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发布时间: 2019-11-16
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DOI: 10.11834/jig.190003
2019 | Volume 24 | Number 11




    计算机图形学    




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插值给定对角曲线的能量极小Bézier曲面造型
expand article info 朱雨凡, 徐岗, 凌成南, 李博剑, 许金兰
杭州电子科技大学计算机学院, 杭州 310018

摘要

目的 曲面造型是计算机辅助几何设计中的重要研究内容,张量积类型曲面的对角曲线是衡量曲面性质的重要度量,与曲面的几何形状密切相关。基于输入对角曲线的曲面设计方法在实际应用中具有一定的价值,因此提出一种插值给定对角曲线的能量极小Bézier曲面造型的方法。方法 给定一条对角曲线时,修正用户输入的对角曲线及边界曲线的几何信息,然后运用拉格朗日乘数法,结合曲面内部能量函数,求解待定的内部控制顶点,构造曲面。给定两条对角曲线时,在上述内容基础上加入了两条对角曲线必有交点的考量,增加对对角曲线控制顶点的修正。结果 增加了对角曲线这一约束条件,从对比实验曲线图可以看出,随着横坐标曲面阶数升高,纵坐标修正曲线和用户曲线间的差值越来越小,结果表明曲面阶数越高,修正曲线与用户曲线偏差越小,造型效果越好。结论 该曲面造型方法简单,基于修正后的对角曲线和边界曲线构造的曲面具有极小内部能量,可满足曲面造型方面的相关需求。

关键词

曲面造型; 对角曲线; 拉格朗日乘数法; 弯曲能量; 拟调和能量; Dirichlet能量

Construction of energy-minimizing Bézier surfaces interpolating given diagonal curves
expand article info Zhu Yufan, Xu Gang, Ling Chengnan, Li Bojian, Xu Jinlan
College of Computer Science and Technology, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Zhejiang 310018, China
Supported by: National Natural Science Foundation of China (61772163, 61761136010, 61472111)

Abstract

Objective Surface modeling is an important research content of computer-aided geometric design, architectural geometry, and computer graphics. The diagonal curve of the tensor product surface is an important tool to measure surface properties. In the aspect of modeling design, people have various requirements for the diagonal curves and boundary curves of a surface. People want to optimize the boundary of the entire surface through the special boundary curves and determine the overall shape of the surface by designing one or two diagonal curves. Therefore, constructing a surface based on the boundary and diagonal curves given by the user is important. The diagonal curve of the Bézier surface is related to its geometry. The method of surface design based on the input diagonal curve will have certain value in practical applications. Bézier surface modeling based on diagonal curve has been rarely published. Method In this paper, the Bézier surface construction method is investigated for given diagonal and boundary curves. The method is mainly divided into the case of a diagonal curve and the case of two diagonal curves. The information of the curves needs to be corrected to achieve an ideal shape. The Lagrange multiplier method is mainly used in the correction. In the case of a given diagonal curve, first, the users input the diagonal and boundary curves of the surface according to their personal requirement. The sum of the distances of the control points is taken as the objective function to ensure the minimum deviation between the modified diagonal curve and the boundary curves and the curves given by the user. The relationship between the diagonal curve and the boundary curve is used as the constraint condition, and the geometric information of the diagonal curve and the boundary curve input by the user is corrected. We then use the modified curve as the diagonal and boundary curves in subsequent surface construction. The internal control points to be determined are set as the independent variable by using Lagrangian multiplier method. The three internal energy functions of the surface (bending energy function, quasi-harmonic energy function and Dirichlet energy function) are taken as the objective function. The linear relationship between the control points of the diagonal curve and the surface is taken as the constraint condition. We convert a conditionally restricted extreme value problem to an extreme value problem without conditions. According to the modified diagonal and boundary curves, we determine the extremum of the internal energy function and find the relationship that the internal control points should satisfy and solve the internal control points. Finally, the surface is constructed from the modified boundary curves, the modified diagonal curves, and the obtained internal control points. In the case of two given diagonal curves, they must have an intersection. According to this condition, the correction of the control points of the diagonal curve is added. The sum of the distances of the control points is taken as the objective function to ensure that the deviation between the modified diagonal curve and the user-defined diagonal curve is minimized. We correct the diagonal curve given by the user. In a similar way as the previous case, we correct the geometric information of the two diagonal and boundary curves. Result We design three- and four-order surface modeling examples to satisfy the requirements of different minimal internal energy and verify the effectiveness of the surface construction method. By giving a diagonal curve or two diagonal curves, we design modeling examples to verify the practicality of the method. The examples of surface modeling with the same boundary and different degrees are also designed. These examples show that the higher the order of the surface is, the closer the corrected boundary and diagonal curves are to the boundary and diagonal curves given by the user and the smaller the deviation will be. Compared with other surface modeling methods, the proposed method considers the constraint condition of the diagonal curve of the surface, which satisfies the requirements of the user on the diagonal curve, and is closer to the user's design intention. The proposed method can be widely used in practical engineering. Conclusion The surface constructed not only interpolates the modified diagonal curves and boundary curves but also has minimal internal energy. The proposed surface construction method is simple and practical and satisfies the relevant requirements of surface modeling.

