边缘是图像中不同区域之间的边界，蕴含了视觉感知目标丰富的内在信息，是图像理解与场景感知的基础。边缘提取是图像处理领域中研究最广泛最重要的课题之一，在图像分割、模式分析及基于轮廓的目标识别等更高层次视觉感知处理中起着重要的作用^[1]。已有许多学者针对所处理图像的特点提出大量的边缘检测算法，而在处理具有分形结构或弱纹理等复杂纹理结构的图像时，如何准确定位边缘的位置及提取到有效的纹理细节信息仍是一项极具挑战性的任务^[2]。

分数阶微积分是整数阶微积分的一个扩展，它在17世纪提出，并在19世纪得到了迅速的发展^[3]。最著名的有Riemann-Liouville (R-L)定义^[4]、Grünwald-Letnikov (G-L)定义^[5]以及Caputo定义^[6]。其中Caputo、R-L都是对G-L的改进，在一定条件下，3种微积分可以相互转换。分数阶微积分既能提升信号的高频部分，又能在一定程度上非线性地加强信号的中频部分，并非线性地保留信号的低频部分，因此分数阶微积分理论在图像处理领域引起了学者关注的，学者们并将其应用到图像增强、图像去噪、边缘检测和图像分割。如Mathieu等人^[7]提出了一种基于分数阶微分的CRONE算子，指出当其阶次介于1 2之间时，有利于边缘提取，当阶次介于-1到1时，有利于提高其抗噪性；文献[8-9]从8个方向构造了分数阶微分掩模及其数值运算规则，实验证明在处理灰度变化缓慢区域中的纹理细节时，其效果优于整数阶微分运算；文献[9]通过运用此8个方向的模板来对图像进行处理，同时也得出该模板的优点是在处理一些不是特别明显的纹理细节方面效果比较好，但是该分数阶微分模板没有很好地考虑到模板内邻近像素点之间的相关性；Pu等人^[10]提出一种基于分数阶微分的多尺度纹理图像分割方法；Zhang等人^[11]定义了一种新的分数阶有界变分函数空间，并提出一种分数阶变分模型及应用于图像去噪的交互式投影算法，实验证明该去噪算法可以提高峰值信噪比，并且能还原纹理细节以及消除阶梯效应；王卫星等人^[12]将分数阶微分Tiansi算子拆分为8个方向并进行分组，得到了3种改进方法，实验证明能提取到更多的纹理细节；何春等人^[13]将分数阶微分和分数阶积分组合成复合导数，并在此基础上提出一种新的边缘检测算子，实验证明该算子具有更好的边缘定位精度和抗噪性；Dali等人^[14]提出一种基于R-L分数阶微分的边缘检测算法，文献[15]介绍了1维的分数阶savitzkyc-golay差分算子并且拓展到2维定义，并且基于2维的分数阶savitzkyc-golay差分算子提出一种图像增强算法及其自适应的参数选取算法，文献[16]提出了一种分数阶全变分去噪模型，该算法具有更好的去噪效果且可避免块状效应；谢永芳等人^[17]提出了一种分数阶Sobel算子，该算法拟补了Sobel算子在处理纹理图像上的不足，且具有较好的抗噪性能；陈青等人^[2]结合拉格朗日多项式差值和G-L定义提出了一种基于分数阶微分的边缘检测算法，其边界拐点的检测结果明显优于整数阶微分的边缘检测方法。

在基于像素梯度的边缘检测算法中，经典的边缘检测算子有Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、LoG算子及Canny算子，这些经典的算子都是基于整数1阶和整数2阶的算子，其中Canny算子被证明是基于像素梯度边缘检测算法中最有效的方法^[18]。但是在图像的纹理细节和弱边缘区域，图像灰度比较均匀，在该区域整数阶灰度梯度趋于零，导致纹理细节大幅线性衰减，造成图像的轮廓，纹理细节模糊不清。

