聚类算法^[1-2]是模式识别^[3-5]和图像分割方法^[6-7]的重要分支。随着模糊理论^[8]的引入，学者们提出模糊聚类算法^[9]。在众多的分割方法中，模糊C-均值分割算法(FCM)^[10-11]因其算法简单而广泛应用于图像分割中。但FCM算法未考虑像素的空间邻域信息，直接利用样本的灰度值进行聚类导致其抗噪性能较差。文献^[12]提出鲁棒性模糊C-均值聚类分割算法(RFCM)。文献^[13]提出邻域信息约束的模糊C-均值聚类分割算法，其缺点是需要计算像素与其所有邻域像素到类中心的距离且复杂性较高。文献^[14]提出基于核模糊聚类的遥感影像分类(KFCM)。文献^[15]提出两种改进的FCM_S算法，但未考虑邻域像素空间信息。后来，文献^[16]引入了新的模糊因子并将空间信息和灰度信息相融合，提出了一种新的结合空间信息的FCM算法。Gong等人^[17]将核空间引入该算法并提出邻域像素权因子，改善了该算法的抗噪性能和鲁棒性，但计算复杂度较高，不适合大幅面遥感、医学等图像的分割。

针对图像分割问题，FCM算法将不同位置像素值直接聚类，导致样本数目巨大。为此，刘建庄^[18]首次提出2维直方图模糊C-均值聚类算法，具有一定的抗噪分割性能。此外，文献^[19]将中智模糊集引入传统模糊C-均值聚类并提出中智模糊C-均值聚类算法(NCM)。其算法又含有隶属度中值或均值滤波处理，特别有利于含噪声或奇异数据有效分类且对样本的边界分割结果较好，但其缺陷是对非凸不规则结构数据不能奏效。引入核函数概念，利用满足Mercer条件的非线性变换把低维空间线性不可分的输入模式空间映射到一个线性可分的高维特征空间进行中智模糊聚类分割。大量灰度图像分割测试表明，本文提出核空间的中智模糊聚类分割算法满足对噪声等干扰的需要。

FCM算法的目标函数描述为

$\begin{align} & \min {{J}_{m}}(U,V)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{u}_{ij}})}^{m}}{{\left\| {{x}_{i}}-{{v}_{j}} \right\|}^{2}}}} \\ & s.t.1)0\le {{u}_{ij}}\le 1,i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,c; \\ & 2)\sum\limits_{j=1}^{c}{{{u}_{ij}}=1,i=1,2,\cdots ,n;} \\ & 3)0＜\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{ij}}＜n},j=1,2,\cdots ,c. \\ \end{align}$

(1)

其数据集$X=\{{{x}_{i}}|i=1,2,\cdots ,n\}$分类数为$c(c\ge 2\And c＜\sqrt{n})$，v_j为第j类的聚类中心，u_ij为样本x_i划分第j类的模糊隶属度，参数w是模糊聚类加权因子。

该算法仅适合团状且不同类样本数相差不悬殊的数据集，否则误分率偏大；由于采用欧氏平方距离度量样本与聚类中心间的差异性，导致该算法对噪声或奇异数据缺乏鲁棒性。为此，提出中智模糊C-均值聚类，其目标函数描述为

$\begin{align} & \min {{J}_{m}}(U,I,F,V)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}}}||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{(}{{w}_{2}}{{I}_{i}}{{)}^{m}}||{{x}_{i}}-{{{\bar{v}}}_{i,\max }}|{{|}^{2}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }^{2}}}{{({{w}_{3}}{{F}_{i}})}^{m}} \\ & s.t.1)0\le {{u}_{ij}}\le 1,1\le i\le n,1\le j\le c; \\ & 2)0＜\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{ij}}}＜n,1\le k\le c; \\ & 3)\sum\limits_{j=1}^{c}{{{u}_{ij}}+{{I}_{i}}+{{F}_{i}}=1},1\le i\le n. \\ \end{align}$

(2)

式中，I_i为样本x_i属于分类边界集合的隶属度；F_i为样本x_i属于奇异或噪声集合的隶属度；w₁是模糊C-均值聚类的加权因子；w₂是边界区域函数加权因子；w₃是噪声部分加权因子。