Key words

surface modeling; diagonal curve; Lagrangian multiplier method; bending energy; quasi-harmonic energy; Dirichlet energy

0 引言

现代的产品设计和制造过程的很多问题都可以转化为曲线和曲面的造型问题,例如汽车外形、飞机机身、服装的设计和加工以及建筑物的外形设计等。曲线曲面设计也是当前计算机辅助几何设计的核心研究内容。特别是在实际应用中,设计满足某种特殊性质和功能的曲线曲面尤为重要。极小曲面就是其中一种曲面,在很多工程和物理学中都有重要的应用,对于极小曲面的研究也受到诸多学者的关注。在极小曲面的研究上,前期人们研究了通过控制网格构造曲面问题,满家巨等人[1]研究了确定某些极小曲面控制网格的相应规则,十分准确地构造极小曲面。汪凯等人[2]在拟扩展切比雪夫空间利用开花的性质构造了一组最优规范全正基,并利用该基进行曲线曲面构造。又在此基础上,提出了基于带3个指数参数的拟三次三角Bernstein-Bézier基生成了一种三角域上的拟三次三角Bernstein-Bézier曲面的方法[3]。后来人们经常通过曲面内部能量函数的极小化来优化曲面的形状,能量极小Bézier曲面构造问题是一类十分重要的问题,它主要研究的是给定矩形域上张量积Bézier曲面的边界曲线的控制顶点,寻找其内部控制顶点,使得所产生的Bézier曲面在所有具有相同边界的Bézier曲面中,某种内部能量达到最小。在该问题上有很多的研究,Monterde等人[4]首先将Plateau-Bézier问题中的面积函数线性化为Dirichlet能量函数,将待定的内部控制顶点的坐标向量作为自变量,进一步得到内部控制顶点与边界控制顶点的线性关系,构造出具有极小Dirichlet能量的Bézier曲面。Hao等人[5]提出了一种基于B样条的多分辨率分析方法,通过求解一个稀疏结构线性方程组,得到最小区域的参数曲面。调和曲面与极小曲面相关,当具有等温参数化的曲面是调和曲面时,它就是极小曲面[6]。Monterde研究了关于调和曲面的相关构造问题,给出了构造调和Bézier曲面的一般框架[7],后来又提出在矩形域中获得双调和Bézier曲面的一般框架[8],这些曲面造型框架的提出为实际工业生产中产品造型的设计提供了理论依据。通过上述研究,Monterdea将调和Bézier曲面和双调和Bézier曲面作为Plateau-Bézier问题的近似解[9]。Miao等人[10]受其启发,进一步将其推广到具有极小弯曲能量的Bézier曲面上。徐岗等人提出了一种新的能量函数,称为平均曲率平方能量,研究了三角域上该能量函数极小的情况下,Bézier三角曲面内部顶点应具备的条件[11]。后续引入了拟调和Bézier曲面的概念,它可以看作是Plateau-Bézier问题的近似解[12]。插值给定特殊曲线的能量极小曲面造型方法也是当前的研究热点。在这方面人们做了很多研究,有相关文献提到将测地线和极小参数曲面结合,用测地线设计近似极小参数曲面[13]。徐岗等人[14]提出了一种插值边界的四边网格离散极小曲面建模方法。李彩云等人[15]对当前插值特殊曲线的可展曲面构造问题进行了综述和总结,后来又提出了插值渐近四边形的有理Bézier曲面构造方法,该曲面以渐近四边形为封闭边界曲线[16]

