Print

发布时间: 2019-01-16
摘要点击次数:
全文下载次数:
DOI: 10.11834/jig.180231
2019 | Volume 24 | Number 1




    计算机图形学    




  <<上一篇 




  下一篇>> 





任意阶参数连续的形状可调过渡曲线
expand article info 严兰兰, 樊继秋, 周其华
东华理工大学理学院, 南昌 330013

摘要

目的 针对现有研究未能给出可以使过渡曲线在端点处与被过渡曲线之间达到Ckk为任意自然数)连续的多项式势函数统一表达式的问题展开研究,以期用简单有效的方式解决这一问题。方法 从过渡曲线的方程出发,借助莱布尼兹公式得出其k阶导矢表达式,根据预设的连续性目标,反推出可使过渡曲线在端点处达到Ck连续的势函数需满足的基本条件。由这些基本条件中所含条件的数量,以及对势函数、过渡曲线的其他期望所对应的条件个数的总量,确定多项式势函数的次数,将势函数表达成相同次数的Bernstein基函数的线性组合,组合系数待定。由势函数需满足的基本条件、其他预期条件,以及Bernstein基函数在端点处的函数值、导数值等信息,得出关于待定系数的方程组。解该方程组,得出满足所有预期目标,并含一个自由参数的多项式势函数的统一表达式。结果 势函数中存在两个参数k$ \lambda $k用于控制过渡曲线与被过渡曲线在端点处的连续阶,在k取定以后,$ \lambda $可用于控制过渡曲线与被过渡曲线的贴近程度。势函数具有对称性、中点性、有界性,分析了当k固定时,势函数关于变量t和参数$ \lambda $的单调性,分析了使势函数图形只存在唯一拐点时,自由参数的取值范围。由该势函数构造的过渡曲线,取一般参数时在端点处可达Ck连续,取特殊参数时可达Ck+1连续。分析了过渡曲线的形状特征,当k取定时,$ \lambda $的值越大,过渡曲线越贴近被过渡曲线。结论 实验数据验证了理论分析结果的正确性,同时直观显示了所给方法的有效性。

关键词

曲线设计; 过渡曲线; 形状调整; 参数连续; 势函数

Shape adjustable transition curves with arbitrary parameter continuity
expand article info Yan Lanlan, Fan Jiqiu, Zhou Qihua
College of Science, East China University of Technology, Nanchang 330013, China
Supported by: National Natural Science Foundation of China (11261003, 11761008)

Abstract

Objective The existing research has failed to provide a general expression of the polynomial potential function, which can enable the transition curve to reach Ck (where k is an arbitrary natural number) continuity at endpoints. This research aims to solve this problem in a simple and effective manner. Method First, by using the equation of the transition curve, the kth derivative of the transition curve is obtained with the help of the Leibniz formula. According to the predetermined continuity goal, the basic conditions, which should be met by the potential function to enable the transition curve to reach Ck continuity at endpoints, are deduced. Second, according to the total number of conditions contained in the basic conditions and those corresponding to other expectations of the potential function and transition curve, the degree of the polynomial potential function is determined. The potential function is expressed as a linear combination of the Bernstein basis functions with the same degree, and the combination coefficients are established. Finally, according to the basic and other expected conditions to be satisfied by the potential function, as well as the function and derivative values of the Bernstein basis functions at endpoints, an equation set is obtained for the undetermined coefficients. To solve the equation set, the unified expression of the polynomial potential function, which satisfies all expected goals and contains a free parameter, should be obtained. Result Two parameters exist in the potential function, namely, k and $ \lambda $. Parameter k is used to control the continuity order between the transition and initial curves at the endpoints. After k is determined, parameter $ \lambda $ can be used to control the degree of proximity between the transition and initial curves. The potential function has symmetry, midpoint property, and boundedness. The monotonicity of potential function with respect to the variable t and the parameter $ \lambda $ is analyzed when k is fixed. The value range of the free parameter, which depicts the curve of the potential function and has a unique inflection point, is analyzed. For the general parameter values, the transition curve that is constructed by the potential function can reach Ck continuity at the endpoints. For the special parameter values, the transition curve can Ck+1 reach continuity. The shape characteristics of the transition curve are further analyzed. When the value of k is set, the greater the value of $ \lambda $ and the closer the transition to the initial curve. Conclusion The numerical examples verify the correctness of the theoretical analytical results and the effectiveness of the proposed method.

Key words

curve design; transition curve; shape adjustment; parameter continuity; potential function

0 引言

在几何造型设计领域中,过渡曲线的设计是一个重要的研究课题,因为其在计算机辅助设计、数控加工、道路设计、机器人设计等领域有着极其广泛的应用。例如,传感器异型腔的设计[1]、齿轮齿根过渡曲线的设计[2]、刀具轨迹的设计[3]、叶片泵内轮廓线的设计[4]、道路线形的设计[5-7]、机器人姿态的设计[8]等,都涉及过渡曲线的设计。

很多文献从不同侧面围绕过渡曲线的设计展开研究。例如:文献[9]以铁路中的过渡曲线为例,从反射值角度对多项式过渡曲线的形状进行了优化;文献[10]找到了一对合适的三次Bézier螺线,并用其构造了平面上两个相离的圆弧之间S型和C型G2连续的过渡曲线;文献[11]讨论了如何使用三次PH曲线来构造具有相包含关系的两个圆弧之间C型G2连续的过渡曲线;文献[12]构造了在一定条件下曲率单调的类三次Bézier曲线,并用其构造两个圆弧之间半径比例不受限制的S型和C型G2连续过渡曲线;文献[13]构造了两条α-曲线,其中一条可用于构造与文献[12]中具有相同特征的过渡曲线,另一条可用于构造两个圆弧之间不含曲率极值点的过渡曲线;文献[14]采用三次PH曲线构造了不相互包含的两个圆弧之间C型G2连续的过渡曲线;文献[15]给出了在两条不平行的直线之间生成C型G2连续多螺旋过渡曲线的算法;文献[16]讨论了Bézier曲线在形状调配过程中,如何保持中间过渡曲线的几何连续性;文献[17]讨论了一种三角型的Bézier-like曲线在形状调配过程中,保持中间过渡曲线一阶、二阶参数连续性的方法;文献[18]提出了基于势函数与Metaball技术构造过渡曲线的方法,该方法采用一个六次多项式势函数构造了可以光滑连接两条任意曲线的过渡曲线,其在两个端点处具有${{\rm{C}}^1} $连续性;基于文献[19]中所给带形状参数的Bézier曲线模型,文献[20]构造了一种带参数的多项式势函数,并由之构造了在两个端点处具有${{\rm{C}}^2} $连续性的过渡曲线;文献[21]构造了两类势函数,第1类为能使过渡曲线在端点处达到$ {{\rm{C}}^k}$ ($k $为任意自然数)连续的多项式势函数,第2类为能使过渡曲线在端点处达到${{\rm{C}}^1} $连续且具有形状可调性的混合三角势函数;基于文献[22]中所给带形状参数的曲线模型,文献[23]采用与文献[20]中相同的方法,构造了一类带参数的有理势函数,并由之构造了在两个端点处具有$ {{\rm{C}}^k}$连续性的过渡曲线。