NCM相比FCM考虑样本属于两类边界集及其隶属度信息，对边界问题进行有效分类。

利用希尔伯特再生核空间理论引入NCM算法，提出核空间中智模糊聚类算法，可提高具有抗噪性的NCM算法对非凸不规则数据聚类的分类能力。

若输入空间的样本集${{x}_{k}}\in {{R}^{r}}(k=1,2\cdots ,n)$用非线性函数φ(x)将样本映射到高维核空间H中，得到新样本集$\phi ({{x}_{i}}),(i=1,2\cdots ,n)$构造满足Mercer条件的核函数$K(x,y)=\phi (x)\cdot \phi (y),x,y\in {{R}^{r}}$，

$K(x,y)=\exp (-\frac{||x-y|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})$

σ为尺度参数。样本间距离标准差确定σ为

$\sigma ={{(\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{({{d}_{i}}-\overline{d})}^{2}}})}^{\frac{1}{2}}}$

(3)

式中，${{d}_{i}}=||{{x}_{i}}-\bar{x}||$为像素点x_i相对于像素中心x的距离，d是的d_i均值，聚类中心x和d的表达式$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$，$\bar{d}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{d}_{i}}}$。

将数据集映射到高维核空间进行NCM算法并提出核空间中智模糊聚类算法，其最优化问题描述

$\begin{align} & J(U,I,F,V)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}}}||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{v}_{j}})|{{|}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{c}{{{\left( {{w}_{2}}{{I}_{i}} \right)}^{m}}}{{\left\| \phi ({{x}_{i}})-\phi ({{{\bar{v}}}_{i,\max }}) \right\|}^{2}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }^{2}}}{{({{w}_{3}}{{F}_{i}})}^{m}} \\ & s.t.1)0\le {{u}_{ij}}\le 1,1\le i\le n,1\le j\le c; \\ & 2)0＜\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{ij}}}＜n,1\le k\le c; \\ & 3)\sum\limits_{j=1}^{c}{{{u}_{ij}}+{{I}_{i}}+{{F}_{i}}=1},1\le i\le n \\ & ||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{v}_{j}})|{{|}^{2}}=K({{x}_{i}},{{x}_{i}})-2K({{x}_{i}},{{v}_{j}})+K({{v}_{j}},{{v}_{j}})= \\ & 2-2\exp \left( -{{\sigma }^{-2}}\cdot ||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}} \right). \\ \end{align}$

(4)

采用拉格朗日乘子法迭代求解得

${{u}_{ij}}={{K}_{1}}{{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{-\frac{1}{m-1}}}$

(5)

${{I}_{i}}=2{{K}_{1}}{{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[1-\exp ({{\frac{-||{{x}_{i}}-{{{\bar{v}}}_{i,max}}||}{2{{\sigma }^{2}}}}^{2}})]}^{^{\frac{-1}{m-1}}}}$

(6)

${{F}_{i}}={{K}_{1}}\cdot {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}$

(7)

${{v}_{j}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{u_{ij}^{m}K({{x}_{i}},{{v}_{j}}){{x}_{i}}}/\sum\limits_{i=1}^{n}{u_{ij}^{m}}K({{x}_{i}},{{v}_{j}})$

(8)

令

$\begin{align} & {{K}_{1}}=\{{{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{{\bar{v}}}_{i,max}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}{{\}}^{-1}} \\ \end{align}$

(9)

下面对核空间中智模糊聚类的讨论：

1) 若式(4) 中参数w₂=0且w₃=0时，则核空间中智模糊聚类退化为核空间模糊C-均值聚类算法；

2) 若式(4) 中参数w₂=0时，该核空间中智模糊聚类文献^[12]所对应的核空间鲁棒模糊聚类算法。

因此，本文算法是鲁棒模糊聚类算法和高性模糊聚类算法的融合推广，对复杂形状且含奇异点数据的聚类有较大应用价值。

为证明该迭代算法满足收敛性条件，本文利用Zangwill定理^[20]证明本文迭代算法满足收敛性条件。其定理是建立迭代算法收敛性定理的一个有效工具。设V是距离空间，点${{z}^{(1)}}\in V,A:V\mapsto P(V)$是V上的点到集合的映射，由A定义的算法以z⁽¹⁾为初始点产生序列${{\{{{z}^{(k)}}\}}_{k=1,2,\cdots }}$令$\Omega \subset V$为解集。若