本文主要是针对纹理图像和弱边缘图像进行研究，因为自然图像往往包含若干纹理信息，且该信息通常是人们描述和区分不同物体的重要特征。由于图像相邻像素之间有高度的相似性，并以复杂的纹理细节信息作为其表现形式，对图像的灰度均匀区域进行分数阶处理，分数阶微分值由对应奇异跳变处的极大值渐趋于零，其纹理细节在一定程度上得到非线性保留。基于此，将分数阶微积分应用到Canny算子中，以更好地提取图像中的纹理信息和弱边缘。本文的主要工作如下：

1)将G-L分数阶微分引入到Canny边缘检测算子中，不但可以增强图像的细节信息, 而且可以增强灰度均匀和弱纹理区域的梯度信息, 故能更有效地提取图像中的纹理细节和弱边缘。从而提高边缘检测的精度和稳定性，该方法是Canny算子应用的一个重要延伸。

2)设计了一种新的基于G-L定义的分数阶微分掩模，与现有的分数阶模板相比，新设计的模板在构造分数阶微分算子的表达式时加入了符号系数，利用模板中元素到模板中心的距离作为权值对分数阶偏微分算子进行修正，故去噪能力得到加强，同时在分数阶阶次的选取上更灵活(阶次可取正数和负数)，具有差分方向可调性，其应用范围更广。

3)分析了阶次变化时其分数阶微分掩模中的系数变化，通过实验给出了边缘检测精度与模板参数(阶次和模板宽度)之间的关系，从而为模板最佳参数的选取提供了依据，减少了最佳参数选取的盲目性。

常用的分数阶微积分算子有3种, 分别为G-L、R-L和Caputo。分数阶微积分Caputo定义适用于分数阶微分方程的初边值的分析，因而多应用在工程领域。而分数阶微积分的R-L定义和G-L定义在数值运算时都可以转化为卷积运算形式，故适合应用在图像处理领域。但G-L定义在计算时较R-L定义更加准确^[18]，因此本文从G-L定义出发，对Canny算子进行改进，用于对包含复杂纹理和弱边缘图像的边缘检测。

对∀α∈R，令其整数部分为[α]，若信号s(t)在区间[a, t](a < t, a∈ R , t∈ R )存在m+1(m∈Z)阶连续导数，当α>0时，m至少取[α]，则分数阶(α阶)导数的G-L定义为

$\begin{matrix} _{a}^{G}D_{t}^{\alpha }=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,s_{h}^{\left( \alpha \right)}\left( t \right)= \\ \underset{\begin{smallmatrix} h\to 0 \\ nh=t-a \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{h}^{-\alpha }}\sum\limits_{r=0}^{n-1}{\left[ \begin{matrix} -\alpha \\ r \\ \end{matrix} \right]s\left( t-rh \right)} \\ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{{{\left( \frac{t-a}{h} \right)}^{-\alpha }}}{\Gamma \left( -\alpha \right)}\sum\limits_{r=0}^{n-1}{\frac{\Gamma \left( -\alpha +r \right)}{\Gamma \left( \alpha +1 \right)}}s\left( t-\frac{r\left( t-a \right)}{n} \right) \right\} \\ \end{matrix}$

(1)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-\alpha }\\ r \end{array}} \right]=\frac{{\left({-\alpha } \right)\left({-\alpha + 1} \right) \cdots \left({-\alpha + r + 1} \right)}}{{r!}}$

根据式(1)，若一元信号s(t)的持续周期为t∈[a, t]，将信号持续期[a, t]按单位等分间隔h=1进行等分，则式(1)中n=(t-a)/h=t-a，那么可以推导出一元信号s(t)分数阶微分的差值表达式为

$\begin{array}{l} \frac{{{d^\alpha }s\left(t \right)}}{{d{t^\alpha }}} \approx s\left(t \right) + \left({-\alpha } \right)s\left({t-1} \right) + \\ \frac{{\left({-\alpha } \right)\left({-\alpha + 1} \right)}}{2}s\left({t-2} \right) + \cdots + \\ \frac{{\Gamma \left({-\alpha + n-1} \right)}}{{\left({n-1} \right)!\Gamma \left({-\alpha } \right)}}s\left({t-n + 1} \right) \end{array}$

