|
|
|
发布时间: 2016-06-25 |
图像处理和编码 |
|
|
|
陈鹏翔1, 杨晟院1,2 |
收稿日期: 2015-01-21; 修回日期: 2015-11-23
基金项目: 国家自然科学基金项目(11571293);湖南省十二五重点学科基金项目
第一作者简介: 陈鹏翔(1991-),男,湘潭大学信息工程学院计算机科学与技术专业在读硕士研究生,主要研究领域为图像处理。 E-mail:privatechen@163.com
中图法分类号: TP391.41
文献标识码: A
文章编号: 1006-8961(2016)06-683-08
|
摘要
目的 图像分割是图像处理领域的重要研究内容之一,且应用广泛。在基于PDE和变分法的图像分割方法中,大部分图像分割模型的能量泛函均为非凸性,较容易陷入局部极小解,因而分割结果往往不尽如人意,且运算时间较慢。为此,本文根据背景去除模型的思想结合区域拟合的方法,提出了一种区域拟合的背景去除图像分割模型。 方法 首先对背景去除模型进行改造;再结合区域拟合的方法对模型进行改进,并对改进模型进行凸优化处理;最后结合水平集和Split Bregman法对改进模型进行快速求解,获得全局最小值解。 结果 针对改进模型在分割效果、计算效率及初始化位置对实验结果的影响这3个方面了进行数值实验,相较于ICV(improved Chan-Vese)模型、LK(Li-Kim)模型及CV(Chan-Vese)模型,本文模型能得到更优的分割效果,且在分割效果相似的情况下,本文模型较RSF(region-scalable fitting)模型耗时更短,同时当实验初始化位置不同时,实验亦能取得良好的分割效果。 结论 在对于MRI(magnetic resonance imaging)图像以及合成图像等进行处理时,本文所给出的模型不仅能获得良好的分割效果,并且效率较高,而且从实验结果来看,本文模型具有一定的鲁棒性。
关键词
图像分割, 区域拟合, 凸优化, 全局最小解, 水平集, Split Bregman
Chen Pengxiang1, Yang Shengyuan1,2 Abstract
Objective Image segmentation is one of the most important research contents in the field of image processing and is widely used in real life. Most of the involved models that are based on PDE or calculus of variations are non-convex, so they are easy to get into local minimums, and most of these experiment results which we get are not satisfactory. Besides, the calculation time of these models is too slow to meet the actual demand. Therefore, according to the background removal model and the regional fitting method, we proposed a new image segmentation model in this article. Methods Firstly, following the principle of the background removal, we did some reforms to the original background removal model. With the application of region-scalable fitting method and Heaviside function we get a new region-scalable fitting background removal model. However, the improved model here is not a convex model, and cannot get the global minimum solution, so we make convex optimization to the improved model to get a convex model to solve this problem. Finally, by using the Split Bregman method and level set method, the global minimum solution of the model can be obtained. Results Comparing with ICV(improved Chan-Vese) model, LK(Li-Kim) model and CV(Chan-Vese) model, several numerical experiment results show that the proposed model in this article has a better performance on image segmentation. Meanwhile, the experiment also demonstrates that the proposed model in this article is more efficient than RSF(region-scalable fitting) model in the case of similar segmentation results. Finally the experiment results also show that different initial positions have little effect on image segmentation results which demonstrates that our model is low sensitive to initialize contour curve. Conclusion When dealing with the MRI images and synthetic images, the model presents in this paper can not only obtain good segmentation results, but also has a high efficiency on segmentation. The experiment results also show that the model in this article is robust.