文献[10-17]对被过渡曲线的种类有限制,而文献[18, 20-21, 23]则可以实现任意种类曲线之间的过渡;文献[18, 21]中所给第1类势函数构造的过渡曲线形状由被过渡曲线唯一确定,而文献[20-21, 23]中所给第2类势函数构造的过渡曲线形状可以在不改变被过渡曲线的前提下作调整;由文献[18, 21]中第2类势函数构造的过渡曲线在端点处可达${{\rm{C}}^1} $连续,由文献[20]构造的过渡曲线在端点处可达${{\rm{C}}^2} $连续;而由文献[21]中第1类势函数以及文献[23]中所给势函数构造的过渡曲线在端点处可以达到任意$ {{\rm{C}}^k}$连续;然而文献[21]只是给出了第1类势函数的计算方法,并未得出其通用表达式;文献[23]虽然给出了势函数的统一表达式,然而势函数的有理形式使后续计算变得复杂。

在对现有文献优势与不足进行对比分析的基础上,以博采众家之长为己所用为出发点,本文希望构造一种新的势函数,并由之构造过渡曲线。要求该方法对被过渡曲线的种类不做限制,在不改变被过渡曲线的前提下,过渡曲线的形状可以自由调整,过渡曲线在端点处可以达到任意$ {{\rm{C}}^k}$连续,要求势函数的类型为多项式函数,要求给出其对任意$k $值的统一表达式。

1 预备知识

1.1 基于Metaball的过渡曲线

给定平面上两条相交于点C的参数曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $,将它们的端点分别记作AB,如图 1所示。希望构造一条曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $,将端点AB光滑地连接起来。称$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $为被过渡曲线,称$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $为过渡曲线,要求过渡曲线的内部形状取决于两条被过渡曲线。

图 1 基于Metaball的过渡曲线
Fig. 1 Transition curve based on Metaball

图 1可以看出,两条被过渡曲线的交点是不光滑的尖点。构造过渡曲线的目的是使被过渡曲线之间连续平滑地过渡。假设过渡曲线的起止点分别为点A和点B,要求在靠近曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $处,过渡曲线的形状尽可能与$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $相似,在靠近曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $处,过渡曲线的形状尽可能与$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $相似。

为了满足上述要求,文献[18]提出了构造基于Metaball的过渡曲线,其方程为

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right)f\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)\left( {1 - f\left( t \right)} \right) $ (1)

式中,$ t \in \left[ {0, 1} \right]$$ f(t) $ 为多项式势函数。

从式(1)可以看出,过渡曲线为被过渡曲线的加权组合,当被过渡曲线给定以后,过渡曲线的性质主要取决于势函数的性质。

1.2 Bernstein基函数的性质

Bernstein基函数$ B_i^n\left( t \right) = C_n^i{t^i}{\left( {1 - t} \right)^{n - i}}$,其中$ t \in \left[ {0, 1} \right], i = 0, 1, \ldots , n$

定理1   Bernstein基函数具有下列性质:

1) 非负性:$B_i^n\left( t \right) \ge 0 $

2) 规范性:$ \sum\limits_{i = 0}^n {} B_i^n\left( t \right) = 1$

3) 对称性:对所有下标$ i = 0, 1, \ldots , n$,有$B_i^n\left( t \right) = B_{n - i}^n\left( {1 - t} \right) $

4) 升阶公式为

$ B_i^n\left( t \right) = \left( {1 - \frac{i}{{n + 1}}} \right)B_i^{n + 1}\left( t \right) + \frac{{i + 1}}{{n + 1}}B_{i + 1}^{n + 1}\left( t \right) $

5) 求导公式为

$ B{_i^n }'\left( t \right) = n\left[ {B_{i - 1}^{n - 1}\left( t \right) - B_i^{n - 1}\left( t \right)} \right] $

6) 端点导数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {B_i^{n\left( k \right)}\left( 0 \right) = }\\ {\left\{ \begin{array}{l} \frac{{n!{{\left( { - 1} \right)}^{k - i}}C_k^i}}{{\left( {n - k} \right)!}}\;\;\;\;i = 0,1, \cdots ,k\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = k + 1,k + 2, \cdots ,n \end{array} \right.} \end{array} $ (2)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {B_i^{n\left( k \right)}\left( 1 \right) = }\\ {\left\{ \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 0,1, \cdots ,n - k - 1\\ \frac{{n!{{\left( { - 1} \right)}^{k - i}}C_k^{n - i}}}{{\left( {n - k} \right)!}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = n - k,n - k + 1, \cdots ,n \end{array} \right.} \end{array} $ (3)

证明:很多教材直接给出了性质1)-5),如文献[24]。下面推导性质6)。

给定$n + 1 $个控制顶点$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_i}\left( {i = 0, 1, \ldots , n} \right)$,可定义一条$n $次Bézier曲线

$ \mathit{\boldsymbol{p}}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {B_i^n\left( t \right){\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} ,t \in \left[ {0,1} \right] $

曲线$\mathit{\boldsymbol{p}}(t) $在首、末端点处的$k $阶导矢为

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}^{\left( k \right)}}\left( 0 \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {B_i^{n\left( k \right)}\left( 0 \right){\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} $ (4)

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}^{\left( k \right)}}\left( 1 \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {B_i^{n\left( k \right)}\left( 1 \right){\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} $ (5)

又根据文献[24],有

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}^{\left( k \right)}}\left( 0 \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^{k - i}}C_k^i{\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} $ (6)

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}^{\left( k \right)}}\left( 1 \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}C_k^i{\mathit{\boldsymbol{V}}_{n - i}}} $ (7)

对照式(4)(6)即可得出式(2)。将式(7)改写成

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}^{\left( k \right)}}\left( 1 \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\sum\limits_{i = n - k}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{n - i}}C_k^{n - i}{\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} $ (8)

对照式(5)(8)即可得出式(3)。证毕。

2 势函数及其性质

2.1 势函数需满足的条件

过渡曲线的表达式(1)可以整理成

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) = \left( {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) - \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)} \right)f\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $

根据Leibniz公式,对任意的自然数$k $,有

$ {\left[ {u\left( t \right)v\left( t \right)} \right]^{\left( k \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{u^{\left( {k - i} \right)}}\left( t \right){v^{\left( i \right)}}\left( t \right)} $

