}{{\boldsymbol{r}}_{\left( \theta \right)}}\boldsymbol{x} \right)= \\ & -\frac{{{\rho }^{2}}\left[ \cos \left( \theta \right),\sin \left( \theta \right) \right]\boldsymbol{x}}{{{\sigma }^{2}}}{{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right) \\ \end{align}$

(5)

图 1表示了各向异性高斯方向导数滤波器的8个方向。每个方向导数滤波器都可以提取输入图像相应方向的灰度变化信息，并且文献[19]已经证明各向异性高斯核函数具有一定的抑制高斯噪声的能力。

对于1幅输入图像I($\boldsymbol{x}$)，其各向异性高斯函数方向导数在$\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$/2+$\theta $方向的响应可以表示为

$\begin{align} & {{\nabla }_{\left[ \sigma ,p \right]}}I\left( \boldsymbol{x},\theta \right)=\frac{\partial }{\partial \theta }\left( I\left( \boldsymbol{x} \right)*{{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right) \right)= \\ & I\left( \boldsymbol{x} \right)*\left( -\frac{{{\rho }^{2}}\left[ \cos \left( \theta \right),\sin \left( \theta \right) \right]\boldsymbol{x}}{{{\sigma }^{2}}}{{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right) \right)= \\ & I\left( \boldsymbol{x} \right)*{{\mathit{\Upsilon} }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{x} \right) \\ \end{align}$

(6)

该函数由各向异性高斯平滑滤波器的方向导数算子组成，并且在沿着$\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$/2+$\theta $的方向反映了图像像素周围的强度变化情况。由图 1的8个方向ANDDs滤波器可以看出，各向异性高斯核函数只在$\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$/2+$\theta $很窄的方向扩展，不会平滑掉太多的边细节部分，可以很好地保留图像边缘的特征。同时，从式(6)输入图像的方向导数响应可以看出，图像的平滑与$\sigma ,\rho ,\theta $有关。因此，可以通过改变高斯核函数的尺度$\sigma $，各向异性因子$\rho $来调节平滑程度，改变旋转角度$\theta $的多少来调节平滑的方向。

在实际的图像处理中，使用的都是离散化的2维图像信号。因此，在进行仿真实验时，应首先将各向异性高斯核函数与各向异性高斯方向导数进行离散。对于包含尺度$\sigma $和各向异性因子$\rho $的式(3)(5)，对它们在整数空间范围${\mathbb{Z}^2}$上进行采样。这样就可以分别获得离散化形式的各向异性高斯核函数与各向异性高斯方向导数，它们的数学表达式分别为

$\begin{align} & {{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{n} \right)= \\ & \frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}{{\boldsymbol{n}}^{\text{T}}}\boldsymbol{T}{{\boldsymbol{r}}_{\left( -\theta \right)}}\boldsymbol{MT}{{\boldsymbol{r}}_{\left( \theta \right)}}\boldsymbol{n} \right) \\ \end{align}$

(7)

$\begin{align} & {{\mathit{\Upsilon} }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{n} \right)=\frac{\partial {{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}}{\partial \theta }\left( \boldsymbol{T}{{\boldsymbol{r}}_{\left( \theta \right)}}\boldsymbol{n} \right)= \\ & -\frac{{{\rho }^{2}}\left[ \cos \left( {{\theta }_{d}} \right),\sin \left( {{\theta }_{d}} \right) \right]\boldsymbol{n}}{{{\sigma }^{2}}}{{G}_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{n} \right) \\ \end{align}$

(8)

式中，n=[n_$x$, n_y]^T∈${\mathbb{Z}^2}$, ${{\theta }_{d}}=\left( d-1 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }/D$, d=1, 2, …, D。D表示方向导数算子的个数，即旋转角度$\theta $的个数，${{\theta }_{d}}$表示采样角度。接着，输入图像I(n)的ANDDs响应可以通过使用式(8)表示为

${{\nabla }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}I\left( \boldsymbol{n},d \right)=\sum\limits_{{{a}_{x}}}{\sum\limits_{{{a}_{y}}}{I\left( \boldsymbol{n}-\boldsymbol{a} \right)}}{{\Upsilon }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( \boldsymbol{a} \right)$