曲面的对角曲线是与曲面造型相关的很重要的曲线,通常来说人们对于曲面的对角曲线和边界曲线有各种各样的要求,例如在某些工业造型任务中,涉及到曲面设计时,人们希望通过特殊的边界曲线,来优化整个曲面造型的边界;通过自行设计一条或两条对角曲线来决定整个曲面的平滑弯曲效果,进而决定曲面的整体造型。因此根据用户自身给定的边界和对角曲线构造曲面尤为重要。但基于对角曲线的曲面造型研究工作很少,目前只有Holliday等人给出了关于张量积Bézier曲面和张量积Bézier体对角曲线的几何解释,以及曲面对角曲线控制顶点与曲面控制顶点的关系[17]。张量积Bézier曲面的对角曲线与曲面的形状密切相关,插值输入的对角曲线进行约束曲面设计,在实际应用中将具有一定价值。

本文希望通过插值给定Bézier曲面的对角曲线及边界曲线,构造具有极小能量的张量积Bézier曲面,从而满足曲面交互设计的要求。

1 Bézier曲面的对角曲线

$\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}$为控制顶点,则Bézier曲面可定义为控制顶点与Bernstein基函数$B_i^n$($u$)和$B_j^n$($v$)的线性组合,即

$ \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {u,v} \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}B_i^n\left( u \right)B_j^n\left( v \right)} } $ (1)

该曲面的对角曲线为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_1}\left( u \right) = \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {u,u} \right) $

可记为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_1}\left( u \right) = \sum\limits_{l = 0}^{2n} {B_l^{2n}\left( u \right)\left[ {\frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} } \right]} $ (2)

式中,$u$$v$表示曲面两个不同方向的参数,$i$$j$表示控制顶点下标,$n$表示Bézier曲面的阶数,$l$表示Bézier曲面对角曲线的阶数。曲面的另一条对角曲线为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_2}\left( u \right) = \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {u,1 - u} \right) $

可记为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_2}\left( u \right) = \sum\limits_{l = 0}^{2n} {B_l^{2n}\left( u \right)\left[ {\frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i\left( {n - j} \right)}}C_n^iC_n^{n - j}} } \right]} $ (3)

通过式(2)和式(3)可以看出,Bézier曲面的对角曲线仍为Bézier曲线,设曲面一条对角曲线的控制顶点为$\mathit{\boldsymbol{a}}_l$,与曲面控制顶点$\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}$之间存在如下线性关系

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_l} = \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} $ (4)

设曲面另一条对角曲线的控制顶点为$\mathit{\boldsymbol{c}}_l$,与曲面控制顶点$\mathit{\boldsymbol{b}}_{i(n-j)}$之间存在如下线性关系

$ {\mathit{\boldsymbol{c}}_l} = \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i\left( {n - j} \right)}}C_n^iC_n^{n - j}} $ (5)

2 输入对角曲线和边界曲线控制顶点的调整方法

用户希望曲面造型能够满足自身要求,即插值所输入的曲面边界曲线和对角曲线来构造曲面。然而,在大多数情况下,用户给定的边界控制顶点和对角曲线控制顶点不满足某些理论要求,如两者之间的线性关系,两条对角曲线必须有交点等,需要对其进行调整。本文采用拉格朗日乘数法对输入约束曲线的控制顶点进行调整。

2.1 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元函数极值的方法,将有$n$个变量与$k$个约束条件的条件极值问题转化为有$n$+$k$个变量的方程组的极值问题,其变量不再有任何约束条件,转化为无条件极值问题。一般描述为:以一个三元函数为例,寻求在约束条件$\mathit{\Phi }$($x$, $y$, $z$)=0之下函数$F$=$f$($x$, $y$, $z$)的可能的极值点。首先构造一个拉格朗日辅助函数: $L$($x$, $y$, $z$, $λ$)=$f$($x$, $y$, $z$)+$λ\mathit{\Phi }$($x$, $y$, $z$),其中$λ$为拉格朗日乘数,求$L$($x$, $y$, $z$, $λ$)对$x$$y$$z$$λ$的偏导数,并使之为零,然后与约束条件联立,得方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} {{L'}_x} = {{f'}_x}\left( {x,y,z} \right) + \lambda {{\mathit{\Phi '}}_x}\left( {x,y,z} \right) = 0\\ {{L'}_y} = {{f'}_y}\left( {x,y,z} \right) + \lambda {{\mathit{\Phi '}}_y}\left( {x,y,z} \right) = 0\\ {{L'}_z} = {{f'}_z}\left( {x,y,z} \right) + \lambda {{\mathit{\Phi '}}_z}\left( {x,y,z} \right) = 0\\ {{L'}_\lambda } = \mathit{\Phi }\left( {x,y,z} \right) = 0 \end{array} \right. $ (6)