(2)

在处理数字图像时，其灰度变化发生的最短距离是在两相邻像素之间，因此2维数字图像在x和y轴方向上的持续时间只能以像素为单位进行度量，f(x, y)的最小等分间隔只能是h=1。首先定义f(x, y)在x和y轴方向上分数阶偏微分的前n项差分近似表达式，并取前n项的和分别作为f(x, y)在x和y轴方向上分数阶偏微分的近似值，即

$\begin{array}{l} \frac{{{\partial ^\alpha }f\left({x, y} \right)}}{{\partial {x^\alpha }}} \approx f\left({x, y} \right) + \left({-\alpha } \right)f\left({x-1, y} \right) + \\ \frac{{\left({-\alpha } \right)\left({-\alpha + 1} \right)}}{2}f\left({x-2, y} \right) + \cdots + \\ \frac{{\Gamma \left({-\alpha + n} \right)}}{{\Gamma \left({n + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}}f\left({x-n-1, y} \right) \end{array}$

(3)

以及

$\begin{array}{l} \frac{{{\partial ^\alpha }f\left({x, y} \right)}}{{\partial {y^\alpha }}} \approx f\left({x, y} \right) + \left({-\alpha } \right)f\left({x, y-1} \right) + \\ \frac{{\left({-\alpha } \right)\left({-\alpha + 1} \right)}}{2}f\left({x-2, y} \right) + \cdots + \\ \frac{{\Gamma \left({-\alpha + n} \right)}}{{\Gamma \left({n + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}}f\left({x, y-n-1} \right) \end{array}$

(4)

以卷积的形式对式(3)(4)式进行表示，即得到

$\frac{{{\partial ^\alpha }f\left({x, y} \right)}}{{\partial {x^\alpha }}}=\frac{{\Gamma \left({-\alpha + n} \right)}}{{\Gamma \left({n + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}} * {f_x}\left({x, y} \right)$

(5)

以及

$\frac{{{\partial ^\alpha }f\left({x, y} \right)}}{{\partial {y^\alpha }}}=\frac{{\Gamma \left({-\alpha + n} \right)}}{{\Gamma \left({n + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}} * {f_y}\left({x, y} \right)$

(6)

因此，得到了分数阶微分掩模的表达式为

$H=\frac{{\Gamma \left({-\alpha + n} \right)}}{{\Gamma \left({n + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}}$

(7)

式(7)是传统的微分掩模，由模板的宽度以及阶次决定。此外，为了使该掩模在具有较好抗噪性能的同时保护边缘不被模糊，基于以下理论：即因为随着模板宽度的增大，模板的抗噪性增强，但边缘检测的精度同时也下降。这是因为随着模板宽度M的加大，通常会加大图像平滑的效果，即平滑了图像的部分高频成分(包括图像噪声和边缘)。所以利用模板中元素到模板中心的距离作为权值对式(7)进行修正，起到中心加权的作用，而且认为距离模板中心越近，权值取得越大，影响就越大，可以平滑图像抑制噪声的同时保护边缘信息。同时因为一些图像更适合使用前向差分方式，而有些图像则适合用后向差分方式，为了是使模板具有差分方向可调性，在构造分数阶微分算子的表达式时加入了符号系数(x_M/|x_M|)，由此得到图像x和y方向上各自的分数阶偏微分算子

$\begin{array}{l} {H_x}\left({{x_M}, {y_M}, \alpha } \right)=\frac{{{x_M}}}{{\left| {{x_M}} \right|}} \cdot \frac{{\Gamma \left({-\alpha + \left| {{x_M}} \right|} \right)}}{{\Gamma \left({\left| {{x_M}} \right| + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}} \cdot \\ \; \;\; \frac{1}{{\sqrt {{{\left({{x_M} + 1} \right)}^2} + {{\left({{y_M} + 1} \right)}^2}} }}\\ {H_y}\left({{x_M}, {y_M}, \alpha } \right)=\frac{{{y_M}}}{{\left| {{y_M}} \right|}} \cdot \frac{{\Gamma \left({-\alpha + \left| {{y_M}} \right|} \right)}}{{\Gamma \left({\left| {{y_M}} \right| + 1} \right)\Gamma \left({-\alpha } \right)}} \cdot \\ \; \;\; \frac{1}{{\sqrt {{{\left({{x_M} + 1} \right)}^2} + {{\left({{y_M} + 1} \right)}^2}} }} \end{array}$