1) 所有的点z^(k)都属于V中的一个紧子集。

2) 存在连续函数$J:V\mapsto R$,使得：(1) 若$z\notin \Omega $,则对任何$y\in A(z)$，有J(y)＜J(z)；（2) 若$z\in \Omega $，算法终止，或对任何$y\in A(z),$,有J(y)＜J(z)。

3) 若$z\notin \Omega $，映射A在z点是闭的；则算法停止于某个解或任一个收敛子序列的极限是一个解。

若本文迭代算法是收敛的，那么应满足Zangwill定理的3个条件。其中，第1个条件：${{J}_{m}}(U,I,F,V)$是下降函数。

给定聚类中心V的条件下，拉格朗日函数为

$\begin{align} & L(U,I,F,\lambda )=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}}}||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{v}_{j}})|{{|}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{c}{{{\left( {{w}_{2}}{{I}_{i}} \right)}^{m}}}||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{{\bar{v}}}_{i,\max }})|{{|}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }^{2}}}{{({{w}_{3}}{{F}_{i}})}^{m}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}(\sum\limits_{j=1}^{c}{{{u}_{ij}}+{{I}_{i}}}+{{F}_{i}}-1) \\ \end{align}$

(10)

如果(U^*,I^*,F^*,λ^*)是L的极小点，则有

$\begin{align} & \frac{\partial L({{U}^{*}},{{I}^{*}},{{F}^{*}},{{\lambda }^{*}})}{\partial {{u}_{ij}}}=0,\frac{\partial L({{U}^{*}},{{I}^{*}},{{F}^{*}},{{\lambda }^{*}})}{\partial {{I}_{i}}}=0 \\ & \frac{\partial L({{U}^{*}},{{I}^{*}},{{F}^{*}},{{\lambda }^{*}})}{\partial {{\lambda }_{i}}}=0,\frac{\partial L({{U}^{*}},{{I}^{*}},{{F}^{*}},{{\lambda }^{*}})}{\partial {{F}_{i}}}=0 \\ & u_{ij}^{*}={{K}_{1}}{{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{-\frac{1}{m-1}}} \\ \end{align}$

(11)

$I_{i}^{*}=2{{K}_{1}}{{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[1-\exp ({{\frac{-||{{x}_{i}}-{{{\bar{v}}}_{i,\text{max}}}||}{2{{\sigma }^{2}}}}^{2}})]}^{^{\frac{-1}{m-1}}}}$

(12)

$F_{i}^{*}={{K}_{1}}\cdot {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}$

(13)

$\begin{align} & {{K}_{1}}=\{{{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{v}_{j}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-{{{\bar{v}}}_{i,\text{max}}}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}{{\}}^{-1}} \\ \end{align}$

(14)

因此，(U^*,I^*,F^*,λ^*)满足其必要条件。

为了证明充分性需要考虑在U=U^*、I=I^*和F=F^*处函数L的大小为nc×nc的Hessian矩阵。

$\eqalign{ & {\partial \over {\partial {u_{ab}}}}\left( {{{\partial L({U^*},{I^*},{F^*},{\lambda ^*})} \over {\partial {u_{ij}}}}} \right) = \cr & \left\{ {\matrix{ 0 \hfill & {a \ne i{\rm{或}}b \ne j} \hfill \cr \matrix{ 2w_1^2m(m - 1){({w_1}u_{ij}^*)^{m - 2}} \times \hfill \cr \left[ {1 - K({x_i},{v_j})} \right] \hfill \cr} \hfill & {a = i{\rm{且}}b = j} \hfill \cr } } \right. \cr} $

(15)

$\eqalign{ & {\partial \over {\partial {I_k}}}\left( {{{\partial L({U^*},{I^*},{F^*},{\lambda ^*})} \over {\partial {I_i}}}} \right) = \cr & \left\{ {\matrix{ 0 \hfill & {k \ne i} \hfill \cr \matrix{ 2w_2^2m(m - 1){({w_2}I_i^*)^{m - 2}} \times \hfill \cr [1 - K({x_i},{{\bar v}_{i,\max }})] \hfill \cr} \hfill & {k = i} \hfill \cr } } \right. \cr} $