Key words
image segmentation, region-scalable fitting, convex optimization, global minimum solution, level set, Split Bregman
0 引 言
图像分割作为图像处理的内容之一，其目的就是从图像中分割出感兴趣的部分，它既是图像处理中的一个研究重点，也是一个研究难点。图像分割已广泛应用于文档图像处理、遥感图像处理、医学图像处理、指纹分割以及模式识别等方面。为此，国内外许多学者提出了大量各种各样的图像分割方法。其中，基于PDE(partial differential equations)和变分法的图像分割方法得到了较快的发展[1-7]，并且取得了很不错的分割效果。如Mumford与Shah提出的基于图像的分片连续假设变分模型[8](简称MS模型)，将图像表示、图像去噪和图像分割统一起来，在图像处理的变分法发展中起到了重要作用。在MS模型的基础上，Vese与Chan等人[9]提出了基于水平集方法的分段光滑MS模型，利用定义在不同区域上的两个光滑函数来表征区域特征，缺点是计算过程太复杂。这类基于PDE和变分法的图像分割方法大都存在一个问题，大部分图像分割模型的能量泛函均为非凸性，在计算求解的过程中较容易陷入局部极小值解，因此最后得出的分割结果往往不尽如人意。
本文将借鉴背景去除模型的思想，对模型进行改造,并结合区域拟合的方法，从边缘检测函数及Heaviside函数入手，对改造后的模型进行改进；再对改进的模型进行凸优化处理，进而采用水平集方法[10]和Split Bregman方法[11]对改进模型的全局最小值进行快速求解。为此，给出一种改进模型的快速图像分割方法。经数值实验验证，本文所给出的方法不仅能获得良好的分割效果，而且在数值求解过程中初始化位置的选取对实验结果的影响不大，运行效率也更高。
1 模型分析
考虑最小化问题
| $\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_X F\left( C \right) = - S\left( {{\Omega _1}\left( C \right)} \right)\\ s.t.\int_{{\Omega _1}} {{{\left| {I\left( {x,y} \right) - c} \right|}^2}dxdy} = 0 \end{array}$ | (1) |
式中，I=Ω1∪Ω2(如图 1所示)，为图像的灰度矩阵。Ω1(C)和Ω2(C)分别为封闭演化曲线C的外部和内部区域，S(Ω1(C))为Ω1(C)的面积，而c表示演化曲线外部区域的平均灰度值。
运用Lagrange乘子法弱化式(1)的限制条件，从而得到能量函数
| $L = F\left( C \right) + \mu \int_{{\Omega _1}} {{{\left| {I\left( {x,y} \right) - c} \right|}^2}dxdy} $ | (2) |
式中，μ>0为 Lagrange 乘子。
该最小化模型具有较好的分割效果，但其适用范围较窄，仅适合于噪声较小的图像，而由于成像环境或成像设备的原因，实际生活中的图像都是含有大量噪声的图像，而这些噪声会直接影响图像分割的效果，使得分割的结果包含多余的曲线。为了抑制小曲线的产生，给式(2)加上一个长度正则项[12]，则得到背景去除模型最终的能量函数
| $\begin{array}{l} E = \left( {C,c} \right) = L + v \cdot \ell\left( C \right) = \\ - S\left( {{\Omega _1}\left( C \right)} \right) + \mu \int_{{\Omega _1}} {{{\left| {I\left( {x,y} \right) - c} \right|}^2}dxdy} + v \cdot \ell\left( C \right) \end{array}$ | (3) |
式中，v≥0为权重，而
背景去除模型的目的是找到一个外部区域，当演化曲线C收敛到图像边缘时，该外部区域的面积S(Ω1(C))达到最大，能量函数E(C,c)则达到最小值，从而得出背景去除后的分割结果。
事实上，根据背景去除模型的原理。可以类似地看成演化曲线C从图像内部向外进行演化，当演化曲线C收敛到图像边缘时，内部区域的面积S(Ω2(C))达到最大，能量函数E(C,c)则达到最小值。因此，可以将式(3)中的图像外部区域S(Ω1(C))用图像内部区域S(Ω2(C))替代，从而得出能量泛函
| $\begin{array}{l} E\left( {C,c} \right) = - S\left( {{\Omega _2}\left( C \right)} \right) + \\ \mu \int_{{\Omega _1}} {{{\left| {I\left( {x,y} \right) - c} \right|}^2}dxdy} + v \cdot \ell\left( C \right) \end{array}$ | (4) |
由于该模型是非凸的，在数值求解过程中容易陷入局部的最小值解，从而影响图像分割的效果。并且采样梯度算法对模型的求解速度也较慢，计算代价较大。因此，为了求得全局最小解以及提高模型的求解效率，需要对模型式(4)进行改进。
2 模型的改进
考虑高斯核函数[13]
| ${K_\sigma }\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi {\sigma ^2}}}{e^{ - \frac{{{{\left| x \right|}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$ |
式中，σ>0，函数图像如图 2所示。