由方程组(6)解出$x$$y$$z$$λ$,如此求得的($x$, $y$, $z$),就是函数$F$=$f$($x$, $y$, $z$)在约束条件$\mathit{\Phi }$($x$, $y$, $z$)=0下的可能极值点。

2.2 基于单条对角曲线约束的输入曲线调整

基于单条对角曲线约束构造曲面时仅需调节个别对角曲线和边界曲线控制顶点。由式(4)可知,单条对角曲线首末两端的4个控制顶点仅与曲面的边界控制顶点相关。然而,在大多数情况下,用户给定的边界控制顶点和对角曲线控制顶点可能不满足两者之间的线性关系,需要对其进行调整。通常来说需要调整的控制顶点(如图 1中红色的圆点所示)为${\mathit{\boldsymbol{b}}_{01}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{10}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{1}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, n}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, n - 1}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 1}}$

图 1 基于单条对角曲线的待调整控制顶点
Fig. 1 The control points to be adjusted based on a single diagonal curve

本文希望在满足边界控制顶点和对角曲线控制顶点线性关系的情况下,修正后的控制顶点和用户给定的控制顶点之间的差异尽可能小,这样才可以保证通过修正后的控制顶点构造的曲面造型尽可能地接近通过用户给定的边界和对角曲线构造的曲面造型。因此,将用户给定的控制顶点与修正后的控制顶点差距之和最小作为目标函数,将边界控制顶点和对角曲线控制顶点之间的线性关系作为约束条件,即目标函数和约束条件为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {x,y,z} \right) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{01}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{01}}} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{10}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{10}}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_1}} \right)}^2}} \end{array} $

$ {\mathit{\Phi }_1}\left( {x,y,z} \right) = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{01}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{10}} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_1} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_2}\left( {x,y,z} \right) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1,n}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n - 1,n}}} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{n,n - 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n,n - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_{2n - 1}}} \right)}^2}} \end{array} $

$ {\mathit{\Phi }_2}\left( {x,y,z} \right) = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n - 1,n}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n,n - 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_{2n - 1}} $

式中, ${\mathit{\boldsymbol{b}}_{01}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{10}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, n - 1}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, n}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{1}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 1}}$为用户给定的控制顶点,${\mathit{\boldsymbol{b}}_{01}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{10}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, n - 1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, n}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 1}}^\prime$为修正后的控制顶点。为两组目标函数和约束条件加上对应的拉格朗日乘数$λ$,构造拉格朗日辅助函数,将两组方程分别联立,解出对应的$x$$y$$z$$λ$,如此求得的${\mathit{\boldsymbol{b}}_{01}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{10}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, n}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, n - 1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 1}}^\prime$即为满足目标函数极小的修正后的边界和对角曲线控制顶点。

2.3 基于两条对角曲线约束的输入曲线调整

2.3.1 基于对角曲线和边界曲线约束关系的曲线调整

曲面的两条对角曲线控制顶点都应满足和边界曲线控制顶点间的线性约束关系,与基于单条对角曲线约束的输入曲线调整情况类似,在基于单条对角线的曲线调整的基础上,调整另外一条对角曲线和边界曲线的6个控制顶点,总的待调整控制顶点如图 2中红色圆点所示。

图 2 基于两条对角曲线的待调整控制顶点
Fig. 2 The control points to be adjusted based on two diagonal curves

在基于单条对角曲线约束的输入调整情况基础上,增加的目标函数和约束条件为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_3}\left( {x,y,z} \right) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{0n - 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{0n - 1}}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{1n}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{1n}}} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_1}} \right)}^2}} \end{array} $

$ {\mathit{\Phi }_3}\left( {x,y,z} \right) = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{0n - 1}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{1n}} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_1} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_4}\left( {x,y,z} \right) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1,0}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n - 1,0}}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{n,1}} - {{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n,1}}} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n - 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_{2n - 1}}} \right)}^2}} \end{array} $