(9)

式中，$a = \left( {{a_x},{a_y}} \right)$^T∈${\mathbb{Z}^2}$。

在极坐标系下，一个简单角点的模型可以定义为^[6]

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{F_{\left[ {{\beta _1},{\beta _2}} \right]}}\left( {r,\beta } \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} {T_1}\;\;0 \le r < \infty ,{\beta _1} \le \beta \le {\beta _2},{\beta _2} - {\beta _1} \ne {\rm{\pi }}\\ 0\;\;\;其他 \end{array} \right. \end{array}$

(10)

式中，r是极径，$\beta $是极角，T₁是该区间的灰度值，O点为角点，该模型的参数示意图如图 2所示。

ANDDs滤波器对简单角点的响应可以表示为

$\begin{align} & {{\varphi }_{{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}}}\left( \theta \right)=\iint_{{{R}^{2}}}{F\left( r,\beta \right){{\mathit{\Upsilon} }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( -r,-\beta \right)r\text{d}r\text{d}\beta =} \\ & \frac{\rho {{T}_{1}}}{2\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sigma }\left( \frac{\cos \left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)}{\sqrt{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)}} \right)- \\ & \left( \frac{\cos \left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)}{\sqrt{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{2}} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{2}} \right)}} \right) \\ \end{align}$

(11)

不失一般性，Y-型，X-型与星型角点的模型可以通过简单角点的模型叠加得到。因此，通用角点模型可以定义为

$\psi \left( r,\beta \right)\equiv \sum\limits_{i=1}^{k}{{{T}_{i}}{{F}_{\left[ {{\beta }_{i}},{{\beta }_{i+1}} \right]}}\left( r,\beta \right)}$

(12)

那么通用角点模型与ANDDs滤波器的响应表达式为

$\begin{align} & {{\zeta }_{{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}}}\left( \theta \right)=\iint_{{{R}^{2}}}{\psi \left( r,\beta \right){{\mathit{\Upsilon} }_{\left[ \sigma ,p,\theta \right]}}\left( -r,-\beta \right)r\text{d}r\text{d}\beta =} \\ & \frac{\rho }{2\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sigma }\sum\limits_{i=1}^{k}{\frac{\left( {{T}_{i}}-{{T}_{i-1}} \right)\cos \left( \theta -{{\beta }_{i}} \right)}{\sqrt{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{i}} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{i}} \right)}}} \\ \end{align}$

(13)

式中，T₀=T_k。

当$\beta $₂-$\beta $₁=π时，简单的角点模型会转变成一个阶跃边缘模型，如图 3(a)所示。由式(13)可以得到ANDDs对阶跃边缘的响应为

${{S}_{\left[ {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} \right]}}\left( \theta \right)=\frac{\rho }{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sigma }}\frac{\left( {{T}_{1}}-{{T}_{2}} \right)\cos \left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)}{\sqrt{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \theta -{{\beta }_{1}} \right)}}$

(14)

从图 3(a)阶跃边缘的ANDDs响应可以看出，其在$\theta ={{\beta }_{1}}\pm \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }/2$处存在两个零点，在$\theta =\beta $₁, $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+{{\beta }_{1}}$处存在两个极值点，其幅值大小为

$\xi =\underset{\theta }{\mathop{\max }}\,\left| {{S}_{\left[ {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} \right]}}\left( \theta \right) \right|=\left| \frac{\rho \left( {{T}_{1}}-{{T}_{2}} \right)}{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sigma }} \right|$

(15)