从函数图像可以看出，高斯核函数具有紧支撑性。当需计算的点远离原点时，函数K的值会急剧下降趋于零。可见，只需要计算在以点为中心附近的值就可以达到既增加计算结果的精度，又减少计算时间的效果。因此，根据文献[13]的RSF(region-scalable fitting)模型思想，将式(4)结合高斯核函数，从而得到改进后区域拟合的背景去除模型
| $\begin{array}{l} E\left( {C,{f_1}\left( X \right),{f_2}\left( X \right)} \right) = - \int_{{\Omega _2}} {K\left( {X - Y} \right){f_2}\left( X \right)dY} + \\ \mu \int_{{\Omega _1}} {K\left( {X - Y} \right)} {\left| {I\left( Y \right) - {f_1}\left( X \right)} \right|^2}dY + v \cdot \ell\left( C \right) \end{array}$ | (5) |
式中，f1(X)与f2(X)分别为区域Ω1、Ω2内的图像密度函数，μ>0。而I(Y)为点X附近的图像区域密度，这个区域的大小通过高斯核函数来确定。
将式(5)中的曲线C嵌入到Lipschitz函数φ∶I→R中，即
| $\varphi \left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} - d\left( {p,C} \right)\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\Omega _2}\left( C \right)\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in C\\ d\left( {p,C} \right)\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\Omega _{\rm{1}}}\left( C \right) \end{array} \right.$ |
式中，d(p,C)表示点p到曲线C上点的距离的最小值。因此C={(x,y)∈Iφ(x,y)=0}，再借助如下的Heaviside函数
| $H\left( d \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;d \ge 0\\ 0\;\;\;d < 0 \end{array} \right.$ |
可以将式(5)改写为
| $\begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {\varphi ,{f_1}\left( X \right),{f_2}\left( X \right)} \right) = }\\ { - \int_{{\Omega _2}} {K\left( {X - Y} \right){f_2}\left( X \right)H\left( \varphi \right)dY} + }\\ {\mu \int_{\Omega 1} {K\left( {X - Y} \right){{\left| {I\left( Y \right) - {f_1}\left( X \right)} \right|}^2}} }\\ {\left( {1 - H\left( \varphi \right)} \right)dY + v \cdot \int {\left| {\nabla H\left( \varphi \right)} \right|dX} } \end{array}$ | (6) |
由于Heaviside函数H(d)不是一个连续函数，本文用Hε(z)函数来替代Heaviside函数，即
| ${H_\varepsilon }\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{z < - \varepsilon }\\ {\frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{z}{\varepsilon } + \frac{1}{\pi }\sin \left( {\frac{{\pi z}}{\varepsilon }} \right)} \right]}&{\left| z \right| \le \varepsilon }\\ 1&{z > \varepsilon } \end{array}} \right.$ |
式中，参数ε>0，函数Hε(z)的图像如图 3中的曲线所示。
从Hε(z)的函数图可以看出，Hε(z)函数不仅具有Heaviside函数的特性，并且在原点处是连续的。因此，使用Hε(z)函数来替代原Heaviside函数，可以将式(6)改写为
| $\begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {\varphi ,{f_1}\left( X \right),{f_2}\left( X \right)} \right) = }\\ { - \int_{{\Omega _2}} {K\left( {X - Y} \right){f_2}\left( X \right){H_\varepsilon }\left( \varphi \right)dY} + }\\ {\mu \int_{\Omega 1} {K\left( {X - Y} \right){{\left| {I\left( Y \right) - {f_1}\left( X \right)} \right|}^2}} }\\ {\left( {1 - {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right)dY + v \cdot \int {\left| {\nabla {H_\varepsilon }\left( \varphi \right)} \right|dX} } \end{array}$ | (7) |