$ {\mathit{\Phi }_4}\left( {x,y,z} \right) = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n - 1,0}} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{b'}}}_{n,1}} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_{2n - 1}} $

式中, ${\mathit{\boldsymbol{b}}_{0n-1}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{1n}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, 1}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, 0}}$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{1}}$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n-1}}$为用户给定的控制顶点,${\mathit{\boldsymbol{b}}_{0n-1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{1n}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n, 1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{n - 1, 0}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{1}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n-1}}^\prime$为修正后的控制顶点。通过此种方式求得满足目标函数极小的修正后的边界和对角曲线控制顶点。

2.3.2 基于两条对角曲线相交的曲线调整

曲面两条对角曲线必然有一个交点,通常用户输入的两条对角曲线不满足这种情况,需要对两条对角曲线进行调整,使调整后的两条对角曲线在满足相交的情况下,与用户输入的对角曲线之间偏差最小。

待调整的控制顶点如图 3中红色圆点所示,为保证曲面的基本边界形状和调整后的对角曲线控制顶点依然满足与边界控制顶点间的线性关系,仅对对角曲线除两端4个控制顶点外的其他的控制顶点进行调整,进而满足两条对角曲线相交的要求。需要调整的控制顶点为${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{3}}$,…,${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n-3}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n-2}}$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{2}}$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{3}}$,…,${\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n-3}}$${\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n-2}}$

图 3 两条对角曲线相交情况下待调整控制顶点
Fig. 3 Control points to be adjusted in case of two diagonal curves having an intersection

根据式(2)和式(3)可知,曲面两条对角曲线的交点位于$u$=0.5处,即${\mathit{\boldsymbol{s}}_{1}}$(0.5)=${\mathit{\boldsymbol{s}}_{2}}$(0.5)。相应约束条件为

$ {\mathit{\Phi }_5}\left( {x,y,z} \right) = \sum\limits_{l = 0}^{2n} {B_l^{2n}\left( {0.5} \right){\mathit{\boldsymbol{a}}_l}} - \sum\limits_{l = 0}^{2n} {B_l^{2n}\left( {0.5} \right){\mathit{\boldsymbol{c}}_l}} $

为使修正后的对角曲线与原对角曲线偏差最小,以用户给定的两条对角曲线的控制顶点与修正后的控制顶点差距之和最小作为目标函数,即目标函数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_5}\left( {x,y,z} \right) = {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_2} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_3} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_3}} \right)}^2} + \cdots + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n - 2}} - {{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_{2n - 2}}} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_2} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_3} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_3}} \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_{2n - 2}} - {{\mathit{\boldsymbol{c'}}}_{2n - 2}}} \right)}^2}} \end{array} $

式中,${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2}}$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{3}}$,…,${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n-2}}$为用户给定的控制顶点,${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2}}^\prime$${\mathit{\boldsymbol{a}}_{3}}^\prime$,…,${\mathit{\boldsymbol{a}}_{2n-2}}^\prime$为修正后的控制顶点。为两个表达式加上对应的拉格朗日乘数$λ$,构造拉格朗日辅助函数,求解修正后的对角曲线控制顶点。

3 插值给定对角曲线和边界曲线的能量极小Bézier曲面构造方法

针对基于单条对角曲线构造Bézier曲面的情况,通过分析Bézier曲面一条对角曲线控制顶点和曲面控制顶点的关系,可以发现,对角曲线控制顶点下标$l$与曲面控制顶点下标$i$$j$之间存在如下关系:$l$=$i$+$j$。对于一个$n$次Bézier曲面来说,$l$有多少个不同的取值,就可以获得多少个与内部控制顶点相关的方程。对于待定的内部控制顶点来说$l$取值为2, 3, 4,…, (2$n$-2),有2$n$-3个不同取值,对应得到2$n$-3个与内部控制顶点相关的方程。想要唯一构造Bézier曲面需确定($n$-1)2个内部控制顶点,针对二次以上Bézier曲面,仅通过用户给定的边界控制顶点和对角曲线控制顶点无法唯一构造Bézier曲面。

针对基于两条对角曲线构造Bézier曲面的情况,加入两条对角曲线约束,对待定内部控制顶点来说,可以得到4$n$-6个与内部控制顶点相关的方程,想要唯一构造Bézier曲面需确定($n$-1)2个内部控制顶点,针对4次以上Bézier曲面,根据用户给定的两条对角曲线和边界曲线无法唯一构造曲面。