从式(14)可以看出，阶跃边缘的响应ANDDs正比于边缘两侧的灰度差而与高斯尺度$\sigma $成反比。图 3中的其他角点模型的ANDDs响应与阶跃边缘相比，它们的响应极值点要多于阶跃边缘，并且在多个方向都会发生较大的幅值变化。在文献[5, 21]中，把图像中各个方向灰度变化都剧烈的像素点定义为角点，对于ANDDs响应来说，即角点处各个方向的ANDDs响应幅值都很大；而边缘像素点只有在梯度方向的灰度变化才明显，因此它所对应的ANDDs响应只有在梯度方向有明显的幅值变化。为了从图像的边缘轮廓中准确提取角点，并且抑制噪声对检测性能的影响，本文对边缘轮廓上的每一个像素的ANDDs响应做归一化处理并求和，得到角点的ANDD响应的全局阈值T_h，其表达式为

$\begin{align} & {{T}_{h}}=\int_{0}^{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\frac{\left| {{S}_{\left[ {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} \right]}}\left( \theta \right) \right|}{\underset{\theta }{\mathop{\max }}\,\left| {{S}_{\left[ {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} \right]}}\left( \theta \right) \right|}}\text{d}\theta = \\ & \frac{4}{\sqrt{{{\rho }^{4}}-1}}\log \left( \sqrt{{{\rho }^{4}}-1}+{{\rho }^{2}} \right) \\ \end{align}$

(16)

式中，采用的旋转角度范围为[0, $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$]。由式(16)可知，角点检测的全局阈值只与各向异性因子$\rho $有关，而与尺度$\sigma $的大小无关。当图像边缘轮廓上像素的ANDDs响应的归一化和大于全局阈值时，那么该像素点就会被标记为候选角点。

在2.1节中，通过对构建边缘以及不同的角点模型进行表征，分别得到它们的ANDDs响应，并对每个表征进行特性分析和演算，获得区别边缘与角点的自适应阈值，克服了经验阈值选取的不足之处。在此基础之上，提出新的角点测度以及新的角点检测算法。

许多基于边缘轮廓的角点检测器通常具有4个处理步骤，分别如下：

1) 使用Canny^[17]或者其他的边缘检测器寻找输入图像的边缘映射；

2) 从第1)步中检测到的边缘映射中提取边缘轮廓，这一步中同时也包含有一些提高边缘质量的方法，例如在小的范围内填补曲线之间的间隙，以及去除一些非常短的边缘；

3) 用单尺度或者多尺度的高斯核函数来平滑第2)步中提取到的边缘映射，以减弱噪声以及局部范围内的变化对检测性能的影响；

4) 采用不同的基于边缘的角点测度方法来选取角点。

但是，这些基于边缘的角点检测器只是依赖于图像的边缘映射信息，因此，它们对噪声以及边缘曲线上的局部变化非常敏感。并且，这些算法的阈值都是经验性的，不能够根据图像内容的不同自动调节阈值的大小。为了克服这两个问题，通过使用ANDDs滤波器以及自适应阈值构建了一个新的基于边缘轮廓的自适应阈值角点检测算法。

对于1幅输入图像I(n)(n=[${{n}_{x}}$, n_y]^T∈${\mathbb{Z}^2}$)，首先采用Canny^[17]边缘检测器提取其边缘映射，然后使用ANDDs滤波器对每一个边缘像素进行滤波平滑，由式(9)得到各个方向的ANDDs响应值${\nabla _{\left[{\sigma, \rho } \right]}}$I(n, d)。然后对每个边缘像素点的每个方向进行归一化处理求和，其离散化的表达式为

$\begin{align} & \zeta \left( \boldsymbol{n} \right)=\Delta \theta \cdot \sum\limits_{d=1}^{D}{\frac{{{\nabla }_{\sigma ,\rho }}I\left( \boldsymbol{n};d \right)}{\max \left( {{\nabla }_{\sigma ,\rho }}I\left( \boldsymbol{n};d \right) \right)}} \\ & \Delta \theta =\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }/D \\ \end{align}$

(17)