式(7)即为改进模型的能量泛函，它仍然还是一个非凸的能量模型，为此，需要对其进行凸优化处理。
3 改进模型的凸优化
针对式(7)进行凸优化，可按以下步骤处理：
首先，固定f1(X)和f2(X)，采用梯度下降法[14]求出式(7)关于水平函数集φ的梯度下降流
| $\begin{array}{l} \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left( {{S_2} - {S_1}} \right) - v \cdot {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)div\left( {\frac{{\nabla \varphi }}{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}} \right)\\ {S_1} = \mu \int_{{\Omega _1}} {K\left( {X - Y} \right){{\left| {I\left( Y \right) - {f_1}\left( X \right)} \right|}^2}dY} \\ {S_2} = \int_{{\Omega _2}} {K\left( {X - Y} \right){f_2}\left( X \right)dY} \end{array}$ |
δε为Hε的偏微分。令
| $\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = {\delta _\varepsilon }\left( \varphi \right)\left( {{S_2} - {S_1} - \theta } \right)$ | (8) |
根据文献[7]所述，式(8)(9)具有相同形态稳定解，因此，可以通过对式(9)的求解，从而得出模型的解。
| $\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = {S_2} - {S_1} - \theta $ | (9) |
简化式(9)可得
| $E\left( \varphi \right) = {\left| {\nabla \varphi } \right|_1} + < \varphi ,{S_2} - {S_1} > $ | (10) |
在实验的过程中，如果对式(10)的迭代不加限制，那么水平集函数φ的值就会一直变化|φ|→+∞,(t→+∞)[8]，从而得不到所需全局的最小解。因此，在实验过程中，可以将水平集函数φ在每个点的值限定在一个固定的区间[-1,1]上。通过限定水平集的解集在一个固定的区间[-1,1]上，从而可以确保得到模型的全局最小解[15]。因此结合式(10)可以得到凸的最小化问题
| $\mathop {\min }\limits_{ - 1 \le \varphi \le 1} \left\{ { < \varphi ,S > + {{\left| {\nabla \varphi } \right|}_1}} \right\}$ | (11) |
式中，S=S2－S1。
其次，为了得到更准确的边缘，可导入一个边缘检测函数
| $g\left( x \right) = \frac{1}{{1 + \beta {{\left| x \right|}^2}}}$ |
式中,β>0，是一个决定分割力度的参数。并根据文献[15]结合如下的一个加权的 TV模型
| $T{V_g}\left( \varphi \right) = \int_g {\left| {\nabla \varphi } \right|} = {\left| {\nabla \varphi } \right|_g}$ |
最终可得到改进后的凸能量模型
| $\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{ - 1 \le \varphi \le 1} E\left( \varphi \right) = }\\ \begin{array}{l} \arg \;\;\mathop {\min }\limits_{ - 1 \le \varphi \le 1} {\left| {\nabla \varphi } \right|_g} + < \varphi ,S > \\ \; \end{array} \end{array}$ | (12) |
由于改进后的凸模型式(12)为一个标准的L1正则问题，因此可以采用Split Bregman方法对式(12)进行快速求解[11]。
4 数值实验
针对改进模型在分割效果、计算效率及初始化位置对实验结果的影响这3个方面进行数值实验,实验中的部分参数取值为 ε=1，σ=0.3。
首先，针对理想的二值图像进行了实验。实验结果如图 4所示，在对理想的二值图像进行实验时，本文模型的算法仅需要很少的迭代步数就能得到稳定的结果。
其次，利用IVC模型[16]、CV模型[10]、LK模型[17]、RSF模型[18]和本文的改进模型分别对图 5(a)中的4幅图像进行图像分割实验，实验结果如图 5(b)—(f)中所示。
从图 5所示的图像分割实验结果中可以看出，在对图 5(a)第1、2幅图像以及第3幅较为简单的大脑图像进行分割处理时，由于图中存在灰度差别较小的区域，因此IVC模型、CV模型以及LK模型并没能有效地分割出目标，而本文的改进模型及RSF模型则能有效地分割出目标区域。造成这种情况的原因是C-V模型、IVC模型及LK模型的重点是找出灰度差别较大的区域，从而忽略了目标区域的完整性。而本文的改进模型由于结合了高斯核函数，利用高斯函数的紧支撑性，得出更为精确的分割结果；同时由于在模型中加入了长度正则项，使得分割结果中并没有出现冗余的曲线。通过比对图 5(a)第4幅图像的分割结果，发现RSF模型亦不能有效的分割出目标，而本文的改进模型则能更好地分割出目标，这说明对于更复杂的图像，本文的改进模型比RSF模型更具有适应力。