通过上述分析可以发现,不管是基于单条对角曲线构造曲面还是基于两条对角曲线构造曲面,仅通过对角曲线控制顶点和曲面控制顶点的关系都无法唯一确定Bézier曲面。

为解决上述问题,进一步考虑选择曲面的弯曲能量,拟调和能量以及Dirichlet能量作为构造曲面的重要目标特性,即目标函数$F$($x$, $y$, $z$),以对角曲线控制顶点和曲面控制顶点之间的线性关系作为约束条件$\mathit{\Phi }$($x$, $y$, $z$),运用拉格朗日乘数法唯一地确定内部控制顶点,进而构造曲面。在计算中使用3种能量极小Bézier曲面的掩模形式作为3种能量函数对内部控制顶点坐标求导的结果,简化计算。

曲面的弯曲能量函数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}\left( {x,y,z} \right) = {E_{\rm{b}}}\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = }\\ {\int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {\left( {{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{uu}}} \right\|}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{uv}}} \right\|}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{vv}}} \right\|}^2}} \right){\rm{d}}u{\rm{d}}v} } \end{array} $

曲面的拟调和能量函数为

$ {F_2}\left( {x,y,z} \right) = {E_{\rm{Q}}}\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = \int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{uu}} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_{vv}}} \right)}^2}{\rm{d}}u{\rm{d}}v} $

曲面的Dirichlet能量函数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_3}\left( {x,y,z} \right) = {E_{\rm{D}}}\left( \mathit{\boldsymbol{P}} \right) = }\\ {\frac{1}{2}\int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {\left( {{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{uu}}} \right\|}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{vv}}} \right\|}^2}} \right){\rm{d}}u{\rm{d}}v} } \end{array} $

式中,下标Q为Quasi-harmonic, 下标D为Dirichlet。

针对基于单条对角曲线构造曲面的情况,以曲面控制顶点和单条对角曲线控制顶点的关系作为约束条件,即

$ \mathit{\Phi }\left( {x,y,z} \right) = {\mathit{\boldsymbol{a}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} $

进一步构造辅助函数

$ \begin{array}{*{20}{c}} {L\left( {x,y,z,\lambda } \right) = F\left( {x,y,z} \right) + }\\ {\sum\limits_{l = 1}^{2n - 3} {{\lambda _l}\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} } \right)} } \end{array} $

针对基于两条对角曲线构造曲面的情况,以曲面控制顶点和两条对角曲线控制顶点的关系作为约束条件,即

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_1}\left( {x,y,z} \right) = {\mathit{\boldsymbol{a}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} \\ {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_2}\left( {x,y,z} \right) = {\mathit{\boldsymbol{c}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{in - j}}C_n^iC_n^{n - j}} \end{array} \right. $

进一步构造辅助函数

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{L_1}\left( {x,y,z,\lambda } \right) = F\left( {x,y,z} \right) + }\\ {\sum\limits_{l = 1}^{2n - 3} {{\lambda _l}\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{ij}}C_n^iC_n^j} } \right)} + }\\ {\sum\limits_{l = 1}^{2n - 3} {{\theta _l}\left( {{\mathit{\boldsymbol{c}}_l} - \frac{1}{{C_{2n}^l}}\sum\limits_{i + j = l} {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{in - j}}C_n^iC_n^{n - j}} } \right)} } \end{array} $

令构造的辅助函数对$x$$y$$z$和拉格朗日乘数进行求导,得到一个线性方程组,求解该线性系统,可求得待定的内部控制顶点,进而进一步构造Bézier曲面。对于一个$n$次的Bézier曲面来说,将每个内部控制顶点表示为相邻控制顶点的凸线性组合,即${\mathit{\boldsymbol{b}}_i} = \sum\limits_{j \in {\mathit{\boldsymbol{N}}_i}} {{\gamma _{ij}}} {\mathit{\boldsymbol{b}}_j}$,其中$N_i$表示内部控制顶点${\mathit{\boldsymbol{b}}_{i}}^\prime$的8个相邻控制顶点。内部控制顶点与相邻控制顶点间的关系模型[18]如下

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\beta &\alpha \\ \beta & \cdot &\beta \\ \alpha &\beta &\alpha \end{array}} \right) $