Δ$\theta $=π/D

新的角点测度$\xi $(n)的阈值T_h由式(16)决定，克服了经验阈值的选择带来了角点检测的错判和漏判现象。

基于前面的分析，本文所提出的角点检测算法步骤如下：

1) 使用Canny边缘检测器寻找输入图I(n)的边缘映射；

2) 从边缘映射中提取边缘轮廓，并填补断裂边缘，获得较完整的边缘轮廓；

3) 利用ANDDs滤波器对图像边缘上的每个像素进行滤波平滑, 求其对应的测度值$\xi $(n)；

4) 把边缘像素点的测度值$\xi $(n)大于自适应阈值T_h的点, 标记为候选角点，得到候选角点集；

5) 对候选角点集使用非极大值抑制，得到最终角点集。

本文算法流程图如图 4所示。

本文算法的仿真实验所使用的平台为i3-2328处理器，主频2.20 GHz，内存2 GB，32位操作系统以及Matlab2010a。

将本文角点检测算法与其他3种经典角点检测算法进行比较，它们分别为Harris & Stephens ^[5]、He & Yung^[11]、ANDDs^[6]。在角点匹配实验中，使用两张幅图像处理中普遍使用的积木图与实验室图，并且这两幅图都具有标准角点数据，如图 5所示。角点匹配的性能通过在有噪声和无噪声情况下丢失的角点和错误的角点进行评价。

在仿射变换和高斯噪声的实验中，使用文献[9]中的平均重复率和定位误差作为评价角点检测稳健性和检测精确度的评价标准。平均重复率表示测试图像变换后的角点检测与原始图像角点检测之间的重复角点的平均，其定义为

${{R}_{\text{av}}}=\left( 1/2 \right)\times {{N}_{\text{r}}}\times \left( 1/{{N}_{0}}+1/{{N}_{\text{t}}} \right)$

(18)

式中，N_o是从未变换图像中检测到的角点数，N_t是图像变换后检测到的角点数，N_r表示未变换图像与变换后图像的角点重复数。平均重复率R_av反映了在仿射变换和高斯噪声下一个角点检测器的稳定性。而且，在图像特征配准领域中，需要很高的平均重复率。

定位误差L_er是基于两点之间的欧氏距离定义的。假设用G_T={T_k, k=1, 2, …, M₁}表示真实角点集，用D_C={C_k, k=1, 2, …, M₂}表示通过角点检测器检测到的角点。对于在G_T中的一个角点T_k来说，通过寻找它与角点集D_C之间的最小距离来判断该角点是否检测正确。如果检测到的最小距离小于或者等于所设定的距离阈值(本文设置为4，即4个像素的距离)，则判断该角点检测正确。然后，将两个角点集中检测正确的角点组成一个角点对{(T_k, C_k), k=1, 2, …, M_r}。定位误差的数学表达式为

${{L}_{\text{er}}}=\sqrt{\left( 1/{{M}_{\text{r}}} \right)\times \sum\limits_{k=1}^{{{M}_{\text{r}}}}{\left\| {{T}_{k}}-{{C}_{k}} \right\|_{2}^{2}}}$

(19)

为了使新的角点检测器具有最好的角点检测性能，表 1展现了通过实验选取的最优的参数。因为阈值的选取是自适应的，所以不用对阈值进行经验选择，减少了计算量。文献[19]已通过实验证明当$\sigma $²/$\rho $²=1时，ANDDs滤波器有着较好的性能。因此在选择参数时，令$\sigma $²=$\rho $²。在选取Canny边缘检测器的高低阈值时，考虑到阈值过高会使提取到的边缘信息变少，而阈值过低会检测到虚假边缘，通过结合实验对提出的新的角点检测器的影响，选取的高低阈值为0.35，0.2。对于非极大值窗口，窗口选取较小可能会检测出许多错误的角点，窗口较大可能会丢失一些真实的角点。因此，通过实验的综合考虑，实验中选取的非极大值抑制窗口为5×5。

图 6给出了一个新的角点检测例子。首先使用Canny边缘检测器从测试图像积木中提取一条闭合的边缘，然后对其采用新的角点测度。图 6(c)中的闭合曲线包含有13个角点，并且用黑色小正方形标记出。由式(16)，可以计算出自适应全局阈值的大小为T_h=1.203 3。图 6(d)为角点测度的结果图，可以看出，角点处的响应明显大于边缘像素点的响应值，并且大于前面所计算出的全局阈值1.200 3。因此，该闭合曲线上的13个角点都能很好地被检测到(对于与13个角点相邻的那些极大值点，在角点检测中通过非极大值抑制方法将其去除)。更重要的一点是，自适应全局阈值避免了由于经验门限的选取不当造成错检或者漏检。