虽然RSF模型在对图 5中的图像进行图像分割时比C-V模型、IVC模型及LK模型的分割效果要好，但是本文的改进模型的分割效果更优于RSF模型。此外，在计算结果达到稳定状态时，本文改进模型所花费的时间以及迭代次数均比RSF模型要少。采用NSDE(normalized step difference energy)[19]作为判别边界收敛稳定的标志，图 6为RSF模型与本文的改进模型在对图 5(a)的前3幅图像进行处理时，达到稳定状态上所用的迭代次数示意图。
比较图 6(a)(b)的数据，可见本文的改进模型在达到稳定状态时所需的迭代次数稳定在60次左右，而RSF模型在达到稳定状态时所需的迭代次数稳定在150次左右。显然，与RSF模型相比，本文的改进模型能在更少的迭代次数内达到稳定状态。
从时间开销上也可以看出，本文的改进模型计算效率明显优于RSF模型。
表 1给出了这两种模型对图 5(a)前3幅图像进行处理时达到稳定状态的时间。
表 1
RSF模型及本文的模型分割图像所消耗的时间
Table 1
The time consumed by RSF model and proposed model
| /s | |||
| 模型 | 第1幅图像 | 第2幅图像 | 第3幅图像 |
| RSF | 1.38 | 3.67 | 1.73 |
| 本文 | 0.32 | 0.45 | 1.15 |
最后，针对数值实验中初始化位置对实验结果的影响做了对比实验，实验结果如图 7所示。
图 7(a)图像中虽然初始化位置不一样，但是经过多次迭代后，得到的最终分割结果均是一样的。由此可见，初始化的位置对本文的改进模型处理图像时的结果并没有太大影响，说明本文模型具有一定的鲁棒性。
5 结 论
在基于PDE和变分法的图像分割方法中，大多数模型的能量泛函均为非凸的，因此在求解能量泛函时常常会陷入局部的最小值解，从而导致得到的图像分割结果不理想。同时，常用的梯度算法对于模型的求解速度也较慢。基于这些原因，本文结合区域拟合的方法对背景去除模型进行改进，并对其进行凸优化处理，得到一种凸能量模型，从而避免陷入局部极小解的情况；同时针对改进模型进行正则变换，使之符合L1正则形式，从而能利用Split Bregman算法进行快速计算，得出改进模型的全局最小解。实验结果表明，改进后的模型不仅能够取得较好的图像分割效果，在数值求解效率上也得到了很大的提升。通过实验可知，改进后的模型亦具有一定的鲁棒性。由于实验中的参数基本是凭经验人为选取的，不能保证所选取的参数是最佳参数，因此在求解模型的过程中如何自适应地调节参数，将是接下来的研究目标。
参考文献
-
[1] Rada L, Chen K. A new variational model with dual level set functions for selective segmentation[J]. Communications in Computational Physics, 2012 ,12 (1) : 261 –283. [DOI:10.4208/cicp.190111.210611a]
-
[2] Mandal D, Chatterjee A, Maitra M. Robust medical image segmentation using particle swarm optimization aided level set based global fitting energy active contour approach[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2014 ,35 : 199 –214. [DOI:10.1016/j.engappai.2014.07.001]
-
[3] Wang X H, Li M. Level set model for image segmentation based on dual contour evolutional curve[J]. Journal of Image and Graphics, 2014 ,19 (3) : 373 –380. [ 王相海, 李明. 双重轮廓演化曲线的图像分割水平集模型[J]. 中国图象图形学报, 2014 ,19 (3) : 373 –380.] [DOI:10.11834/jig.20140305]
-
[4] Benamou J D, Carlier G, Cuturi M, et al. Iterative bregman projections for regularized transportation problems[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2015 ,2 (37) : A1111 –A1138. [DOI:10.1137/141000439]
-
[5] Yang J G, Wang X L, Li H. Variational image segmentation incorporating Kernel PCA-based shape priors[J]. Journal of Image and Graphics, 2015 ,20 (8) : 1035 –1041. [ 杨建功, 汪西莉, 李虎. 融合Kernel PCA形状先验信息的变分图像分割模型[J]. 中国图象图形学报, 2015 ,20 (8) : 1035 –1041.] [DOI:10.11834/jig.20150806]
-
[6] Narkhede P R, Gokhale A V. Color image segmentation using edge detection and seeded region growing approach for CIELab and HSV color spaces[C]//Proceedings of International Conference on Industrial Instrumentation and Control. Pune: IEEE, 2015: 1214-1218. [DOI: 10.1109/iic.2015.7150932]