式中,4$α$+4$β$=1。

曲面满足弯曲能量极小时,内部控制顶点与相邻控制顶点间的关系模型为

$ \frac{1}{{44}} \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&7&4\\ 7& \cdot &7\\ 4&7&4 \end{array}} \right) $

相应等式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {44{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j}} = 4\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j + 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j + 1}}} \right) + }\\ {7\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j + 1}}} \right)} \end{array} $

曲面满足拟调和能量极小时,内部控制顶点与相邻控制顶点间的关系模型为

$ \frac{1}{{44}} \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {19}&{ - 8}&{19}\\ { - 8}& \cdot &{ - 8}\\ {19}&{ - 8}&{19} \end{array}} \right) $

相应等式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {44{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j}} = 19\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j + 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j + 1}}} \right) - }\\ {8\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j + 1}}} \right)} \end{array} $

当曲面满足Dirichlet能量极小时,关系模型为

$ \frac{1}{8} \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&3\\ { - 1}& \cdot &{ - 1}\\ 3&{ - 1}&3 \end{array}} \right) $

相应等式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {8{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j}} = 9\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j + 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j + 1}}} \right) - }\\ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i - 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i + 1,j}} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_{i,j + 1}}} \right)} \end{array} $

4 曲面构造实例

4.1 基于单条对角曲线的Bézier曲面构造实例

4.1.1 在3次情况下的Bézier曲面构造实例

$n$=3时,根据曲面控制顶点和单条对角曲线控制顶点之间的关系,可以得到3个关于待定内部控制顶点(如图 1中蓝色圆点所示)${\mathit{\boldsymbol{b}}_{11}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{12}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{21}}$${\mathit{\boldsymbol{b}}_{22}}$与边界控制顶点和对角曲线控制顶点的表达式。

根据曲面内部能量极小的相关模型,可以得到3次情况下不同内部能量极小曲面对应的内部控制顶点与边界控制顶点之间的关系。根据修正后的边界和对角曲线控制顶点,求解待定的内部控制顶点,进一步构造曲面。

图 4给出了3次情况下,弯曲能量极小,拟调和能量极小和Dirichlet能量极小Bézier曲面造型实例,其中图 4(a)所示为用户给定的曲面边界和对角曲线(如绿色曲线所示)与修正后的边界和对角曲线(如蓝色曲线所示)的对比情况。图 4(b)所示为修正后的边界和对角曲线及依据修正后的边界和对角曲线生成的能量极小曲面,绿色、红色和黄色圆点表示内部控制顶点,灰色圆点表示用户给定的边界控制顶点。

图 4 基于给定边界和对角曲线的三次能量极小Bézier曲面构造实例
Fig. 4 Example of a cubic Bézier surface with minimal energy based on the given boundary and the diagonal curves((a) boundary and diagonal curves; (b) the given curves, correction curves and surface)

4.1.2 在4次情况下的Bézier曲面构造实例

$n$=4时,根据曲面控制顶点和对角曲线控制顶点之间的关系,可以得到5个关于待定内部控制顶点与边界控制顶点和对角曲线控制顶点的表达式。

根据曲面内部能量极小的相关模型,可以得到4次情况下不同内部能量极小曲面对应的内部控制顶点与边界控制顶点之间的线性关系。图 5给出了4次弯曲能量极小,拟调和能量极小以及Dirichlet能量极小Bézier曲面造型实例。

图 5 基于给定边界和对角曲线的4次能量极小Bézier曲面构造实例
Fig. 5 The example of a quartic Bézier surface with minimal energy based on the given boundary and the diagonal curves ((a) boundary and diagonal curves; (b) the given curves, correction curves and surface)

图 6给出了不同次数下的曲面造型对比情况,几组造型中给定的曲面边界和对角曲线形状基本相同。对于低次的情况,由于边界控制顶点和对角曲线控制顶点的个数较少,修正后的边界和对角曲线与用户给定的曲线之间存在一定的偏差。通过图 6中的造型实例可以发现,曲面次数越高,修正得到的边界和对角曲线越接近用户给定的边界和对角曲线,两者偏差越小,实验效果越好。高次情况下,本文提出的插值给定对角曲线和边界曲线的内部能量极小Bézier曲面构造方法实用价值更高。以图 6中的曲面造型实例为基础,本文给出了不同次数下,修正后的对角曲线与给定的对角曲线控制顶点的平均偏差图,以及修正后的边界曲线与给定边界曲线控制顶点的平均偏差图,如图 7所示。