(16)

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial {{F}_{k}}}\left( \frac{\partial L({{U}^{*}},{{I}^{*}},{{F}^{*}},{{\lambda }^{*}})}{\partial {{F}_{i}}} \right)= \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0 & k\ne i \\ {{\delta }^{2}}m(m-1)w_{3}^{2}{{({{w}_{3}}F_{i}^{*})}^{m-2}} & k=i \\ \end{array} \right. \\ \end{align}$

(17)

因此，上述3个海森矩阵是对角线元素大于0且非对角线元素为0的对称正定矩阵。于是U^*、I^*、F^*分别是L的严格局部极小点。

给定聚类模糊划分$\{{{x}_{i}},i=1,\ldots ,l\},{{x}_{i}}\in {{\operatorname{R}}^{d}}$矩阵U，I和F的条件下，构造聚类中心V的目标函数

$\begin{align} & L(V)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}}}||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{v}_{j}})|{{|}^{2}}+ \\ & \sum\limits_{i=1}^{c}{{{\left( {{w}_{2}}{{I}_{i}} \right)}^{m}}}||\phi ({{x}_{i}})-\phi ({{{\bar{v}}}_{i,\max }})|{{|}^{2}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }^{2}}}{{({{w}_{3}}{{F}_{i}})}^{m}} \\ \end{align}$

(18)

若V^*是L的极小点，则有$\frac{\partial L({{V}^{\text{*}}})}{\partial {{v}_{j}}}=0$

$v_{j}^{*}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{u}_{ij}})}^{m}}[{{x}_{i}}\exp (\frac{-||{{x}_{i}}-v_{j}^{*}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{c}{{{({{u}_{ij}})}^{m}}[\exp (\frac{-||{{x}_{i}}-v_{j}^{*}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}}}$

(19)

V^*满足必要条件。但实际迭代计算使用了聚类中心V的局部邻域$\varphi (V)=\{{{V}^{\text{+}}}|0＜||V-{{V}^{+}}|{{|}_{2}}＜\delta \}$中的${{V}^{+}}\text{=(}v_{1}^{+},v_{2}^{+},\cdots ,v_{c}^{+})$进行计算，即

$v_{j}^{*}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{u}_{ij}})}^{m}}{{x}_{i}}\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-v_{j}^{+}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{u}_{ij}})}^{m}}\exp (-\frac{||{{x}_{i}}-v_{j}^{+}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})}}$

(20)

于是$\frac{\partial L(V)}{\partial {{v}_{j}}}=-2\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}}K({{x}_{i}},v_{j}^{+})({{x}_{i}}-{{v}_{j}})$。

为了证明充分性，需要考虑在V=V^*处函数L的大小为c×c的Hessian矩阵为

$\frac{\partial }{\partial {{v}_{l}}}\left( \frac{\partial L({{V}^{*}})}{\partial {{v}_{j}}} \right)=\left\{ \begin{align} & 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~l\ne j \\ & 2\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{w}_{1}}{{u}_{ij}})}^{m}}K({{x}_{i}},v_{j}^{+})~~~~~~l=j} \\ \end{align} \right.$

(21)

该海森矩阵显然是正定的。因此，V^*是L的严格局部极小点。综上所述，本文算法是收敛的。

将上述本文算法应用于灰度图像分割，若图像大小为M×N，任意位置(x,y)处像素值为g(x,y)(0≤g(x,y)≤255)。对其像素进行本文算法实现图像分割所对应算法时间复杂度为O(MNc)。不同位置像素值直接聚类分割耗时。为此，本文提出核空间中智模糊聚类分割算法。。

若大小为M×N的灰度图像G，其不同像素值的1维灰度直方图为h(l)(l=0,1,…,L－1)(L为不同灰度级总数)，核空间中智模糊聚类分割算法步骤如下：

1) 大小M×N的灰度图像G，其1维直方图为$h(l)=\frac{1}{MN}\sum\limits_{x=1}^{M}{\sum\limits_{y=1}^{N}{\delta (g(x,y)-l)}},l=0,1,\cdots ,L-1$