(8)

式中，x_M={-M, -M+1, …, 0, …, M-1, M}，y_M={-M, -M+1, …, 0, …, M-1, M}，H_x(0, y_M, α)=0，H_y(x_M, 0, α)=0，H_x(x_M, y_M, α)以及H_y(x_M, y_M, α)的维数均为(2M+1)×(2M+1)，即该分数阶微分算子由模板宽度M以及阶次α控制，例如，α=0.5，M=2时，x和y方向的模板分别为

$\begin{array}{l} \left({\begin{array}{*{20}{c}} {0.0295}&{0.1387}&{0.3162}&{0.1387}&{0.0295}\\ {0.0347}&{0.1768}&{0.4472}&{0.1768}&{0.0347}\\ 0&0&0&0&0\\ {-0.0347}&{-0.1768}&{-0.4472}&{-0.1768}&{-0.0347}\\ {-0.0295}&{-0.1387}&{-0.3162}&{-0.1387}&{-0.0295} \end{array}} \right)\\ \left({\begin{array}{*{20}{c}} {0.0295}&{0.0347}&0&{-0.0347}&{-0.0295}\\ {0.1387}&{0.1768}&0&{-0.1768}&{-0.1387}\\ {0.3162}&{0.4472}&0&{-0.4472}&{-0.3162}\\ {0.1387}&{0.1768}&0&{-0.1768}&{-0.1387}\\ {0.0295}&{0.0347}&0&{-0.0347}&{-0.0295} \end{array}} \right) \end{array}$

至此，得到了本文算法中的分数阶微分掩模。

Canny提出了一个好的边缘提取算法应该满足3个准则：第一是低错误率，即检测到的边缘应当尽可能是真实存在的边缘；第二是边缘点的定位要准确，即检测到的边缘点与实际图像中边缘点的距离应当尽可能小；第三是单一的边缘点响应，即对真实的边缘点，检测算子所返回的也应当只有一个，最终提取的边缘应尽可能细。Canny算子正是为了满足这3个准则而提出的。然而Canny算子的基本思想是寻找图像中灰度急剧变化的点，在图像的纹理细节和弱边缘区域，图像灰度变化较小，此时整数阶灰度梯度必然很小，甚至趋于零，从而导致纹理细节大幅线性衰减，造成图像的轮廓，纹理细节模糊不清。针对该问题，将G-L分数阶微分引入到Canny算子中，提出一种新的基于分数阶微分的Canny边缘检测算法，具体步骤如下：

1)用G-L分数阶微分计算图像的梯度幅值N(x, y)和角度φ(x, y)，即

$N\left({x, y} \right)=\sqrt {{{\left({D_x^\alpha f\left({x, y} \right)} \right)}^2} + {{\left({D_y^\alpha f\left({x, y} \right)} \right)}^2}} $

(9)

$\varphi \left({x, y} \right)={\tan ^{-1}}\left({\frac{{D_y^\alpha f\left({x, y} \right)}}{{D_y^\alpha f\left({x, y} \right)}}} \right)$

(10)

式中，D_x^αf(x, y)和D_y^αf(x, y)是利用式(8)的微分掩模与原图像卷积得到的；

2)寻找最接近φ(x, y)的边缘方向d_k，对于任意像素，通过该像素的边缘方向定义为4个方向0°、45°、90°以及135°；

3)确定边缘方向后，进行非最大值抑制，如果N(x, y)的值至少小于沿d_k的两个邻居之一，则令g_N(x, y)=0(抑制)，否则，令g_N(x, y)=N(x, y)，这里g_N(x, y)是非最大抑制后的图像；