为了测试新的角点测度的噪声稳健性，对测试图像积木上加入均方差$\sigma $_w=10的高斯白噪声。ANDDs滤波器的参数设置与图 6(d)所示的实验相同。图 6(e)是加噪声后的对图 6(c)中边缘轮廓的响应。从图 6(e)中新的角点测度对加入噪声后的响应值可以看到，13个角点依然可以很明显地与其他边缘像素点区分开来，角点响应值的位置与未加噪声前的响应位置也没有发生明显的偏移，并且13个角点的响应值也大于自适应阈值T_h=1.203 3。新的角点测度保留了所有角点较大的响应幅值，并且没有任何的其他较大的错误响应值，说明本文提出的新的角点测度对噪声有很强的抑制作用。ANDDs滤波器可以通过改变滤波器的方向来检测目标图像任意方向的灰度变化信息，而不同于各向同性高斯函数只能检测到图像有限个方向的灰度变化信息。因此，面对更高阶的角点类型，本文算法依然可以很好地检测到。

角点检测算法的匹配实验所用的两幅具有标准角点数据的图像如图 5所示。因为Canny边缘的高低阈值会影响检测到的边缘区域与边缘像素数，为了使实验在相同条件下进行比较，实验中把所有基于Canny边缘的角点检测器的高低阈值分别设置为0.35, 0.2。

图 7与图 8分别给出了几种检测器对于无噪声情况下积木和实验室的检测结果图。图 9的折线图表示了两幅测试图像丢失与错误角点分别占总角点数的百分比。从图 9种可以看出，在无噪声情况下，Harris算法丢失的角点最多，原因是Harris算法仅利用了图像的灰度信息，本文算法检测到的错误角点最少。

图 10与图 11分别给出了几种检测器对添加了均方差为10的高斯白噪声测试图像的检测结果。图 12的折线图表示了两幅经过噪声污染的测试图像丢失与错误角点分别占总角点数的百分比。从图 12中可以看出，Harris算法对噪声干扰最为敏感，其错误角点与丢失角点最多。He & Yung算法在有噪声的情况下丢失的角点数增加。ANDDs噪声情况下的检测性能优于Harris与He & Yung算法，提出的新算法最优。

假定丢失一个角点和检测一个错误角点对角点检测器的性能造成同样的损失，那么就可以把丢失角点和错误角点占总角点数的平均百分比作为检测性能的一个指标。图 13描述了两幅测试图像的丢失角点数与错误角点数占总角点数的百分比平均值，从图 13中可以看到，Harris算法的平均百分比最高，He & Yung算法次之，ANDDs与本文算法的平均百分比远低于前面两者，其中本文算法最优。由此可以看出，在本文算法得到最好的检测性能，优于其他3种算法。原因是本文算法在继承了各向异性高斯方向导数可以很好地提取像素各个方向的灰度变化信息的同时，而且具有一个自适应的全局门限，它避免了阈值的选择引起的误判，这正是ANDDs算法所欠缺的，因为ANDDs的阈值是通过实验选取的经验阈值。

将本文角点检测算法与其他3类经典算法进行仿射变换和高斯噪声实验。在这个实验中，将会使用平均重复率和定位误差作为评价角点检测稳健性和检测精确度的评价标准。这两个评价准则不涉及人力因素，因此它可以很客观地评价角点检测器的性能。

如图 14所示，本文选择了25幅不同场景的灰度测试图像，接下来将会对这25幅图像做仿射变换和高斯噪声实验，其中仿射变换包括旋转变换、一致尺度变换和非一致尺度变换。具体如下：