2) 本文算法分割图像区域数c，采用爬山法选取初始化聚类中心v_j⁽⁰⁾(j=1,2,…,c)，设置算法迭代收敛控制误差项e=0.000 1，迭代次数t=0。

3) 根据灰度图像的统计信息确定核空间中智模糊聚类中核函数参数

$\sigma _{2}^{2}=\beta \cdot \sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l){{\left( |l-\bar{G}|-{{\delta }_{G}} \right)}^{2}}},\beta >0$

其中，$\bar{G}=\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)l,}{{\delta }_{G}}=\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)|l-\bar{G}|}$。

4) 根据v_j^(t)(j=1,2,…,c)，采用FCM算法所对应的隶属度和聚类中心表达式

$u_{lj}^{(t)}=\frac{1}{{{\sum\limits_{k=1}^{c}{\left( \frac{||l-v_{j}^{(t)}|{{|}^{2}}}{||l-v_{k}^{(t)}|{{|}^{2}}} \right)}}^{\frac{1}{m-1}}}\ }$

(22)

$v_{j}^{(t+1)}=\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)(u_{li}^{(t)}}{{)}^{m}}l}{\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)(u_{li}^{(t)}}{{)}^{m}}}$

(23)

t=t+1直至迭代满足$\underset{1\le j\le c}{\mathop{\max }}\,\left\{ ||v_{j}^{(t+1)}-v_{j}^{(t)}|{{|}^{2}} \right\}\le e$所得聚类中心v_j^(t)(j=1,2,…,c)才作为核空间中智模糊C-均值聚类的初始化聚类中心。

5) 根据本文算法首先计算

$\begin{align} & K_{1}^{(t)}(l,j)=\{{{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||l-v_{j}^{(t)}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}{{[2-2\exp (-\frac{||l-\bar{v}_{i,\max }^{(t)}|{{|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}})]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}+ \\ & {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}{{\}}^{-1}} \\ \end{align}$

(24)

其次，计算3个隶属度为

$u_{lj}^{(t)}=2K_{1}^{(t)}(l,j){{(\frac{1}{{{w}_{1}}})}^{\frac{m}{m-1}}}[1-K(l,v_{j}^{(t)})){{]}^{-\frac{1}{m-1}}}$

(25)

$I_{l}^{(t)}=2K_{1}^{(t)}(l,j){{(\frac{1}{{{w}_{2}}})}^{\frac{m}{m-1}}}[1-K(l,\bar{v}_{l,\max }^{(t)})){{]}^{^{-\frac{1}{m-1}}}}$

(26)

$F_{l}^{(t)}=K_{1}^{(t)}(l,j)\cdot {{(\frac{1}{{{w}_{3}}})}^{\frac{m}{m-1}}}\cdot {{\delta }^{-\frac{2}{m-1}}}$

(27)

6) 本文算法所对应的聚类中心为

$v_{j}^{(t+1)}=\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)(u_{lj}^{(t)}}{{)}^{m}}K(l,v_{j}^{(t)})l}{\sum\limits_{l=0}^{L-1}{h(l)(u_{lj}^{(t)}}{{)}^{m}}K(l,v_{j}^{(t)})}$

(28)

7) 迭代次数增1，即t=t+1。若满足$\underset{1\le j\le c}{\mathop{\max }}\,\left\{ ||v_{j}^{(t+1)}-v_{j}^{(t)}|{{|}^{2}} \right\}\le e$，则停止核空间中智模糊C-均值聚类；否则，转步骤5）执行。

8) 根据本文算法所对应的灰度级聚类隶属度u_lj再转化为图像平面所对应的隶属度张量为U^*=(u_x,y,j^*)_M×N×C其中，u_x,y,j^*=u_g(x,y),j再对其隶属度进行均值(或中值)滤波处理为U^r=(u_x,y,j^r)_M×N×C,以便进一步改善该聚类分割算法的抗噪性。其中，$u_{x,y,j}^{r}=\frac{1}{|N(x,y)|}\sum\limits_{({{x}_{1}},{{y}_{1}})\in N(x,y)}{{{u}_{{{x}_{1}},{{y}_{1}},j}}}$。N(x,y)表示像素位置(x,y)所对应邻域，$|N(x,y)|$表示邻域大小。

9) 利用u_x,y,j^r按照最大隶属度原则进行像素值分类${{j}^{*}}(g(x,y))=\arg \underset{1\le j\le c}{\mathop{\max }}\,\left\{ u_{x,y,j}^{r} \right\},x=1,2,\cdots ,M;j=1,2,\cdots ,N$。