-
[7] Chan T F, Esedoglu S, Nikolova M. Algorithms for finding global minimizers of image segmentation and denoising models[J]. SIAM Journal on applied Mathematics, 2006 ,66 (5) : 1632 –1648. [DOI:10.1137/040615286]
-
[8] Mumford D, Shah J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1989 ,42 (5) : 577 –685. [DOI:10.1002/cpa.3160420503]
-
[9] Chan T, Vese L. An active contour model without edges[C]// Proceedings of the 2nd International Conference. Berlin Heidelberg: Springer, 1999: 141-151. [DOI: 10.1007/3-540-48236-9_13]
-
[10] Chan T E, Vese L. A level set algorithm for minimizing the Mumford-Shah functional in image processing[C]//Proceedings of IEEE Workshop on Variational and Level Set Methods in Computer Vision. Vancouver, BC Canada: IEEE, 2001: 161-168. [DOI: 10.1109/vlsm.2001.938895]
-
[11] Goldstein T, Osher S. The split Bregman method for L1-regularized problems[J]. SIAM Journal on Imaging Sciences, 2009 ,2 (2) : 323 –343. [DOI:10.1137/080725891]
-
[12] Chen Y M, Tagare H D, Thiruvenkadam S, et al. Using prior shapes in geometric active contours in a variational framework[J]. International Journal of Computer Vision, 2002 ,50 (3) : 315 –328. [DOI:10.1023/A:1020878408985]
-
[13] Micchelli C A, Pontil M. Learning the kernel function via regularization[J]. Journal of Machine Learning Research, 2005 ,6 (7) : 1099 –1125.
-
[14] Yun S, Toh K C. A coordinate gradient descent method for l1-regularized convex minimization[J]. Computational Optimization and Applications, 2011 ,48 (2) : 273 –307. [DOI:10.1007/s10589-009-9251-8]
-
[15] Chan T F, Esedoglu S, Nikolova M. Algorithms for finding global minimizers of image segmentation and denoising models[J]. SIAM Journal on applied Mathematics, 2006 ,66 (5) : 1632 –1648. [DOI:10.1137/040615286]
-
[16] Yang Y Y, Li C M, Kao C Y, et al. Split Bregman method for minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[C]//The 6th International Symposium. Berlin Heidelberg: Springer, 2010: 117-128. [DOI: 10.1007/978-3-642-17274-8_12]
-
[17] Li Y B, Kim J. An unconditionally stable numerical method for bimodal image segmentation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012 ,219 (6) : 3083 –3090. [DOI:10.1016/j.amc.2012.09.038]
-
[18] Li C M, Kao C Y, Gore J C, et al. Minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2008 ,17 (10) : 1940 –1949. [DOI:10.1109/TIP.2008.2002304]
-
[19] Lee S H, Seo J K. Level set-based bimodal segmentation with stationary global minimum[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2006 ,15 (9) : 2843 –2852. [DOI:10.1109/tip.2006.877308]