4)对步骤3)中的结果进行阈值处理，为减少伪边缘，采用双阈值T₁和T₂(T₁ &#60; T₂)，然后进行边缘分析并连接，具体操作可参照文献[19]中Canny算子的处理方法。

根据边缘检测算法应当满足的3个准则，设定两个评价标准对微分掩模参数的定量分析以及后面的对比实验评价和鲁棒性评价。

第一个评价标准是错误率(μ_FR)，包括漏检率(μ_FRR)和误检率(μ_FAR)，其定义分别为

${\mu _{{\rm{FRR}}}}=\frac{{\psi \left({\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A} \cap \boldsymbol{B}} \right)}}{{\psi \left(\boldsymbol{A} \right)}}$

(11)

${\mu _{{\rm{FAR}}}}=\frac{{\psi \left({\boldsymbol{\bar A} \cap \boldsymbol{B}} \right)}}{{\psi \left(\boldsymbol{B} \right)}}$

(12)

式中， A 是理想的边缘像素集合， B 检测到的边缘像素集合，Ψ(X)代表集合 X 中的元素个数。从而可以看出，μ_FRR是漏检的边缘像素集合与真实(理想)的边缘像素集合的比值，μ_FAR是检测到的错误边缘像素集合与检测到的总边缘像素集合的比值。因此，μ_FRR和μ_FAR的值越小，则说明边缘检测的精度越高，评价标准错误率定义为

${\mu _{{\rm{FR}}}} = {\mu _{{\rm{FRR}}}} + {\mu _{{\rm{FAB}}}}$

(13)

评价标准单像素检测率定义为

${\mu _{{\rm{SPD}}}} = \frac{{\psi \left( {\Phi \left( \boldsymbol{B} \right)} \right)}}{{\psi \left( \boldsymbol{B} \right)}}$

(14)

式中，Φ代表典型基于形态学的细化操作算子，则式(14)代表单像素响应边缘的比重，其值越高，则说明检测出来的边缘越细。一般地，当其值超过0.999，则可以认为该算法满足单像素响应准则。

利用上面提出的评价标准来分析掩模的参数α(阶次)和M(模板宽度)对边缘检测效果的影响。通过人工合成两幅与文献[14]类似的线性图像和非线性图像，如图 1(a)和图 2(a)所示，进行实验来分析不同参数下边缘提取结果的错误率，即漏检率和误检率之和。

图 1(a)为1幅多尺度线性图像，图 1(b)为μ_FR-α曲线，首先考察α值变化对μ_FR-α曲线的影响，并暂固定M=1，α的取值范围设定为-1到1。图 1(c)为μ_FR-M曲线，根据图 1(b)的μ_FR-α曲线得到的关于该幅图像的最优α值，取α=0.6，M的取值范围设定为1到5。

同理，图 2(a)为1幅非线性图像，图 2(b)为μ_FR-α曲线，同样暂且设定M取值为1，α的取值范围设定为-1到1。图 2(c)为μ_FR-M曲线，根据图 2(b)的μ_FR-α曲线，取α=0.4，M的取值范围设定为1到5。由图 1(b)和图 2(b)可以看出，随着α的增大，边缘检测的精度上升，而当α达到某一个值(曲线的最低点)时，检测精度达到最高，即得到关于α的最佳值，且对于不同的图像，所选取的最优参数α是不同的。此外，可以看到，关于α的取值可以取到负值，而知道G-L分数阶微积分定义中，当α取负值时，其代表积分运算，从本文设计的分数阶微分算子中分析造成该现象的原因。由式(8)可见，本文在构造分数阶微分算子的表达式时加入了符号系数(x_M/|x_M|)，因此无论G-L定义表达式的阶次取正或负，最终得到的模板必然是一个差分模板。这样就摆脱了经典G-L定义中阶次的限制，拓宽了分数阶微分运算时阶次的选取范围(可以取正数也可以取负数)