因此

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{G}}^k}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) - \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)} \right)}^{\left( {k - i} \right)}}{f^{\left( i \right)}}\left( t \right)} + }\\ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}^k}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( k \right)}}\left( t \right)f\left( t \right) + \left( {1 - f\left( t \right)} \right){\mathit{\boldsymbol{Q}}^{\left( k \right)}}\left( t \right) + }\\ {\sum\limits_{i = 1}^k {C_k^i{{\left( {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) - \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right)} \right)}^{\left( {k - i} \right)}}{f^{\left( i \right)}}\left( t \right)} } \end{array} $ (9)

由式(9)可以推出:若势函数$ f(t)$满足条件

$ \left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 1\\ {f^i}\left( 0 \right) = 0,\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,k \end{array} \right. $ (10)

以及

$ \left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = 0\\ {f^i}\left( 1 \right) = 0,\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,k \end{array} \right. $ (11)

则对$ j = 0, 1, \ldots , k$,有

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\left( j \right)}}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( j \right)}}\left( 0 \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\left( j \right)}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{Q}}^{\left( j \right)}}\left( 1 \right) \end{array} \right. $

这意味着在两个端点处,过渡曲线与被过渡曲线之间具有$ {{\rm{C}}^k}$连续性。

2.2 势函数的构造思路

由2.1节的分析可知,为了使式(1)给出的过渡曲线在两个端点处达到$ {{\rm{C}}^k}$连续,势函数必须满足式(10)(11)中给出的所有条件。这些条件一共有$2k + 2 $个,若势函数为$2k + 1 $次多项式,则其系数恰为$2k + 2 $个,与条件个数一致。

根据文献[21],使过渡曲线在端点处达到$ {{\rm{C}}^k}$连续的最低次多项式势函数为$2k + 1 $次,这表明条件式(10)(11)恰好给出$2k + 1 $次多项式系数的唯一解。这样一来,势函数的表达式中就不含任何调节参数,进而导致过渡曲线的形状由被过渡曲线唯一确定。

为了实现在不改变被过渡曲线的前提下,过渡曲线的形状可以调整的目标,需要在势函数中引入调节参数。考虑到式(10)(11)中的条件总数为$2k + 2 $个,当势函数为$2k + 1 $次多项式时,其表达式唯一确定,因此要想使势函数的表达式中存在自由参数,必须要提高势函数的多项式次数。

通过尝试发现,如果仅仅只将势函数的次数提高一次,即将其设为$2k + 2 $次多项式,那么只有当其中的自由参数取特殊值时,势函数才具有文献[21]中提到的对称性。

基于上述分析结果,为了使势函数在满足式(10)(11)中所有条件的同时,不仅具有对称性,而且还存在一个调节参数,其次数至少应为$2k + 3 $次。

在文献[21]中,多项式势函数是用幂基的线性组合来表达的,这种表达方式易于求导,也易于建立以组合系数为未知数的方程组。但该方程组的系数矩阵没有明显的规律,导致对任意的自然数$k $,其逆矩阵不易统一得到,因此文献[21]未能给出势函数的通用表达式。

注意到幂基和Bernstein基函数可以互相转化,文献[21]采用幂基来表达势函数,这里则选择用Bernstein基函数来表达势函数。

2.3 势函数的构造过程

将满足预期要求的多项式势函数设为Bernstein基函数的线性组合,即

$ f\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^{2k + 3} {{a_i}B_i^{2k + 3}\left( t \right)} $ (12)

由式(2)(10)(12)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = {a_0} = 1\\ f'\left( 0 \right) = \left( {2k + 3} \right)\left( { - {a_0} + {a_1}} \right) = 0\\ f''\left( 0 \right) = \left( {2k + 3} \right) \times \left( {2k + 2} \right) \times \\ \left( {{a_0} - 2{a_1} + {a_2}} \right) = 0\\ f'''\left( 1 \right) = \left( {2k + 3} \right) \times \left( {2k + 2} \right) \times \left( {2k + 1} \right) \times \\ \left( { - {a_0} + 3{a_1} - 3{a_2} + {a_3}} \right) = 0\\ \; \vdots \\ {f^{\left( l \right)}}\left( 0 \right) = \frac{{\left( {2k + 3} \right)!}}{{\left( {2k + 3 - l} \right)!}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^l}C_l^0{a_0} + } \right.\\ \left. {\left. {{{\left( { - 1} \right)}^{l - 1}}C_l^l{a_1} + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^0}C_l^l{a_l}} \right)} \right] = 0,\\ l = 1,2, \cdots ,k \end{array} \right. $

由此推出${a_0} = {a_1} = {a_2} = \ldots = {a_k} = 1 $。又由式(3)(11)(12)可得

$ \left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = {a_{2k + 3}} = 1\\ f'\left( 1 \right) = \left( {2k + 3} \right)\left( { - {a_{2k}} + {a_{2k + 1}}} \right) = 0\\ f''\left( 1 \right) = \left( {2k + 3} \right) \times \left( {2k + 2} \right) \times \\ \left( {{a_{2k - 1}} - 2{a_{2k}} + {a_{2k + 1}}} \right) = 0\\ f'''\left( 1 \right) = \left( {2k + 3} \right) \times \left( {2k + 2} \right) \times \left( {2k + 1} \right) \times \\ \left( { - {a_{2k - 2}} + 3{a_{2k - 1}} - 3{a_{2k}} + {a_{2k + 1}}} \right) = 0\\ \; \vdots \\ {f^{\left( l \right)}}\left( 1 \right) = \frac{{\left( {2k + 3} \right)!}}{{\left( {2k + 3 - l} \right)!}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^l}C_l^l{a_{2k + 1 - l}} + } \right.\\ \left. {\left. {{{\left( { - 1} \right)}^{l - 1}}C_l^{l - 1}{a_{2k + 2 - l}} + \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^0}C_l^0{a_{2k + 1}}} \right)} \right] = 0,\\ l = 1,2, \cdots ,k \end{array} \right. $

由此推出$ {a_{k + 3}} = {a_{k + 4}} = {a_{k + 5}} = \ldots = {a_{2k + 3}} = 0$

将解出的系数代入式(12),得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + }\\ {{a_{k + 1}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + {a_{k + 2}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right)} \end{array} $ (13)

接下来根据对称性要求来确定$ f(t)$表达式中两个待定系数之间的关系。

由式(13)以及Bernstein基函数的对称性可知

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {1 - t} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 3}\left( {1 - t} \right)} + }\\ {{a_{k + 1}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( {1 - t} \right) + {a_{k + 2}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( {1 - t} \right) = }\\ {\sum\limits_{i = k + 3}^{2k + 3} {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + {a_{k + 1}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right) + {a_{k + 11}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right)} \end{array} $