10) 输出分割图像G′为G′={g′_x,y}其中$g_{x,y}^{'}={{p}_{{{j}^{*}}(g(x,y))}}$，${{p}_{j}}\in \{0,1,\cdots ,255\}(j=1,2,\cdots ,c)$

为验证本文图像分割算法的有效性，文中对大量图像采用FCM、KFCM、NCM和本文算法进行图像分割测试并比较不同类型噪声干扰图像进行分割所具有的抗噪能力。

采用峰值信噪比(PSNR)进行噪声强弱质量的评价依据。PSNR常刻画不同图像间质量好坏的重要依据，影响图像质量的因素如噪声、边缘模糊等，将其作为去噪、压缩等性能评价指标。本文首次将其用于评价图像分割算法的抗噪性能。其表达式为

$PSNR=10\times {{\log }_{10}}(\frac{MAX_{I}^{2}}{MSE})=20\times {{\log }_{10}}(\frac{MA{{X}_{I}}}{\sqrt{MSE}})$

式中，MAX通常表示图像的最大灰度级，一般为255。$MSE=\frac{1}{mn}\sum\limits_{i=0}^{m-1}{\sum\limits_{j=0}^{n-1}{||I(i,j)-K(i,j)|{{|}^{2}}}}$，未加噪声图像标准分割结果与加噪图像采用某算法分割结果间的均方误差。用于刻画分割算法的抗噪鲁棒性。模糊C-均值聚类及其改进系列算法的聚类数可人为选取，也可由聚类有效性函数自动确定。文中实验中由于已知数据样本的分类数和图像分割区域数，可预先设置聚类或分割区域数。鉴于篇幅有限，仅给出典型图像的测试结果并对其适当分析。实验中3个加权因子为w₁=0.8,w=0.1和w₃=0.1。图 1为部分测试灰度图像。图 2灰度合成图及所对应直方图。

从图 2所示看出，直方图 1中的背景与目标子直方图呈正态分布且存在一定交叉，背景所占图像比例大于目标所占比例。直方图 2中的背景与目标子直方图交叉非常严重且并非正态分布。直方图 3中背景、目标1和目标2各自子方图呈正态分布，三者间交叉较为严重。这3类典型图像利用FCM、KFCM分割误分率较高且抗噪能力差，存在明显属于背景的像素错分为目标信息，导致目标提取错误。于是利用NCM一定程度地降低分割结果中的噪声，但目标提取仍难以不令人满意。为此，利用本文算法对噪声干扰图像分割，有效地抑制噪声且分割结果的误分率相对较低。

实验测试包括3部分，第1部分是未加噪声干扰图像的分割测试与分析；第2部分是分割算法隶属度都未进行滤波处理的噪声干扰图像分割测试与分析；第3部分是分割算法隶属度都进行滤波处理的噪声干扰图像分割测试与分析，以便全面、准确地评价不同算法的抗噪鲁棒性。

为了验证本文算法的有效性，对CT图、钟表图及标准遥感图像进行不同模糊聚类算法(聚类隶属度未滤波处理)分割测试，所得结果如图 3所示。

对比图 3所示的不同算法分割结果，其子图 3(b)(d)均可将目标从背景中有效提取，表明KFCM与本文算法性能相当，好于FCM和NCM的分割效果。因此，将NCM推广至核空间，对改善NCM聚类性能具有一定理论和应用价值意义。

利用FCM、KFCM、NCM和本文算法对噪声干扰图像灰度级进行聚类，所得隶属度不经滤波处理而直接按照最大隶属度分类准则实现图像分割，其中测试了不同类型噪声干扰的灰度图像。

将CT图分别添加强度为25%、30%和35%的椒盐噪声进行分割测试，结果如图 4和表 1所示。

从图 4所示FCM、KFCM、NCM和本文算法的抗噪能力逐步递增，本文算法所获得的目标最为准确且误分现象最少。从表 1所示的峰值信噪比值来看，FCM、KFCM、NCM和本文算法所得峰值信噪比值逐渐增大。表明本文算法相比其他4种算法更适合椒盐噪声干扰图像分割的需要。