此外，在实验中观察了阶次变化时其分数阶微分掩模中的系数变化，当α &#60; 0时，该掩模为后向差分运算，当0 &#60; α &#60; 1时，其为前向差分运算，当1 &#60; α &#60; 2时，又变为后向差分运算，如此反复变换其差分的方向，即当α>0时，阶次从α变为α+1，则其差分方向变为相反方向。在掩模与图像进行卷积的过程中，掩模是从左向右逐步滑过图像，若此时中心像素右侧像素的灰度值小于左侧像素的灰度值时，那么前向差分应该更适合计算该位置的梯度分布，若此时中心像素右侧像素的灰度值大于左侧像素的灰度值时，那么后向差分应该更适合计算该位置的梯度分布，换言之，有些图像更适合用前向差分方式，而有些则适合用后向差分方式。而本文所构造的分数阶微分掩模具有方向可调性，可以根据不同的需要调整其差分的方向。

由图 1(c)和图 2(c)可以看出，随着M的增大，边缘检测的精度下降，这是因为随着M的增大，模板的宽度加大，从而造成了过度平滑的效果，即平滑掉了部分高频成分。

综上可知，本文的分数阶微分掩模在进行阶次的选取时更具灵活性，因此其适用的范围更广。此外，μ_FR-α曲线和μ_FR-M曲线可以帮助我们进行选择最优的微分掩模参数。

图 3(a)是1幅纹理较丰富的图像，为了便于观察，截取了其右上角部分并放大如图 3(b)，图 3(c)—(h)为不同参数下的微分掩模提取到的边缘结果。其中图 3(c)—(e)为固定模板的宽度M，取不同的阶次α，图 3(f)—(h)为固定模板的阶次α，取不同的宽度M。显然，当α增大时，提取到的纹理细节逐渐增多，而当M增大时，提取到的细节则逐渐减少。除此之外，本文也选用了含噪声图像进行实验。图 4(a)为1幅米粒的图像，对它附加高斯随机噪声后见图 4(b)，图 4(c)—(h)为不同参数下的微分掩模提取到的边缘结果。显而易见，随着α值逐渐增大，抗噪性逐渐减弱；而随着M值逐渐增大，其抗噪性逐渐增强。

将本文提出的边缘提取算法与5种经典的边缘提取算法及文献[12-14]中的3种基于分数阶微积分的边缘检测算子进行对比分析。首先进行定性的实验对比，然后再从检测精度，检测效率和抗噪性3个方面进行定量实验和分析。

为验证本文算法的有效性，首先选取纹理丰富的建筑物图像，将本文算法与其他几种算法进行比较，为了不失公平性，在实验中对各算法的参数选取均调整为最佳值。图 5(a)为纹理较丰富的建筑物图像，截取图像右上角并放大进行实验比较，图 5(b)—(j)显示不同算法的提取效果。同时也选取图 4(b)的噪声图像并截取右上角进行局部放大的抗噪性对比，如图 6所示，图 6(a)为原图，图 6(b)—(j)为检测结果局部放大部分的对比结果图。由图 5和图 6可以看出，本文算法能提取到更精确的边缘细节，且抗噪性较其他几种方法好，与文献[14]的抗噪性相当，需要指出的是，抗噪性能和检测精度这二者是此消彼长的，因此在该抗噪性对比实验中，对二者进行权衡来调整各算法的参数，调整的原则是尽可能提取到完整准确的米粒边缘，即以提取到最好的边缘情况下的参数作为最佳参数进行实验来对比它们的抗噪性能。

图 7展示了分别利用8种不同的边缘提取算法对图 1(a)的多尺度线性图像进行边缘提取的对比结果。为了不失公平性，各种算法的参数均调整至最优参数，本文算法的最优参数由图 1分析得到，从图 7可以看出，本文算法提取到的边缘较其他8种算法都具有较好的效果。