因此

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) + f\left( {1 - t} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + \sum\limits_{i = k + 3}^{2k + 3} {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + }\\ {\left( {{a_{k + 1}} + {a_{k + 2}}} \right)\left[ {B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right)} \right]} \end{array} $

又由Bernstein基函数的规范性可知,要使$ f(t)$具备对称性,即

$ f\left( t \right) + f\left( {1 - t} \right) = 1 $

必须

$ {a_{k + 1}} + {a_{k + 2}} = 1 $

${a_{k + 1}} = \lambda $,则${a_{k + 2}} = 1 - \lambda $,代入式(13),得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + \lambda B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + }\\ {\left( {1 - \lambda } \right)B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right) \buildrel \Delta \over = {f_k}\left( t \right)} \end{array} $ (14)

由势函数的构造思路可知,以式(14)所给${f_k}(t) $作为式(1)中的势函数,可使相应的过渡曲线在两个端点处与被过渡曲线之间至少达到$ {{\rm{C}}^k}$连续,这里的$k $为任意自然数。

2.4 势函数的图形

为了方便应用,下面给出$k $取较小的一些值时,${f_k}(t) $的表达式:

1) 当$k = 0 $时,表达式为

$ {f_0}\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left[ {1 + \left( {3\lambda - 2} \right)t\left( {1 - 2t} \right)} \right] $

$ \lambda = 1$,即得文献[21]中可使过渡曲线在端点处达到${{\rm{C}}^1} $连续的最低次多项式势函数。

2) 当$k = 1 $时,表达式为

$ {f_1}\left( t \right) = {\left( {1 - t} \right)^2}\left[ {1 + 2t\left( {10\lambda - 7} \right){t^2}\left( {1 - 2t} \right)} \right] $

$ \lambda = \frac{7}{{10}}$,结果与取$ \lambda = 1$时的${f_0}(t) $相同,即为文献[21]中使过渡曲线在端点处达${{\rm{C}}^1} $连续的最低次多项式势函数;取$ \lambda = 1$,则得文献[21]中可使过渡曲线在端点处达${{\rm{C}}^2} $连续的最低次多项式势函数。

3) 当$ k = 2$时,表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_2}\left( t \right) = {{\left( {1 - t} \right)}^3}\left[ {1 + 3t + 6{t^2} + } \right.}\\ {\left. {\left( {35\lambda - 25} \right){t^3}\left( {1 - 2t} \right)} \right]} \end{array} $

$\lambda = \frac{5}{7} $,结果与取$ \lambda = 1$时的${f_1}(t) $相同,即为文献[21]中使过渡曲线在端点处达${{\rm{C}}^2} $连续的最低次多项式势函数;取$ \lambda = 1$,则得文献[21]中可使过渡曲线在端点处达${{\rm{C}}^3} $连续的最低次多项式势函数。另外,在$ {f_2}(t)$的表达式中,将所有的$t $换成$ 1-t$,将$\lambda $换成$\frac{{25 - 3\omega }}{{35}} $,则得文献[20]中的势函数$ H\left( t \right)$

4) 当$ k = 3$时,表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_3}\left( t \right) = {{\left( {1 - t} \right)}^4}\left[ {1 + 4t + 10{t^2} + 20{t^3} + } \right.}\\ {\left. {\left( {126\lambda - 91} \right){t^4}\left( {1 - 2t} \right)} \right]} \end{array} $

$\lambda = \frac{{13}}{{18}}$,结果与取$ \lambda = 1$时的$ {f_2}(t)$相同,即为文献[21]中使过渡曲线在端点处达${{\rm{C}}^3} $连续的最低次多项式势函数;取$ \lambda = 1$,则得文献[21]中可使过渡曲线在端点处达$ {{\rm{C}}^4}$连续的最低次多项式势函数。

5) 当$ k = 4$时,表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_4}\left( t \right) = {{\left( {1 - t} \right)}^5}\left[ {1 + 5t + 15{t^2} + 35{t^3} + 70{t^4} + } \right.}\\ {\left. {\left( {462\lambda - 336} \right){t^5}\left( {1 - 2t} \right)} \right]} \end{array} $

$ \lambda = \frac{8}{{11}}$,得文献[21]中可使过渡曲线在端点处达$ {{\rm{C}}^4}$连续的最低次多项式势函数。

图 2(a)-(e)依次给出了固定$k $为0、1、2、3、4时,取不同$ \lambda $值的势函数${f_k}(t) $的图形。

图 2 固定$ k$值下取不同$\lambda $值的势函数${f_k}(t) $的图形
Fig. 2 Graphs of potential function ${f_k}(t) $
((a) $k = 0 $; (b) $k = 1 $; (c) $ k = 2$; (d) $ k = 3$; (e) $ k = 4$)

2.5 势函数的性质

定理2   由式(14)给出的势函数${f_k}(t) $具有下列性质:

1) 若用${f_k}\left( {t;\lambda } \right) $表示取参数为$k $$ \lambda $时的势函数,则有$ {f_k}\left( {t;\frac{{3k + 4}}{{4k + 6}}} \right) = {f_{k - 1}}(t;1)$

2) 端点性。即${f_k}\left( 0 \right) = 1, {f_k}\left( 1 \right) = 0 $

3) 导数性。对于一般的参数$ \lambda $,有

$ f_k^{\left( i \right)}\left( 0 \right) = f_k^{\left( i \right)}\left( 1 \right) = 0 $

式中,$ i = 1, 2, \ldots , k$;特别地,当参数$ \lambda = 1$时,有$ i = 1, 2, \ldots , k + 1$

4) 对称性。即${f_k}\left( t \right) + {f_k}\left( {1 - t} \right) = 1$

5) 中点性。即$ {f_k}\left( {0.5} \right) = 0.5$

6) 单调性。对于固定的自然数$k $,当参数$ \lambda \in \left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right]$时,固定$\lambda $的值,${f_k}(t) $关于变量$t{\rm{ }}(t \in \left[ {0, 1} \right]) $单调递减;对于固定的自然数$k $,当变量$ t \in \left[ {0, \frac{1}{2}} \right]$时,固定$ t$的值,${f_k}(t) $关于参数$ \lambda $单调递增;当变量$t \in \left[ {\frac{1}{2}, 1} \right] $时,固定$t $的值,${f_k}(t) $关于参数$ \lambda $单调递减。

7) 有界性。即$\forall t \in \left[ {0, 1} \right] $,有$0 \le {f_k}\left( t \right) \le 1 $