将汉字图添加均方差为(0,56) 、(0,78) 和(25,78) 高斯噪声进行分割测试，其结果如图 5和表 2所示。

从图 5所示的分割结果来看，FCM、KFCM、NCM和本文算法所获得分割结果中噪声逐步减少，本文算法获得的目标最为准确且误分现象最少，表明本文建议的算法是有效的。从表 2所示的高斯噪声干扰图像分割结果与未加噪声图像分割结果之间的峰值信噪比值来看，FCM算法、KFCM算法、NCM算法和本文算法所得峰值信噪比值也逐步增大。测试结果表明本文算法相比FCM、KFCM和NCM更适合高斯噪声干扰图像分割的需要。

为测试不同算法抗噪声的能力，将block图添加高斯噪声(其均值为0且均方差为68) 和不同强度椒盐噪声(其噪声强度分别10%、20%和25%)所得图像进行分割测试，所得结果如图 6和表 3所示。

将遥感图像添加高斯噪声(均值为0均方差44) 和椒盐噪声(其噪声强度10%、20%和30%)所得图像进行分割测试，所得结果如图 7和表 4所示。

从表 4所示的高斯噪声干扰图像分割结果与未加噪声图像分割结果之间的峰值信噪比值来看，FCM算法、KFCM算法、NCM算法和本文算法所得峰值信噪比值也逐步增大。测试结果表明本文算法相比FCM、KFCM和NCM更适合高斯和椒盐混合噪声干扰图像分割的需要。

从图 7所示的分割结果来看，FCM、KFCM、NCM和本文算法所获得分割结果中噪声逐步减少，特别是本文算法获得的目标最为准确且误分现象最少，表明本文建议的算法是有效的。

鉴于文献^[18]提出的NCM算法对其聚类隶属度加入了中值或均值滤波，本文将对FCM算法、KFCM算法、NCM算法和本文算法均对噪声干扰图像聚类所得隶属度先滤波再按最大隶属度准则实现图像分割。

将脑组织切片图和舰船图添加强度分别为30%、40%和50%的椒盐噪声所得图像进行分割测试，其结果如图 8和表 5所示

综合表 5所示的分割图像噪声强弱性能评价指标来看，FCM、FCM、NCM和本文算法的PSNR比值呈递增趋势，表明本文算法具有良好的抗椒盐噪声能力。从图 8所示的分割结果来看，FCM算法、KFCM算法和NCM算法未能将目标从背景中完整提取且分割结果仍含有大量噪声。本文算法可获得清晰目标，甚至目标边缘轮廓完整。

为了测试不同算法抗高斯噪声干扰的能力，将大脑图和女孩图添加不同高斯噪声(均值和均方差(0,50) 、(0,75) 和(25,80) )进行分割测试，结果如表 6和图 9所示。

将CT切片图添加高斯噪声(均值为0且均方差为50)和不同强度椒盐噪声(噪声强度分别10%、20%和25%)所得图像进行分割测试，其结果如表 7和图 8所示。

从表 7所示的分割结果含噪声强弱所对应峰值信噪比值来看，本文算法分割结果评价最好，表明本文算法在抑制高斯和椒盐混合噪声能力相对更强。从图 10所示的CT图分割结果来看，4种分割算法均可准确提出病变组织，但本文算法提出目标所含噪声最少。

将齿轮图添加均值0方差为50、68和80均匀分布乘性噪声进行分割测试，其结果如表 8和图 11所示。

从表 8所示的分割结果评价指标值来看，FCM、KFCM、NCM到本文算法所对应的性能指标值呈递增趋势，表明本文算法具有良好的抗乘性噪声能力。从如图 11所示的分割结果来看，4种算法都无法完整检测出齿轮目标，但本文算法检测目标轮廓相对较多，而目标所含噪声相对较少，这表明本文算法在获取目标轮廓方面表现出良好的性能。

针对现有中智模糊聚类方法，利用再生希尔伯特核函数将其修改并获得核空间中智模糊聚类算法。通过对无噪声干扰图像，以及不同类型和强度的噪声干扰图像分割测试和比较，本文算法相比FCM、KFCM具有良好的抗噪鲁棒性。在今后的工作中，将邻域信息加入到核空间中智模糊聚类算法进行图像处理。