另外，利用2.1节中提出的两个评价指标来比较本文算法与其他算法的检测精度，结果如图 8所示，该数据为经过50次实验并取平均值。从图 8(b)中可以看出，本文算法的检测精度远远高于相比较的各种算法。这是因为分数阶具有如下的特性：即在提升信号高频成分的同时，能非线性地增强图像的中频成分和保留信号的低频成分。图像中边缘和噪声对应着信号的高频成分，图像中的纹理和弱边缘对应着信号的中频成分，所以分数阶微分能在提取图像边缘的同时，更好地提取图像中的纹理细节和弱边缘。此外，从图 8(a)中还可以得出，本文算法的单像素检测率(μ_SPD)略小于Canny算法，但是比其他几种算法都要高，并且超过0.999，本文算法单像素率略低于Canny，这是因为Canny算法提取到的边缘在交叉处易出现中断现象，如图 7所示，这是导致其单像素检测率(μ_SPD)略高于本文算法的原因。故本文算法可以更准确地定位边缘的位置并提取到准确的边缘。

对Canny算法、文献[14]和本文的算法进行时间复杂度分析，由于文献[14]和本文的算法都是对Canny算子进行改进的，不同之处在于用不同的方式计算梯度图像和角度图像，因此主要分析在该步骤过程中3种计算方法的时间复杂度。若一幅图像的大小为P×Q，Canny算子采用高斯滤波与图像卷积，假设高斯滤波器的卷积半径为R，则其计算复杂度为O(P×Q×R²)；而文献[14]和本文的算法是利用分数阶微分模板在x和y方向上分别进行卷积，类似于分离滤波，假设分数阶微分模板的大小为(2M+1)×(2M+1)，则计算复杂度为O(P×Q×M)，由M远小于R²，所以O(P×Q×M)要比O(P×Q×R²)小，而这两种算法的卷积速度又依赖于其各自的模板特性。因此本文算法的效率较Canny算子有所提高，与文献[14]的比较则依赖于各自的分数阶微分掩模特性，具体的耗时对比实验如下：

利用图 1(a)和图 2(a)进行实验，将本文算法与检测精度较好的Canny算法以及文献[14]的算法进行对比。针对图 1(a)的对比实验，各算法的参数与检测精度对比实验所采用的参数一致(即各算法对于该幅图像的最优参数)，而针对图 2(a)的实验，同样首先调整参数以达到最好的检测效果，然后分别计算各算法在最优参数下的时间代价。两幅图像的时间代价计算均以100次重复实验得出结果的平均值作为对比数据。如表 1所示，本文算法的运算耗时低于另外两种算法。

将本文算法与其他算法的抗噪性能进行对比实验。首先对图 1(a)的多尺度线性图像附加不同信噪比的高斯随机噪声，同时将每种算法的参数都调整为最佳值，本文算法的最优参数为α=0.6，M=1，进行50次实验并取平均值。

实验结果如图 9所示，从图 9中可以观察到，随着信噪比的增大，所有算法的错误率都在逐渐减小，即随着噪声的增强，边缘提取的精度逐渐下降。同时，红色的实线在最下面，说明本文算法相比其他几种算法，在相同的信噪比值下，具有更好的鲁棒性。这是因为图像中的噪声对应着信号的高频成分，而分数阶微分对高频成分的提升程度低于整数阶，这使得分数阶的抗噪性能低于整数阶。

本文以分数阶微分理论为基础，设计了一种基于Grünwald-Letnikov定义的分数阶微分掩模，该掩模拓宽了分数阶微分运算时阶次的选取范围，使得微分掩模中的分数阶阶次可以取正数和负数，具有差分方向可调性，其应用范围更广。用该分数阶微分掩模计算图像的梯度，对经典的Canny算子进行改进，实验结果表明，该算法在提取图像的纹理细节和弱边缘上具有较好的优势。相比之下，本文算法提取图像细节特征的准确性较高，且对噪声具有较好的抑制能力，是一种有效的边缘提取算法。然而，本文算法是基于分数阶微分实现的，在对图像进行边缘提取时要经过多次实验才能确定其阶次α，这种手动试探性的实验过程必定影响其在实际应用中的效率。在未来的工作中，应该进一步寻求如何实现自适应选取阶次的方法，以提高检测的效率。