8) 凹凸性。当$ \lambda \in \left[ {\frac{2}{3} - \frac{k}{6}, 1} \right]$时,在参数区间$ t \in \left[ {0, 1} \right]$上,势函数${f_k}(t) $的图形只有唯一拐点$\left( {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \right) $,经过该点时,${f_k}(t) $的图形从凸曲线变为凹曲线。

证明性质1):由式(14)可知

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_{k - 1}}\left( {t;1} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {B_i^{2k + 1}\left( t \right)} + B_k^{2k + 1}\left( t \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 1}\left( t \right)} } \end{array} $ (15)

对式(15)右端的Bernstein基函数进行升阶并整理,可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_{k - 1}}\left( {t;1} \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {\left[ {\left( {1 - \frac{i}{{2k + 2}}} \right)B_i^{2k + 2}\left( t \right) + \frac{{i + 1}}{{2k + 2}}B_i^{2k + 2}\left( t \right)} \right]} = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{2k + 2 - i}}{{2k + 2}}B_i^{2k + 2}\left( t \right)} + \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {\frac{i}{{2k + 2}}B_i^{2k + 2}\left( t \right)} = }\\ {B_0^{2k + 2}\left( t \right) + \sum\limits_{i = 1}^k {B_i^{2k + 2}\left( t \right)} + \frac{1}{2}B_{k + 1}^{2k + 2}\left( t \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {B_i^{2k + 2}\left( t \right)} + \frac{1}{2}B_{k + 1}^{2k + 2}\left( t \right)} \end{array} $ (16)

对式(16)所得结果中的Bernstein基函数再次进行升阶并整理,可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_{k - 1}}\left( {t;1} \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {\left[ {\left( {1 - \frac{i}{{2k + 3}}} \right)B_i^{2k + 3}\left( t \right) + \frac{{i + 1}}{{2k + 3}}B_{i + 1}^{2k + 3}\left( t \right)} \right]} + }\\ {\frac{1}{2}\left[ {\left( {1 - \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}} \right)B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + \frac{{k + 2}}{{2k + 3}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right)} \right] = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{2k + 3 - i}}{{2k + 3}}B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {\frac{i}{{2k + 3}}B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + }\\ {\frac{{k + 2}}{{4k + 6}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + \frac{{k + 2}}{{4k + 6}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right) = }\\ {B_0^{2k + 3}\left( t \right) + \sum\limits_{i = 1}^k {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + }\\ {\frac{{k + 2}}{{4k + 6}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + \frac{{k + 2}}{{4k + 6}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right) = }\\ {\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{i}{{2k + 3}}B_i^{2k + 3}\left( t \right)} + \frac{{3k + 4}}{{4k + 6}}B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) + }\\ {\frac{{k + 2}}{{4k + 6}}B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right)} \end{array} $ (17)

对照式(14)可知,式(17)所得结果即为在${f_k}(t) $的表达式中取$ \lambda = \frac{{3k + 4}}{{4k + 6}}$时的结果。实际上,对照2.4节所给$k $取0、1、2、3、4时${f_k}(t) $的表达式,可以验证该性质的正确性。

证明性质2)4):由2.1-2.3节的分析易知,端点性、对称性显然成立。

证明性质3):由2.1-2.3节的分析易知,对于一般的参数$ \lambda $,导数性显然成立。又由式(14)可知,当$ \lambda = 1$

$ {f_k}\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k + 1} {B_i^{2k + 3}\left( t \right)} $

则有

$ \frac{{{{\rm{d}}^{k + 1}}{f_k}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^{k + 1}}}} = \sum\limits_{i = 0}^{k + 1} {\frac{{{{\rm{d}}^{k + 1}}B_i^{2k + 3}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^{k + 1}}}}} $ (18)

由式(2)(18)可知

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\rm{d}}^{k + 1}}{f_k}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^{k + 1}}}}\left| {_{t = 0}} \right. = \frac{{\left( {2k + 3} \right)!}}{{\left( {k + 2} \right)!}}\sum\limits_{i = 0}^{k + 1} {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1 - i}}C_{k + 1}^i} = }\\ {\frac{{\left( {2k + 3} \right)!}}{{\left( {k + 2} \right)!}}\sum\limits_{i = 0}^{k + 1} {C_{k + 1}^i \cdot {1^i} \cdot {{\left( { - 1} \right)}^{k + 1 - i}}} = }\\ {\frac{{\left( {2k + 3} \right)!}}{{\left( {k + 2} \right)!}}{{\left[ {1 + \left( { - 1} \right)} \right]}^{k + 1}} = 0} \end{array} $

由式(3)(18)可知

$ \frac{{{{\rm{d}}^{k + 1}}{f_k}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^{k + 1}}}}\left| {_{t = 1}} \right. = \sum\limits_{i = 0}^{k + 1} {\frac{{{{\rm{d}}^{k + 1}}B_i^{2k + 3}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}{t^{k + 1}}}}\left| {_{t = 1}} \right.} = \sum\limits_{i = 0}^{k + 1} 0 = 0 $

因此$ \lambda = 1$时的结论成立。

证明性质5):由对称性知

$ {f_k}\left( {0.5} \right) + {f_k}\left( {0.5} \right) = 1 \Rightarrow {f_k}\left( {0.5} \right) = 0.5 $

证明性质6):将Bernstein基函数的求导公式作用于势函数${f_k}(t) $的表达式(14)并进行整理,可得

$ {{f'}_k}\left( t \right) = C_{2k + 3}^{k + 1}{t^k}{\left( {1 - t} \right)^k}g\left( t \right) $ (19)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {g\left( t \right) = \left( {4k\lambda + 6\lambda - 3k - 4} \right) \times }\\ {\left( {{t^2} - t} \right) + \left( {\lambda - 1} \right)\left( {k + 1} \right)} \end{array} $

由式(19)可知,在区间$ t \in \left[ {0, 1} \right]$上,$ {{f'}_k}\left( t \right)$的符号取决于$ g\left( t \right)$的符号,由于当$ - \frac{k}{2} \le \lambda \le 1$时,有

$ \left\{ \begin{array}{l} g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right) \le 0\\ g\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4}\left( {k + 2\lambda } \right) \le 0 \end{array} \right. $

故此时$ \forall t \in \left[ {0, 1} \right]$,都有$ g\left( t \right)$≤0,进而$ {{f'}_k}\left( t \right)$≤0,因此${f_k}(t) $关于变量$ t \in \left[ {0, 1} \right]$单调递减。

另外,由式(14)可知

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{d}}{f_k}\left( t \right)}}{{{\rm{d}}\lambda }} = B_{k + 1}^{2k + 3}\left( t \right) - B_{k + 2}^{2k + 3}\left( t \right) = }\\ {C_{2j + 3}^{k + 1}{{\left[ {t\left( {1 - t} \right)} \right]}^{k + 1}}\left( {1 - 2t} \right)} \end{array} $