图 6 不同次数给定边界和对角曲线与修正后的边界和对角曲线及曲面对比
Fig. 6 Comparison of given boundary and diagonal curves with modified boundary and diagonal curves and surfaces at different orders ((a) the cubic case; (b) the quartic case; (c) the quantic case)
图 7 不同次数修正边界和对角曲线与给定边界和对角曲线控制顶点平均偏差图
Fig. 7 Average deviation between the control points of the modified boundary and diagonal curves and the control points of the given boundary and diagonal curves under different orders ((a) the modified diagonal curves and the given diagonal curves; (b) the modified boundary and the given boundary)

4.2 基于2条对角曲线的Bézier曲面构造实例

本文主要构造了基于两条对角曲线的4次能量极小Bézier曲面造型实例。输入边界曲线和对角曲线(绿色曲线)如图 8所示,给定两条对角曲线没有交点。图 9给出根据对角曲线和边界曲线约束关系修正的曲面边界曲线和对角曲线(蓝色曲线),两条对角曲线仍没有交点。在图 9中修正的边界曲线和对角曲线的基础上,对对角曲线进一步修正,使其满足两条对角曲线必有一个交点的要求,修正后的曲线(黄色曲线)如图 10所示,两条对角曲线交点如圆点所示。图 11给出了给定曲线和两次修正后的曲线的对比情况。图 12给出了基于第2次修正后的边界和对角曲线(黄色曲线)构造的弯曲能量极小曲面,拟调和能量极小曲面和Dirichlet能量极小曲面。

图 8 给定边界曲线和对角曲线
Fig. 8 The given boundary curves and diagonal curves
图 9 基于对角曲线和边界曲线约束关系修正的曲线
Fig. 9 The corrected curves based on the constraint relationships of diagonal curves and boundary curves constraint relationships
图 10 基于对角曲线相交修正的曲线
Fig. 10 The corrected curves based on two diagonal curves having an intersection
图 11 3种曲线情况对比
Fig. 11 The comparison of three different cases of input curves
图 12 4次弯曲能量极小曲面造型
Fig. 12 The example of a quartic Bézier surface with minimal energy ((a) schematic diagram of the surface; (b) schematic diagram of the given curves, correction curves and surface)

5 应用

曲面造型在建筑设计方面有着十分重要的应用,用能量极小曲面设计建筑房顶曲面,结构稳定,表面光洁,美观大方,不会积水,实用性非常强。现已大量用于滨海旅游、博览会、文艺、体育等大空间的公共建筑上,成为当前比较流行的空间建筑结构之一。在基于极小曲面造型的建筑设计的方面,加入对角曲线这一考量因素,可以更好地设计完善设计师需要的曲面造型,使得最终得到的曲面更加符合自身要求。比如可使用本文提出的插值给定对角曲线和边界曲线的能量极小Bézier曲面构造方法,根据边界曲线和对角曲线勾勒出顶棚的大致形状,再进一步构造极小曲面,满足设计要求。

此外,还可以将本文插值给定对角曲线和边界曲线的曲面造型方法应用于自支撑(self-support)膜和自支撑曲面的构造设计,满足工业生产等实际需求。

6 结论

本文主要研究了插值给定边界曲线和对角曲线的能量极小Bézier曲面构造方法,Bézier曲面对角曲线的控制顶点与曲面控制顶点之间存在一定的线性关系,本文通过插值给定对角曲线和边界曲线,将控制顶点间的线性关系作为约束条件,将曲面内部能量作为目标函数,运用拉格朗日乘数法进行约束优化求解,可得到具有极小内部能量的Bézier曲面约束造型结果。

通过本文提出的造型方法,设计构造了几组曲面造型实例并进行比较,验证了该方法的有效性,并给出了具体应用实例和应用场景。

与其他造型方法相比,本文方法加入了对角曲线这一约束条件,更满足用户在对角曲线方面的需求,更加接近用户的设计意图。所提出的造型方法简单易行,具有一定应用价值。但由于用户输入曲线的任意性和曲线理论限制,本文所提方法无法构造出与用户所需完全吻合的造型实例,只能尽可能接近用户要求。

今后将基于曲面对角曲线构造曲面的思想进一步推广到Bézier体,研究基于体对角曲线的Bézier体的构造方法,同时后续将进一步探究曲面对角曲线其他方面的应用。

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