1) 旋转，在区间[-90°, 90°]间进行旋转，旋转间隔为10°(去除0°)；

2) 一致尺度变换，令${{s}_{x}}$=s_y，两个尺度都在[0.5, 2.0]区间内变化，变化间隔为0.1(去除1.0)；

3) 非一致尺度变换，令${{s}_{x}}$=1，s_y在区间[0.5, 2.0]内变化，变化间隔为0.1(去除1.0)；

4) 高斯噪声，零均值的高斯白噪声，其均方差在区间[1, 15]内变化，间隔为1。

图 15—图 22分别给出了在仿射变换和高斯噪声下的平均重复率和定位误差。图 15和图 16展示了4个检测器在所有旋转角度下的平均重复率和定位误差。可以看到，He & Yung有着最好的平均重复率，本文算法排在第2位。在定位误差方面，本文提出的检测器有着最好的检测性能，ANDDs次之，He & Yung效果最差。

从图 17—图 20可以看出，当尺度因子小于1时，平均重复率随着尺度因子的增加而增加；相反，定位误差随着尺度因子的增加而减小。当尺度因子大于1时，两种情况恰好相反。在一致尺度变换下，He & Yung算法的平均重复率最高，但是它的定位性能最差；ANDDs算法的定位性能好，但是它的平均重复率较低；而本文算法最好的定位性能以及良好的平均重复率。在非一致尺度变换下，本文算法依然有着良好的检测性能。从图 21和图 22可以看出，随着高斯噪声的增加，所有检测器的稳健性都在下降，但是本文提出的检测器的下降趋势要比其他检测器缓慢。并且，从图 21可以看到，本文算法在4个检测器中有着最高的平均重复率，Harris算法随着噪声方差的增大下降的最快，可以看出Harris算法对噪声最为敏感。从图 22也可以看到，本文算法在噪声条件下的角点定位性能也优于Harris算法，He & Yung算法以及ANDDs算法，所以本文算法对噪声的干扰具有稳健性。

为了更加清晰地比较每个检测器之间的优缺点，对图 16和图 22中4个检测器的位置进行排序。按照平均重复率从上到下为1, 2, 3, 4，定位误差从下到上为1, 2, 3, 4进行排序，其排名如表 2所示。

假设每个性能评价的排名具有相同权重，那么本文中将使用每个检测器所有排名的平均值来评价每个检测器的检测性能。通过计算得到4个检器的平均排名分别为Harris 3.375、He & Yung 2.625、ANDDs 2.625、本文算法1.375。从平均排名中，可以看到，本文提出的检测算法排名第一，因此具有最好的角点检测稳健性能；ANDDs与He & Yung并列第二，Harris第三。原因是本文算法继承了各向异性高斯方向导数可以很好地提取像素各个方向的灰度变化信息，并且，本文算法采用一个自适应的全局阈值，避免了由于经验阈值的选择造成的错误检测。同时，作为角点测度的正则化的灰度变化和有效减少了噪声或者光照对检测性能的影响。

图像的特征检测在计算机视觉领域是一个重要的课题，在许多视觉系统中，检测特征往往作为复杂计算的第1步。因此，这一步的可靠性会极大地影响着视觉系统整体的结果。而角点作为图像的重要特征，因此对其研究具有重大意义。本文提出了一个新的基于边缘轮廓的自适应阈值角点检测算法。和大多数基于边缘的角点检测算法一样，本文算法首先通过Canny边缘检测器检测输入图像的边缘映射，并从边缘映射中提取出边缘轮廓。但是，本文算法不同于传统的基于边缘的角点检测器仅利用边缘轮廓的信息，还利用到边缘像素的灰度信息。而且，本文算法还采用一个自适应全局阈值，避免了角点的误判。正则化的灰度变化和有效减少了噪声或者光照对检测性能的影响。通过角点匹配实验、仿射变换实验以及高斯噪声实验，可以看出，本文新的角点检测器拥有良好的检测性能, 并且对噪声具有稳健性。但是本文算法利用了多个方向的灰度变化信息，增加了计算的复杂度。同时，特征点的提取与匹配在基于图像的3维场景重建中也是一个非常重要的环节，因此在下一步的研究中将会对提出的角点检测算法进行优化并应用到3维模型重建中。