$ t \in \left[ {0, \frac{1}{2}} \right]$时,$ \frac{{{\rm{d}}{f_k}(t)}}{{{\rm{d}}\lambda }} \ge 0$,表明${f_k}(t) $关于$\lambda $单调递增,而当$t \in \left[ {\frac{1}{2}, 1} \right] $时,$ \frac{{{\rm{d}}{f_k}(t)}}{{{\rm{d}}\lambda }} \le 0$,表明${f_k}(t) $关于$\lambda $单调递减。

证明性质7):由${f_k}(t) $的端点性,以及${f_k}(t) $关于$t $的单调性,即得有界性。

证明性质8):在式(19)所得结果的基础上再求一次导数并进行整理,得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{f''}_k}\left( t \right) = C_{2k + 3}^{k + 1}{t^{k - 1}}{{\left( {1 - t} \right)}^{k + 1}} \times }\\ {\left( {k + 1} \right)\left( {1 - 2t} \right)h\left( t \right)} \end{array} $ (20)

$ h\left( t \right) = \left( {4k\lambda + 6\lambda - 3k - 4} \right)\left( {{t^2} - t} \right) + \left( {\lambda - 1} \right)k $

由于当$\frac{2}{3} - \frac{k}{6} \le \lambda \le 1 $时,有

$ \left\{ \begin{array}{l} h\left( 0 \right) = h\left( 1 \right) = \left( {\lambda - 1} \right)k \le 0\\ h\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 - \frac{1}{4}k - \frac{3}{2}\lambda \le 0 \end{array} \right. $

故此时$h\left( t \right) $在区间$t \in \left( {0, 1} \right) $内不存在零点,再结合式(20)可知此时$ {{f''}_k}\left( t \right)$在区间$t \in \left( {0, 1} \right) $内只存在唯一的零点,即$t = \frac{1}{2} $,因此点$\left( {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \right) $是势函数${f_k}(t) $的图形上唯一可能的拐点。至于该点是否为真正的拐点,以及当该点为拐点时,该点左右两侧势函数${f_k}(t) $图形的凹凸性情况,可直接由势函数的图形给出答案。

图 2中红色、蓝色曲线对应参数$ \lambda $均在区间$ \left[ {\frac{2}{3} - \frac{k}{6}, 1} \right]$内取值。从图中可以直观看出,点$\left( {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \right) $是相应势函数${f_k}(t) $图形上的拐点,在该点左侧,函数图形为凸曲线,在该点右侧,函数图形为凹曲线。

图 2中紫色、绿色曲线对应参数$ \lambda $均在区间$ \left[ { - \frac{k}{2}, \frac{2}{3} - \frac{k}{6}} \right)$内取值。从图中可以较明显地看出,点$\left( {\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} \right) $并不是相应势函数${f_k}(t) $图形上唯一的拐点。

图 2中还可以比较直观地看出:任取参数$\lambda \in \left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right]$,势函数${f_k}(t) $都具备端点性、中点性、单调性、有界性。

3 过渡曲线

3.1 过渡曲线的特征

任给两条被过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $,取式(1)中的$ f(t)$为式(14)所给${f_k}(t) $,下面根据势函数的性质来分析所得过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $的特征:

1) 由${f_k}(t) $的端点性可知

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{G}}\left( 0 \right) = \mathit{\boldsymbol{P}}\left( 0 \right)\\ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( 1 \right) = \mathit{\boldsymbol{P}}\left( 1 \right) \end{array} \right. $ (21)

这表明过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $的起点为起点,以$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $的终点为终点。

2) 由${f_k}(t) $的导数性可知

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\left( i \right)}}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( i \right)}}\left( 0 \right)\\ {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\left( i \right)}}\left( 1 \right) = {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( i \right)}}\left( 1 \right) \end{array} \right. $ (22)

当参数$\lambda \in \left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right)$时,$ i = 1, 2, \ldots , k$;而当$ \lambda = 1$时,有$ i = 1, 2, \ldots , k + 1$。式(21)(22)表明,以${f_k}(t) $作为势函数,可保证过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $在起点、终点处分别与曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $之间达到$ {{\rm{C}}^k}$连续,当$ \lambda = 1$时可以达到${{\rm{C}}^{k + 1}} $连续。

3) 由${f_k}(t) $的中点性可知

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( {\frac{1}{2}} \right) + \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right] $

这意味着在$t = \frac{1}{2} $处,曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $对过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $具有相同的影响。另外,由于$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( {\frac{1}{2}} \right)$的结果与$k $$ \lambda $无关,因此取不同$k $$\lambda $值所得过渡曲线都会经过相同的点$\left( {\frac{1}{2}, \mathit{\boldsymbol{G}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right) $

4) 由${f_k}(t) $的单调性可知,对于指定的$k $值,当$\lambda \in \left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right]$时,对于固定的$ \lambda $值,随着变量$t $的增大($t $从0变化到1),曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $的权重逐渐减小(从1降为0),而曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $的权重逐渐增加(从0增为1),因此曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $对过渡曲线的影响逐渐减弱,曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $对过渡曲线的影响逐渐增强。而在$ t = \frac{1}{2}$处,曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $对过渡曲线的影响相当(权重均为$ \frac{1}{2}$)。因此过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $的形状在前半段相似于曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $,在后半段相似于曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $

另外,对于指定的$k $值和$ t$值,当$ t \in \left[ {0, \frac{1}{2}} \right]$时,随着参数$ \lambda $的增加,曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $的权重逐渐增加,当$t \in \left( {\frac{1}{2}, 1} \right) $时,随着参数$ \lambda $的增加,曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $的权重逐渐增加。因此$ \lambda $越大,过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $的形状在前半段越相似于曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $,在后半段越相似于曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $

5) 由${f_k}(t) $的有界性可知,过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{G}}\left( t \right) $为被过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $的凸组合。

3.2 过渡曲线的图例

给定2组两条定义在区间$ t \in \left[ {0, 1} \right]$上的被过渡曲线,第1组参数方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right):x = - \cos \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}t} \right),y = 1 - \sin \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}t} \right)\\ \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right):x = 1 - \cos \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{3}t} \right),y = \sin \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{3}t} \right) \end{array} \right. $

第2组参数方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right):x = - \sin \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}t} \right),y = 1 - \cos \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}t} \right)\\ \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right):x = 1 - \cos \left( {\frac{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}{3}t} \right),y = \sin \left( {\frac{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}{3}t} \right) \end{array} \right. $

在势函数${f_k}(t) $的表达式中,分别取$k $为0、1、2、3、4,并在相应的区间$\lambda \in \left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right]$上均匀地取4个$ \lambda $值,以所得势函数按照式(1)构造的过渡曲线如图 3(a)-(e)所示。

图 3 固定$k $值下取不同$ \lambda $值的势函数${f_k}(t) $构造的过渡曲线
Fig. 3 Transition curves constructed by potential functions ${f_k}(t) $ with different $ \lambda $
((a) $k = 0 $; (b) $k = 1 $; (c) $ k = 2$; (d) $ k = 3$; (e) $ k = 4$)

图 3中,黑色点线为被过渡曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $(左)与$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $(右)。从这些图形中可以看出:过渡曲线在前半段接近于曲线$\mathit{\boldsymbol{P}}\left( t \right) $,比较不同颜色的过渡曲线,又以红色曲线的接近程度最高,绿色曲线的接近程度最低(图 3第1组显示较为清楚);在后半段接近于曲线$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( t \right) $,比较不同颜色的过渡曲线,同样以红色曲线的接近程度最高,绿色曲线的接近程度最低(图 3第2组显示较为清楚)。

比较图 3中的图形,可以看出:随着$k $值的增加,参数$ \lambda $对过渡曲线形状的影响逐渐减弱,即过渡曲线形状的差异逐渐缩小。对于图 3第1组中所给被过渡曲线,过渡曲线的这种特征在后半段表现得尤为明显;对于图 3第2组中所给被过渡曲线,过渡曲线的这种特征在前半段表现得尤为明显。

图 3得到的上述直观结论与前面对过渡曲线特征的理论分析结果完全一致。

另外,对于图 3第1组中所给被过渡曲线而言,取不同$k $值,并在对应区间$\left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right] $上取不同$ \lambda $值,所得过渡曲线的形状质量不存在视觉上可见的明显差异;然而对于图 3第2组中所给被过渡曲线而言,取不同$k $值,并在对应区间$\left[ { - \frac{k}{2}, 1} \right] $上取不同$ \lambda $值,所得过渡曲线的形状质量存在视觉上可见的差异,相比较而言,绿色、紫色曲线比红色、蓝色曲线的扭动要大,也就是说曲线上拐点较多,这种差异在图 3(a)(b)第2组中表现得最为明显,这表明$k $值越小,$ \lambda $值对过渡曲线形状质量的影响差异越大。注意到红色、蓝色曲线对应参数$ \lambda $落在区间$ \left[ {\frac{2}{3} - \frac{k}{6}, 1} \right]$内,而绿色、紫色曲线对应参数$ \lambda $则落在区间$ \left[ { - \frac{k}{2}, \frac{2}{3} - \frac{k}{6}} \right)$内。再结合2.5节中对势函数性质的分析结果,在区间$ \left[ {\frac{2}{3} - \frac{k}{6}, 1} \right]$内取$ \lambda $值时,势函数图形只存在唯一拐点,而在区间$ \left[ { - \frac{k}{2}, \frac{2}{3} - \frac{k}{6}} \right)$内取$ \lambda $值时,势函数图形上的拐点数量并不唯一。由此可以推断:势函数图形上的拐点数量会决定对应过渡曲线的形状质量。这样一来,为了保证无论给出什么样的被过渡曲线,总是可以得到形状较优的过渡曲线,建议在区间$ \left[ {\frac{2}{3} - \frac{k}{6}, 1} \right]$内选择参数$ \lambda $的值。如果以过渡曲线和被过渡曲线的接近程度为目标进行曲线设计,则不管$k $取什么值,总是取$ \lambda = 1$,即可得到所有可能结果中与被过渡曲线最靠近的那一条过渡曲线。

4 结论

多项式函数最常用的表达形式是用幂基来表示,文献[21]正是采用这种方式来表达能使过渡曲线在端点处与被过渡曲线之间达到$ {{\rm{C}}^k}$连续的最低次多项式势函数。采用这种表达方式,虽然易于建立以势函数表达式中的待定系数为未知数的方程组,但在解该方程组时,需要计算系数矩阵的逆矩阵,由于无法轻易得到对任意$k $值的系数矩阵逆矩阵的一般结果,因此文献[21]未能给出可以使过渡曲线在端点处达到任意$ {{\rm{C}}^k}$连续的多项式势函数的通用表达式。注意到多项式函数还可以用Bernstein基函数来表达,归功于Bernstein基函数的良好性质,选择这种方式来表达势函数,不仅易于建立关于势函数中待定系数的方程组,而且该方程组的求解非常简单,从而成功解决了采用幂基表达时方程组易建不易解的问题。将势函数的表达方式从幂基改变为Bernstein基函数,正是本文方法与文献[21]中方法的差异所在。这种基变换使得势函数的统一求解成为可能,而且求解过程变得简单,并为后续势函数的性质分析提供了便利。另外,由于构造出来的势函数表达式中还包含一个自由参数$ \lambda $,因此即使不改变被过渡曲线,过渡曲线的形状依然可以调整。这里引入的参数$ \lambda $的作用不仅在于可以调节过渡曲线的形状,而且还能调节过渡曲线在端点处与被过渡曲线之间的连续阶,因为取特殊参数$ \lambda $时可以将连续性从$ {{\rm{C}}^k}$提升至${{\rm{C}}^{k + 1}} $。下一步的研究计划是将过渡曲线的构造方法推广至过渡曲面。

参考文献

  • [1] Li L, Yang L. Design of transition curve of profiled chamber flow sensor considering slides with arc ends[J]. Journal of Zhejiang University-Science A (Applied Physics & Engineering), 2018, 19(2): 137–147. [DOI:10.1631/jzus.A1600666]
  • [2] Zhang X F, Huang K, Chen Q. Set up of equation on dedendum transion curve and research of 3D accurate modeling for involute gear[J]. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique, 2008(2): 1–3, 7. [张训福, 黄康, 陈奇. 渐开线齿轮齿根过渡曲线方程的建立及三维精确建模[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2008(2): 1–3, 7. ] [DOI:10.3969/j.issn.1001-2265.2008.02.001]
  • [3] Zhao S, Bi Q Z, Wang Y H, et al. A data compression algorithm based on G2 continuous Bézier curves for tool paths[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2014, 48(5): 629–635. [赵晟, 毕庆贞, 王宇晗, 等. 基于G2连续Bézier曲线的刀具轨迹压缩算法[J]. 上海交通大学学报, 2014, 48(5): 629–635. ] [DOI:10.16183/j.cnki.jsjtu.2014.05.009]
  • [4] Lin L Q, Lu Y. Low noise transitional curves study for internal contour of the stator of rotary vane pump[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2010, 38(19): 21–24. [林立强, 鲁阳. 转子式叶片泵的低噪声定子内轮廓过渡曲线研究[J]. 机床与液压, 2010, 38(19): 21–24. ] [DOI:10.3969/j.issn.1001-3881.2010.19.007]
  • [5] Cai H H, Wang G J. Construction of cubic C-Bézier spiral and its application in highway design[J]. Journal of Zhejiang University:Engineering Science, 2010, 44(1): 68–74. [蔡华辉, 王国瑾. 三次C-Bézier螺线构造及其在道路设计中的应用[J]. 浙江大学学报:工学版, 2010, 44(1): 68–74. ] [DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2010.01.013]
  • [6] Di Mascio P, Loprencipe G, Moretti L, et al. Bridge expansion joint in road transition curve:effects assessment on heavy vehicles[J]. Applied Sciences, 2017, 7(6): #599. [DOI:10.3390/app7060599]
  • [7] Zboinski K, Woznica P. Combined use of dynamical simulation and optimisation to form railway transition curves[J]. Vehicle System Dynamics, 2018, 56(9): 1394–1450. [DOI:10.1080/00423114.2017.1421315]
  • [8] Zhang P, Liang Y Y, Liu H W, et al. Complex orientation smooth transition technique of industrial robot in task space[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2016, 44(5): 76–79. [张平, 梁艳阳, 刘宏伟, 等. 工业机器人任务空间复杂姿态平滑过渡技术[J]. 机床与液压, 2016, 44(5): 76–79. ] [DOI:10.3969/j.issn.1001-3881.2016.05.019]
  • [9] Zboinski K, Woznica P. Optimization of polynomial transition curves from the viewpoint of jerk value[J]. Archives of Civil Engineering, 2017, 63(1): 181–199. [DOI:10.1515/ace-2017-0012]
  • [10] Li Z, Ma L Z, Meek D. Reconstruction of G2 transition curve for two separated circular arcs[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2006, 18(2): 265–269. [李重, 马利庄, MeekD. 平面两圆弧相离情况下G2连续过渡曲线构造[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2006, 18(2): 265–269. ] [DOI:10.3321/j.issn:1003-9775.2006.02.016]
  • [11] Zheng Z H, Wang G Z. On curvature monotony for a PH cubic curve and constructing transition curve[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2014, 26(8): 1219–1224. [郑志浩, 汪国昭. 三次PH曲线的曲率单调性及过渡曲线构造[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2014, 26(8): 1219–1224. ]
  • [12] Gao H, Shou H H, Miao Y W, et al. The quasi-cubic Bézier spirals with three control points[J]. Journal of Image and Graphics, 2014, 19(11): 1677–1683. [高晖, 寿华好, 缪永伟, 等. 3个控制顶点的类三次Bézier螺线[J]. 中国图象图形学报, 2014, 19(11): 1677–1683. ] [DOI:10.11834/jig.20141116]
  • [13] Gao H, Shou H H. The construction of α-curves and study of curvature monotony condition[J]. Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities, 2015, 30(3): 291–305. [高晖, 寿华好. α-曲线的构造及曲率单调条件的研究[J]. 高校应用数学学报, 2015, 30(3): 291–305. ] [DOI:10.3969/j.issn.1000-4424.2015.03.005]
  • [14] Liu Y Y, Wang X H. Construction of planar cubic PH transition curve[J]. Journal of Hefei University of Technology:Natural Science, 2016, 39(9): 1288–1291, 1296. [刘莹莹, 王旭辉. 平面三次PH过渡曲线的构造[J]. 合肥工业大学学报:自然科学版, 2016, 39(9): 1288–1291, 1296. ] [DOI:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.09.026]
  • [15] Ziatdinov R, Yoshida N, Kim T W. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines[J]. Computer-Aided Design, 2012, 44(6): 591–596. [DOI:10.1016/j.cad.2012.01.007]
  • [16] Zhang H X, Wang G J. Shape blending of curves:research into geometric continuity preserving[J]. Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities:Series A, 2001, 16(2): 187–194. [张宏鑫, 王国瑾. 保持几何连续性的曲线形状调配[J]. 高校应用数学学报:A辑, 2001, 16(2): 187–194. ] [DOI:10.3969/j.issn.1000-4424.2001.02.011]
  • [17] Liu H Y, Duan X J, Zhang D M, et al. Constructing of blending trigonometric Bézier-like curve[J]. Journal of Zhejiang University:Science Edition, 2013, 40(1): 42–46. [刘华勇, 段小娟, 张大明, 等. 基于三角Bézier-like的过渡曲线构造[J]. 浙江大学学报:理学版, 2013, 40(1): 42–46. ] [DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2013.01.010]
  • [18] Li L F, Tan J R, Zhao H X. Construction method of transition curve based on Metaball technique[J]. China Mechanical Engineering, 2005, 16(6): 483–486. [李凌丰, 谭建荣, 赵海霞. 基于Metaball的过渡曲线[J]. 中国机械工程, 2005, 16(6): 483–486. ] [DOI:10.3321/j.issn:1004-132X.2005.06.004]
  • [19] Yan L L, Liang J F, Huang T. Bézier curves with shape parameters[J]. Journal of Hefei University of Technology:Natural Science, 2009, 32(11): 1783–1788. [严兰兰, 梁炯丰, 黄涛. 带形状参数的Bézier曲线[J]. 合肥工业大学学报:自然科学版, 2009, 32(11): 1783–1788. ] [DOI:10.3969/j.issn.1003-5060.2009.11.039]
  • [20] Li J C, Song L Z, Liu C Z. Construction of transition curve and surface with a parameter in shape blending[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2016, 28(12): 2088–2096. [李军成, 宋来忠, 刘成志. 形状调配中带参数的过渡曲线与曲面构造[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2016, 28(12): 2088–2096. ] [DOI:10.3969/j.issn.1003-9775.2016.12.007]
  • [21] Gao H, Shou H H. Construction of potential function and transition curve based on Metaball technique[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2015, 27(5): 900–906. [高晖, 寿华好. 势函数的构造及基于Metaball的过渡曲线[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2015, 27(5): 900–906. ] [DOI:10.3969/j.issn.1003-9775.2015.05.016]
  • [22] Yan L L, Han X L. Automatic continuous composite curve and surface with adjustable shape and smoothness[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2014, 26(10): 1654–1662. [严兰兰, 韩旭里. 形状及光滑度可调的自动连续组合曲线曲面[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2014, 26(10): 1654–1662. ]
  • [23] Li J C, Song L Z. Construction of transition curves based on Metaball technique using rational potential function with a shape parameter[J]. Journal of Zhejiang University:Science Edition, 2017, 44(3): 307–313. [李军成, 宋来忠. 利用带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线[J]. 浙江大学学报:理学版, 2017, 44(3): 307–313. ] [DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.011]
  • [24] Farin G. Curves and Surfaces for CAGD[M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2002: 66.